天線相關性對多天線系統信道容量的影響

肖雪芳，林 烽，雷國偉

(1.廈門理工學院光電與通信工程學院，福建 廈門 361024；2.福建省高校光電技術重點實驗室，福建 廈門 361024；3.廈門市LED照明應用工程技術研究中心，福建 廈門361024；4.集美大學理學院，福建 廈門 361021)

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天線相關性對多天線系統信道容量的影響

肖雪芳1,2,3，林 烽4，雷國偉4

(1.廈門理工學院光電與通信工程學院，福建 廈門 361024；2.福建省高校光電技術重點實驗室，福建 廈門 361024；3.廈門市LED照明應用工程技術研究中心，福建 廈門361024；4.集美大學理學院，福建 廈門 361021)

基于多天線系統的容量等效公式，從空間因素著手，計算多天線系統中天線數量、天線間距、角度擴展與信道容量之間的最優值，并通過數值模擬驗證，分析3個空間因素產生的天線相關性對多天線系統信道容量的影響.結果顯示，增加發射天線數或者接收天線數都能顯著地增加系統的信道容量，其中增加接收天線數比增加發射天線數效果更好.但是在有限的空間一味增加天線數量又會減小天線間距，從而增加天線之間的相關性，進而降低信道容量.因此，在設計多天線工程時，可在一定天線間距和角度擴展情況下，盡可能地增加天線數量，以達到信道容量的最優值.

多天線系統；信道容量；天線相關性；天線數量；天線間距；角度擴展

多輸入多輸出系統(Multiple-InputMultiple-Out-put，簡稱MIMO) 即多天線系統能夠在不增加發送功率和帶寬的前提下，有效地成倍增加信道的傳輸容量，能夠充分地利用有限的空間資源以提高頻譜效率.在實際的無線通信環境中，由于MIMO信道中每個通信子信道的傳輸系數可以近似的看作是一個服從某項分布的隨機變量，因此MIMO信道可以看作是一個由多個隨機變量元素組成的信道矩陣[1]，目前對于MIMO信道容量的分析都是在假定的獨立平緩瑞利衰落信道基礎上[2-4].然而,在信號傳播的過程中，傳播信道之間會產生一定的相關性，它會對MIMO系統信道容量產生較大的影響，相關性的提高會使得系統信道容量的降低，直到相關性到達1時，MIMO系統將不再適于增加傳輸容量的技術.對于信道容量而言，相關性的增加對信道容量的影響相當于信噪比的減小.理論研究表明,如果發射天線到接收天線之間的信道為獨立的同分布平緩瑞利衰落信道，MIMO系統的信道傳輸容量決定于發送和接收天線的數目由少變多地呈線性增長[5].在實際的無線通信環境中,衰落并不是獨立的,由于天線間距、角度擴展、來波角度等因素的影響，使得獨立瑞利衰落信道的研究存在著相關性[6-7].即考慮在相關性存在的情況下，根據空間因素等的變化產生的容量的變化來得出MIMO信道的最優值. 本文引入MIMO技術的基本概念和工作原理，基于多天線系統的容量等效公式，從空間因素著手，分析天線相關性對多天線系統信道容量的影響，以期為多天線工程的設計提供有益的參考和借鑒.

1 MIMO系統信道容量

假設每個信號周期內的發射端的天線陣列上的信號為nT×1維列向量X，由下式表示

(1)

其中第i元素xi(t)表示從第i根天線傳輸的信號.

(2)

式中:Y為nR×1維接收信號向量，Z為nR×1維加性高斯白噪聲向量，均值為0，方差為E=σ2InR，InR為nR×nR單位陣，H為nR×nT維信道矩陣，由下式表示

(3)

假設信道為平緩的瑞利衰落獨立信道.為了達到歸一化的條件，假設每根接收天線所接收到的信號功率等于所有發射天線的信號總功率.也就是說，忽略了大尺度衰弱、陰影衰弱和天線增益帶來的信號放大或衰減等影響.因此hij滿足以下歸一化情況[8].

(4)

式中:i=1,2,…,nR.

如果衰落信道矩陣的每一個元素是隨機變量，則上式左端取它的數學期望值.對信道相關矩陣H進行奇異值分解，得到

(5)

其中，U為nR×nR的酉矩陣，V為nT×nT的酉矩陣，D為nR×nT的大于等于零的對角矩陣.U和V這兩個矩陣滿足UUH=InR和VVH=InT.對角矩陣D中的每個元素對應于矩陣HHH的特征值的平方根.HHH的特征值λ的表達式由下式給出

(6)

引入威沙特矩陣，其定義式是

俗話說，實踐是檢驗真理的唯一標準。但在我國由于管理會計引進的時間較短，且一開始是照搬國外的理論，我國自己的管理會計理論仍處于發展階段，在許多方面都沒有的到研究和論證。沒有合理的管理會計理論，不能將管理會計的理念與實際的工作相結合起來。在很多時候只是單獨的討論管理會計的重要性，卻忽略了管理會計在實際工作中的應用方法，使管理會計與企業出現脫節，無法發揮其真正的作用。

(7)

令M=min(nR，nT),式(6)定義了特征值與特征向量的關系，因此進一步改寫為

(8)

由于det(λIM-Q)的拉普拉斯最小項的乘積式中，(λIM-Q)每一行相對于λ的一次乘積項.M次復系數多項式具有M個零點，所以特征多項式可以表示成

(9)

由此可見，等效MIMO信道是由M個去耦平行子信道構成的，即等同于M個獨立的并行子信道相加的結果.所以，信道容量的增益等于矩陣HHH的特征值.比如，假設nT>nR，則等效的MIMO信道中，最大含有nR個非零增益子信道.同理，假設nR>nT，則等效的MIMO信道中，最多含有nT個非零增益子信道.假如等效MIMO信道下發送端的總功率設成P.并且發送端信道狀態信息不知道，則將發送總功率平均分配到每條天線上，記作P/nT，信道噪聲功率為σ2.令λ=-nTσ2/P，則MIMO信道容量的表達式表示

(10)

2 相關性分析

上述關于容量的討論是基于天線與天線間不具備相關性的，即相關系數為零.然而，在信號傳輸環境中，天線與天線之間因為電磁波的干擾、傳輸路徑的干擾，以及空間散射物質的干擾，發射端的信號到達接收端存在著相當大的影響.當相關系數達到1的時候，多天線系統將不再具有增大信道傳輸效率的作用，相反，還會因此浪費空間資源.由于信號的來波角度的非全向性和非均勻分布性質，信道傳輸函數的相關特性與相對應的空間距離向量的關系非常密切[9].

考慮空間因素中的天線間距、角度擴展和天線數量這幾個參數產生的相關性.在接收端接收天線采用等間距線性陣列，陣列模型如圖1所示.

假設兩根天線之間的距離為d,天線接收到的角度擴展為2Δ，平均來波角度為θ，來波角取決于概率密度p(θi)，概率密度是由角度擴展決定的，因此第m條天線和第n條天線之間的相關系數可由下式決定[10]，有

(11)

根據系統散射環境和天線所處位置的不同，在已有的許多文獻中，來波角譜考慮了許多種的分布，如有余弦分布，均勻分布，高斯分布和拉普拉斯分布.出于均勻分布的簡單性和一般性的考慮，這里假設來波方向服從均勻分布，即

(12)

此時，為了研究天線相關性對系統信道容量的影響，將信道矩陣H進行分解，得到如下表達式[11]

(13)

式(13)中R定義為nR×nR的接收天線正相關矩陣；T則是nT×nT的發射天線正相關矩陣；Hw中的每一個元素都是均值為零，方差為1的復高斯獨立的隨機變量.通過式(13),更能清晰地看出接收天線和發射天線的相關性對信道矩陣的影響.

因為發射端的信道狀態信息是未知的，發射信號總功率平均分配到每一根天線上，可得

(14)

再把式(14)代入式(10)中，令γ=P/σ2，只討論單位頻帶的容量，即C′=C/W，則容量公式變為

(15)

假定一個M階的相關矩陣A為

(16)

其中，r∈[0,1)是相關系數.則R=AnR(r),T=AnT(r),其中R和T分別是發射天線的相關矩陣和接收天線的相關矩陣.

這里，假定nR=nT=M，當信噪比較高的時候，多天線MIMO系統的信道容量可以改寫成

(17)

顯而易見，當發送端的信道狀態信息是未知的時候，將發送功率平均分配到每一根天線上，此時的R和T相關矩陣對信道容量的影響是一致的.假設發送端信道狀態信息是已知的，就要考慮功率分配來分析信道容量的大小.由此，這里只考慮接收端的相關性分析.

3 數值模擬與分析

模擬的MIMO系統是典型的室內微小區域，發射端和接收端都是均勻線性陣列[12].圖2中各曲線的天線配置是nR×nT，通過蒙特卡羅方法產生式(3)所示的信道矩陣，再根據式(10)得到的結果.從圖2可以看出，在低信噪比下，信道容量隨信噪比成對數關系增加；在高信噪比下，信道容量隨信噪比成線性關系增加.比較4發2收和3發3收可以看出，發射天線數的增加沒有接收天線數的增加對信道容量的影響更大.在天線數相同的條件下，天線的相關性降低了信道容量.同時看出，無論增加發射天線數或者增加接收天線數都能顯著地增加系統的信道容量.

下面討論的是天線間距，角度擴展對相關系數、信道容量的影響.圖3根據式(11)得到.圖3(a)給出的是在不同角度擴展下相關系數受天線間距的影響.從圖中可以看出，當角度擴展比較大的時候，相關系數隨著天線間距的增加很快地趨于0值，這是由于在接收天線角度擴展比較大的時候，信號傳輸子路徑的增益變大，相當于接收到的信號更多，信號的損失比較小，所需的空間間距也比較小.當角度擴展一定時，相關系數隨著天線間距的增大而減小，隨著天線間距的增大，相關系數漸漸地收斂于0的附近.

圖3(b)給出的是在不同天線間距下相關系數受角度擴展的影響.從圖中可以看出，當天線間距比較大的時候，相關系數隨著角度擴展的增加很快地趨于0值，這是由于隨著天線間距的增加，各天線間的相關性降低.特別當天線間距增大到一定程度時(如d=3.85/λ)，角度擴展對相關性的作用微乎其微.

圖4(a)和4(b)根據式(15)得到.圖4(a)給出了不同角度擴展下信道容量隨天線間距的影響.當天線間距一定的時候，隨著角度擴展的增大，信道容量趨于穩定值越快.也就是說，天線間距一定時，角度擴展越大，相關系數越快接近0，容量隨著相關系數的減小而增大.同理，角度擴展一定時，隨著天線間距的增大，信道容量能夠漸漸地趨于一個穩定的值.由圖4(a)和4(b)可以看出，接收發射天線數一定的時候，無論天線間距和角度擴展的增大如何，信道容量趨于一個相同的值.這個值就是我們要求的最優信道容量值.

圖4(b)給出了不同天線間距下信道容量隨角度擴展的影響，其理論闡釋與圖4(a)相仿，不再贅述.需要注意的是，當天線間距增大到一定程度時(如d=3.85λ)，角度擴展對相關性的作用，進而對信道容量的貢獻微乎其微.同時圖4(b)也從另一個側面映證了圖3(b)的結論.

4 結語

本文考查了多天線系統中，MIMO天線各參數對信道容量的影響.可以看到，在收、發端增加天線數會提高信道容量，不過天線之間的相關性，又會降低信道容量.雖然我們可以采用增大天線間距，或者增大角度擴展的辦法,以減小天線的空間相關性.但一味地增加天線間距和角度擴展也會給系統硬件設計帶來難度.本文探討天線數量、間距、角度擴展等因素對信道容量的影響.考查了在一定天線間距和角度擴展情況下，盡可能增加天線數量，以達到信道容量的最優值，這在工程上對多天線設計具有一定的參考意義.今后的工作可以圍繞功率分配對天線相關下信道容量的影響進行.

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(責任編輯 宋 靜)

Impact of Antenna Correlation on MIMO Channel Capacity

XIAO Xuefang1,2,3，LIN Feng4， LEI Guowei4

(1.SchoolofOpto-electronicandCommunicationEngineering,XiamenUniversityofTechnology,Xiamen361024,China;2.FujianUniversityKeyLaboratoryofOptoelectronicTechnology,Xiamen361024,China;3.XiamenLEDLightingEngineeringCenter,Xiamen361024,China;4.SchoolofScience,JimeiUniversity,Xiamen361021,China)

BasedontheequivalentformulaofchannelcapacityofMIMOsystem，theoptimalvalueisevaluatedamongthenumberofantennas,antennaspacing,anglespreadandchannelcapacity,andimpactofantennacorrelationonMIMOchannelcapacitycausedbythethreespacefactorsstudied.Simulatedresultsrevealthat,increaseoftransmittingorreceivingantennascanbothsignificantlyenlargethechannelcapacityofMIMOsystems,thelatterofwhichshowsbettereffect.Butexcessiveincreaseofantennaswillreducetheantennaspacingandincreasethecorrelationbetweenantennasandasaresultthechannelcapacitywillbereduced.Therefore,maximalnumberofantennasshouldbeusedinMIMOdesignwhilekeepingantennaspacingandanglespreadsoastoensuretheoptimalvalueofchannelcapacity.

MIMO;channelcapacity;antennacorrelation;numberofantennas;antennaspacing;anglespread

2016-07-05

2016-09-22

廈門理工學院預研科技項目(XYK201406)；福建省青年骨干教師出國留學1∶1配套項目(20150710605)[作者簡介]肖雪芳(1977-)，女，副教授,博士，研究方向為半導體、光電子、通信.E-mail:xfxiao5217@semi.ac.cn

TN

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1673-4432(2016)05-0064-06