Pareto分布形狀參數的E-Bayes估計和多層Bayes估計及其應用

韓明

(寧波工程學院理學院，浙江 寧波 315211)

Pareto分布形狀參數的E-Bayes估計和多層Bayes估計及其應用

韓明

(寧波工程學院理學院，浙江 寧波 315211)

給出了參數的E-Bayes估計的定義，對Pareto分布在尺度參數已知時，在平方損失下給出了形狀參數的E-Bayes估計和多層Bayes估計，并且用Monte Carlo方法給出了模擬算例.最后，結合高爾夫球手收入數據的實際問題進行了計算，結果表明本文提出的方法可行且便于應用.

Pareto分布；E-Bayes估計；多層Bayes估計；尺度參數；形狀參數

1 引言

1972年，文獻[1]中提出了多層先驗分布的想法、1997年，文獻[2]中提出了多層先驗分布的構造方法以來，多層Bayes方法在參數估計方面取得了一些進展(見文獻 [3]).但用多層Bayes方法得到的結果一般都要涉及復雜積分的計算，有時甚至是一些高維的復雜積分，雖然有MCMC(Markov Chain Monte Carlo)等計算方法(見文獻[4])，但在有些問題的應用上還是不太方便，這在一定程度上制約了多層Bayes方法的應用.在本文中我們將會看到，參數的E-Bayes估計與多層Bayes估計相比，在表達式上簡單，在應用上更方便一些.

Pareto分布是收入分配理論中的一種重要的統計分布，最初是由意大利人Pareto作為收入分布于1897年提出來的.Pareto是意大利工程師，社會學家，經濟學家，其中以經濟學家的身份最為著名.通過對有關收入分配的研究，Pareto發現一國之內人們的收入在高于某個值時的分布與社會經濟結構和“收入”的定義無關，具有普適性，大部分財富是集中在少數人手里的(20%的人占有80%的財富).此后，人們廣泛地將其用來描述自然和社會現象.1963年，曼德布羅特使用Pareto分布描述投機市場收益率的分布，1965年法瑪用Pareto分布研究過投資組合問題.這之后的很長時間，Pareto分布在主流金融領域默默無聞，直到1990年后，隨著對風險管理的重視，Pareto分布重新登上金融舞臺.例如，城市人口容量，股票價格的波動，保險風險等，都可以用Pareto分布來描述，因此對Pareto分布的研究具有重要的理論和實際應用價值.

Arnold在文獻[5]中，比較全面地研究了 Pareto分布的有關問題.在文獻[6]中，介紹了 Pareto分布 (特別是 Pareto分布與金融中的厚尾分布)，并對 Pareto分布的參數給出了Bayes估計及其應用.在文獻[7]中，對Pareto分布的參數，討論了LINEX損失下參數的經驗Bayes估計.在文獻[8]中，對Pareto分布的參數，根據文獻[9]中提出的E-Bayes估計法，在復合LINEX對稱損失下給出了參數的Bayes估計和E-Bayes估計及其應用.

本文將在第二節中，給出參數的E-Bayes估計的定義，并在此基礎上給出Pareto分布形狀參數的E-Bayes估計；在第三節中，給出Pareto分布形狀參數的多層Bayes估計；在第四節中，給出模擬算例；在第五節中，給出應用實例.

2 λ的E-Bayes估計

以下首先給出參數的 E-Bayes估計的定義，然后在此基礎上給出 Pareto分布參數的E-Bayes估計.

2.1 E-Bayes估計的定義

對0＜a＜1，b越大，Gamma分布密度函數的尾部越細.根據Bayes估計的穩健性(見文獻[10])，尾部越細的先驗分布常會造成Bayes估計的穩健性越差，因此b不宜過大，應該有一個界限.設b的上界為c，其中c＞0為常數.這樣可以確定超參數a和b的范圍為0＜a＜1，0＜b＜c(常數c的具體確定，見后面的應用實例).

2.2 λ的E-Bayes估計

定理2.2.1 設x1，x2，···，xn為來自Pareto分布(1)的樣本觀察值，在尺度參數α已知時，若λ的先驗分布為Gamma分布，其密度函數由(3)式給出，超參數a和b的先驗分布分別為(0，1)和(0，c)上的均勻分布，在a和b獨立時，則有如下結論：

3 λ的多層Bayes估計

若λ的先驗分布為Gamma分布，其密度函數由(3)式給出，超參數a和b的先驗分布分別為(0，1)和(0，c)上的均勻分布，在a和b獨立時，則λ的多層先驗密度函數為

定理3.1 設x1，x2，···，xn為來自Pareto分布(1)的樣本觀察值，在尺度參數α已知時，若λ的多層先驗密度函數由(4)式給出，則在平方損失下λ的多層Bayes估計為

4 模擬計算

以下采用Monte Carlo方法進行模擬計算.在模擬計算中參數估計的精度采用指標––參數估計的平均偏差，其定義如下：

在Pareto分布中，給定尺度參數α=100和形狀參數λ=3時，對n=10，30，50，100和c=0.1，0.5，1，用R軟件并采用Monte Carlo方法進行模擬計算，每種情況均進行1000次模擬計算，其計算結果如表1所示.

從表 1的計算結果來看，對相同的 n(n=10，30，50，100)和不同的 c(c=0.1，0.5，1)，和的計算結果都是比較穩健的；對相同的n(n=10，30，50，100)和相同的c(c= 0.1，0.5，1)，和的計算結果比較接近.

表1 △EB和△HB的模擬計算結果

表1 △EB和△HB的模擬計算結果

nc △λEB△λHBn c △λEB△λHB0.1 0.166 927 288 0.167 027 543 0.1 0.110 346 873 0.110 333 778 10 0.5 0.168 414 045 0.169 209 135 50 0.5 0.110 880 019 0.110 893 966 1.0 0.178 816 928 0.179 310 887 1.0 0.111 883 383 0.111 884 211 0.1 0.130 214 005 0.130 338 976 0.1 0.076 230 148 0.076 240 283 30 0.5 0.133 002 473 0.132 932 032 100 0.5 0.076 492 109 0.076 488 513 1.0 0.131 759 074 0.131 676 551 1.0 0.076 542 861 0.076 550 125

5 應用實例

文獻[5]中給出了 50名收入超過 70000美元的高爾夫球手，他們到1980年為止的收入的數據如表2所示(單位：1000美元)，并且這些數據服從尺度參數為 α=703，形狀參數為λ=2.23的Pareto分布.

表2 表高爾夫球手收入的數據

根據表2、定理2.2.1和定理3.1，λ的E-Bayes和多層Bayes估計的計算結果，如表3所示(c=0.1，0.3，0.5，1，1.5，2).

表3EB和HB的計算結果

表3EB和HB的計算結果

c 0.1 0.3 0.5 1 1.5 2︿λEB2.294 2 2.304 7 2.315 2 2.268 8 2.244 0 2.220 0︿λHB2.297 7 2.306 9 2.315 7 2.278 8 2.266 3 2.258 8︿λ-B0.003 5 0.002 2 0.000 5 0.010 0 0.022 3 0.038 8

從表3可以看出，對不同的c(c=0.1，0.3，0.5，1，1.5，2)，和都是穩健的；對相同的c(c=0.1，0.3，0.5，1，1.5，2)，和比較接近.

由于對不同的c(c=0.1，0.3，0.5，1，1.5，2)，和都是穩健的，因此在應用中，作者建議：c在0.1，0.3，0.5，1，1.5，2居中附近取值，如取c=1.

根據文獻[5]，表2的數據來自尺度參數為α=703和形狀參數為λ=2.23的Pareto分布.根據表3可以得到與λ=2.23的偏差：

其計算結果如表4所示.

表4△EB和△HB的計算結果

表4△EB和△HB的計算結果

c 0.1 0.3 0.5 1 1.5 2△︿λEB0.064 2 0.074 7 0.085 2 0.038 8 0.014 0 0.010 0△︿λHB0.067 7 0.076 9 0.085 7 0.048 8 0.036 3 0.028 8

從表4可以看出，

因此在c(c=0.1，0.3，0.5，1，1.5，2)時，EB、HB與λ=2.23的偏差都很小，并且EB的偏差比HB的偏差小，所以從這個意義上說E-Bayes估計比多層Bayes估計的精度更高.

從表 3可以看出，本文的計算結果與文獻 [8]中在復合 LINEX對稱損失下給出的 λ的Bayes估計和E-Bayes估計的計算結果比較接近.

6 結束語

本文對Pareto分布在尺度參數為已知時，在平方損失下給出了形狀參數的E-Bayes估計(定理2.2.1)和多層Bayes估計(定理3.1)，并且給出了模擬算例和應用實例.

作者認為，提出一種新的參數估計方法，必須回答兩個問題：第一個問題，新的估計方法與已有估計方法(計算)結果的差異有多大；第二個問題，新的估計方法與已有估計方法相比，有哪些優點.

至于第二個問題——E-Bayes估計法的優點，從定理2.2.1和定理3.1的表達式上看，顯然λ的E-Bayes估計比多層Bayes估計簡單.另外，從模擬算例和應用實例的具體計算中，我們也可以體驗到E-Bayes估計比多層Bayes估計簡單，E-Bayes估計法在應用上更方便一些.

關于E-Bayes估計法的其它優點，還有待進一步研究.關于E-Bayes估計法的其他研究，見文獻[11-12]等.

[1]Lindley D V，Smith A F M.Bayes estimaters for the linear model[J].Journal of the Royal Statistical Society，Series B，1972，34：1-41.

[2]韓明.多層先驗分布的構造及其應用[J].運籌與管理，1997，6(3)：31-40.

[3]Ando T，Zellner A.Hierarchical Bayesian analysis of the seemingly unrelated regression and simultaneous equations models using a combination of direct monte Carlo and importance sampling techniques[J]. Bayesian Analysis，2010，5(1)：65-96.

[4]Andrieu C，Thoms J.A tutorial on adaptive MCMC[J].Statistics and Computing，2008，18(4)：343-373.

[5]Arnold B C.Pareto Distributions[M].2nd ed.London/Boca Raton：Chapman and Hall/CRC，2015.

[6]韓明.貝葉斯統計學及其應用[M].上海：同濟大學出版社，2015.

[7]康會光，師義民.LINEX損失下Pareto分布參數的經驗Bayes估計[J].純粹數學與應用數學，2001，17(2)：169-171.

[8]韋程東，韋師，蘇韓.復合LINEX對稱損失下Pareto分布形狀參數的E-Bayes估計及其應用[J].統計與決策，2009，17：7-9.

[9]韓明.Pascal分布的參數估計[J].純粹數學與應用數學，2006，22(4)：510-515.

[10]Berger J O.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis[M].2nd ed.New York：Springer-Verlag，1985.

[11]Han M.E-Bayesian estimation of failure probability and its application[J].Mathematical and Computer Modelling，2007，45：1272-1279.

[12]Han M.E-Bayesian estimation of the reliability derived from binomial distribution[J].Applied Mathematical Modelling，2011，35：2419-2424.

The E-Bayesian estimation and hierarchical Bayesian estimation of shape parameter for Pareto distribution and its applications

Han Ming
(School of Science，Ningbo University of Technology，Ningbo 315211，China)

In this paper，the definition of E-Bayesian estimation of the parameter is provided；moreover，for Pareto distribution，under the condition of the scale parameter is known，based on the square error loss function，formulas of E-Bayesian estimation and hierarchical Bayesian estimation for the shape parameter are also provided，and using the Monte Carlo method simulation example is given.Finally，combined with the golfer income data practical problem are calculated，the results show that the proposed method is feasible and convenient for application.

Pareto distribution，E-Bayesian estimation，hierarchical Bayesian estimation，scale parameter，shape parameter

O213.2

A

1008-5513(2016)03-0235-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.002

2015-11-21.

寧波市自然科學基金(2013A610108).

韓明(1961-)，博士，教授，研究方向：數理統計與可靠性理論.

2010 MSC:62F15