張慧芳,薛西鋒
(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)
偏錐b-度量空間中的不動點定理
張慧芳,薛西鋒
(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)
在偏錐度量空間的基礎上,介紹了偏錐b-度量空間的相關概念,提出了偏錐b-度量空間和錐b-度量空間的關系,并給出了一個簡單的例子,最后研究了偏錐b-度量空間中在沒有正規性的條件下的一些不動點定理,從而推廣了巴拿赫壓縮原理.
偏錐b-度量空間;不動點定理;非正規性
文獻 [1]提出了錐度量空間及一些基本概念,并研究了正規錐下的一些不動點定理,文獻[2]研究了非正規錐度量空間中的不動點定理.文獻[3]提出了錐b-度量空間中在沒有正規性條件下的一些不動點定理,文獻[4]在非正規的偏錐度量空間中推廣了巴拿赫壓縮原理,本文在文獻[1-4]的基礎上,提出了偏錐b-度量空間的相關概念,并指出了其和錐b-度量空間的關系,最后證明了非正規偏錐b-度量空間中的一些不動點定理.
設E是一個拓撲向量空間,P是E的一個非空閉子集,若滿足:
則稱P為E中的一個錐.設x,y∈E,若x≤y?y-x∈P和x?y?y-x∈intP,則稱“≤”和“?”都為E中的偏序,這里intP表示P的內部.若intPΦ,則稱P為體錐.如果對于任意的x,y∈E都存在常數M>0,使得當θ≤x≤y,都有‖x‖≤M‖y‖,則稱P為范數向量空間(E,‖·‖)中的正規錐,而滿足上式最小的M稱為P的正規常數.
引理 2.1[4]設P為范數向量空間(E,‖·‖)的一個體錐,{un}是E的一個序列,若對每個ε∈intP,存在一個正整數n0,使得ε±un∈intP,即un?ε,對所有的n≥n0,則un依范數收斂于θ.
引理2.2[5]設(X,d)為Rn+上的完備的錐度量空間,且有映射 T:X→X.若存在一個線性有界映射L:Rn+→Rn+,且它的譜半徑r(L)<1,使得
定義 2.1[1]設 X 是一個非空集合,P是拓撲向量空間 E的一個錐,假設映射 d:X×X→P滿足:
定義 2.2[3]設X是一個非空集合,P是拓撲向量空間E的一個錐,s≥1為給定的實數,假設映射d:X×X-→P滿足:
定義 2.3[4]設 X 是一個非空集合,P是拓撲向量空間 E的一個錐.假設對于任意的x,y,z∈X,映射p:X×X-→P滿足:
定義 2.4 設X是一個非空集合,P是拓撲向量空間E的一個錐,s≥1為給定的實數.假設對于任意的x,y,z∈X,映射p:X×X-→P滿足:
注 2.1每個錐b-度量空間都是一個偏錐b-度量空間.下面的例子表明了偏錐b-度量空間卻不一定是錐b-度量空間.
定義2.5[4]設(X,p)為一個偏錐b-度量空間,{xn}?X,x∈X,則
定義2.6[6-7]設(X,p)為范數向量空間(E,‖·‖)上的關于體錐P的偏錐b-度量空間.
定理3.1 設(X,p)是范數向量空間(E,‖·‖)的一個體錐P上θ-完備的偏錐b-度量空間,且有映射 T:X→X.如果存在一個線性有界映射L:P→P,且r(L)<1,使得
定理3.2 設(X,p)是范數向量空間(E,‖·‖)的一個體錐P上θ-完備的偏錐b-度量空間,且有映射 T:X→X.若存在四個非負數c1,c2,c3,c4,且c1+c2+c3+2c4<1,使得
參考文獻
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Fixed point theorems in partial cone b-metric spaces
Zhang Huifang,Xue Xifeng
(College of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)
In this paper,we introduce the relevant concepts of partial cone b-metric spaces on the basis of partial cone metric spaces.Then we put forward the relationship between partial cone b-metric spaces and cone b-metric spaces and give a simple example.At last,We study some fixed point theorems in partial cone b-metric spaces over a non-normal solid cone.Our results also generalize Banach contraction principle.
partial cone b-metric spaces,fixed point theorems,non-normality
O177.91
A
1008-5513(2016)03-0263-08
10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.05
2015-11-04.
陜西省自然科學基金(2012JM1017).
張慧芳(1990-),碩士生,研究方向:非線性泛函分析.
2010 MSC:60B12