變荷載下雙層不排水樁復合地基一維固結分析

趙明華，吳岳武，鄭 玥

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

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變荷載下雙層不排水樁復合地基一維固結分析

趙明華，吳岳武，鄭 玥

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

假定弱排水樁復合地基中的樁體不排水，同時考慮地基土的成層性與荷載隨時間任意變化兩個條件，導出了變荷載下雙層不排水樁復合地基的一維固結控制方程，得到了此類地基中超靜孔隙水壓力的一般解析解，并給出了瞬時加載和單級等速加載兩種常見情況下超靜孔隙水壓力和固結度的解答；然后，通過將本文解退化為經典解和與算例分析兩種途徑驗證了本文解析解的合理性；最后，利用編程計算分析了雙層不排水樁復合地基的固結規律。結果表明：隨著樁徑比的減小、樁體剛度的增大和加荷速率的增大，固結速率會增大；kv2/kv1越大，E2/E1越大，h2/h1越小，則固結越快；分別按平均孔壓和按沉降定義的雙層不排水樁復合地基固結度會有差別，差別大小與各層土體的壓縮模量有關。

道路工程; 復合地基；不排水樁；固結；雙層；變荷載

0 引言

采用弱排水樁作為豎向增強體的復合地基法是軟土地基處理中的主要方法之一，例如水泥土攪拌樁復合地基和灰土樁復合地基等，已被廣泛應用于工程實踐中。與粗砂、碎石等散體材料不同，水泥土、灰土等屬于膠凝材料，膠凝材料的滲透性很小，在設計計算中一般予以忽略。研究表明[1]，水泥土攪拌樁的滲透系數可達到10-8～10-9cm/s數量級，通常比樁周軟土的滲透系數低1～3個數量級。因此，在分析弱排水樁復合地基的固結問題時，可簡化地將水泥土攪拌樁、灰土樁等膠凝材料樁視為不排水樁，即不考慮樁的滲透性，以期獲得解析解。

目前，關于砂樁、碎石樁等散體材料樁復合地基的固結理論已有較深入的研究，獲得了能夠考慮變荷載、地基成層和涂抹作用、樁未打穿以及半透水邊界等較為復雜條件下的固結解析解[2-5]。但迄今為止，不排水樁復合地基的固結理論研究則較少。楊濤等[6-8]將真實的非均質復合土體替代為等價均質復合土體，采用復合模量法對變荷載下不排水樁復合地基的固結問題進行了研究，但此方法缺少嚴格的理論推導；盧萌盟等[9]證明了不排水樁復合地基只會產生豎向滲流，獲得了瞬時加載和單級加載兩種情況下的單層不排水端承樁復合地基的一維固結解析解，但此理論沒有給出其他加載條件下的解析解；楊濤等[10]研究了當軟土地基較厚時復合地基分為上層加固區與下臥層的情況，給出了瞬時加載條件下不排水懸浮樁復合地基固結計算的解析公式，隨后，龔曉南等[11]導出了線性加載條件下不排水懸浮樁復合地基固結計算的簡化公式，發展了不排水樁復合地基固結理論。目前已提出的不排水樁復合地基固結計算模型，考慮了荷載線性施加和樁體懸浮，但沒有考慮地基土的成層性，而實際工程中，常會遇到樁體穿越成層軟土地基而嵌入持力層的情況,這便涉及成層不排水樁復合地基的固結度計算問題。在計算成層地基的固結度時，常將成層的非均質地基替代為均質地基，再利用太沙基一維固結公式計算，然而，采用這種加權平均的簡化計算方法一般難以得到合理結果[12]，因此，在建立固結計算模型時應考慮地基土的成層性。成層地基的固結理論研究歷來受國內外巖土工程界所關注，經過眾多學者多年研究，目前已有較多有關成層天然地基、成層砂井地基和成層散體材料樁復合地基固結理論的有益成果[12-15]，但迄今尚缺少關于成層不排水樁復合地基固結問題的解析解。另外，實際工程中復合地基上部荷載并不是瞬時施加，有必要根據實際工程的加載曲線，在復合地基固結分析中考慮施工荷載隨時間任意變化條件。

為此，本文擬在前人的研究基礎上，假定弱排水樁復合地基中的樁體不排水，同時考慮變荷載和地基土的成層性，研究了變荷載下雙層地基中不排水樁復合地基(簡稱雙層不排水樁復合地基)的固結問題，在證明此類雙層地基系統正交公式的基礎上，獲得了其解析解答，并通過將本文解退化為經典解和算例分析兩種途徑驗證了本文解析解的正確性，以期為施工時間控制和工后沉降控制提供一些指導。

1 固結模型的建立與分析

1.1 計算模型

圖1為變荷載下雙層不排水樁復合地基固結模型。其中，hi，kri(r)，kvi和Ei分別為土層i(i=1、2，分別表示上、下層)的厚度、徑向滲透系數、豎向滲透系數和復合壓縮模量，Ec為樁體壓縮模量，H為雙層地基總厚度，rc，rs和re分別為樁體、擾動區和影響區半徑；q(t)為大面積均布荷載，可隨時間任意變化。其排水條件為地基頂面透水，底面不透水。

圖1 雙層不排水樁復合地基固結模型Fig.1 Consolidation model of double-layered compositefoundation with impervious pile

本文采用如下假定：

(1)等應變條件成立，即樁體與土體均受側向約束，并且任意深度處豎向變形相等；

(2)土體完全飽和，土體中水的滲流規律服從達西定律；

(3)復合地基中的樁體不排水；

(4)所加荷載隨時間任意變化；

(5)在任意時刻兩層交界處的豎向滲透速率和孔隙水壓力處相等。

1.2 固結方程

對上述模型，由平衡條件、等應變假設和樁體不排水假設可得

(1)

(2)

由式(1)和(2)可得:

(3)

土體內徑豎向滲流的固結方程為[9]

(4)

式中，usi為土體內任一點處的超靜孔隙水壓力；γw為水的重度。

其邊界條件、連續條件和初始條件分別為

邊界條件:

(5)

(6)

連續條件:

(7)

初始條件:

(8)

式中，σ0為土體內的初始孔壓。

利用邊界條件式(5)，參考文獻[9]，可推導得到變荷載下雙層不排水樁復合地基的一維固結控制方程為

(9)

1.3 方程求解

首先，定義無量綱參數如下：

[10]，設式(9)的解形式如下：

(10)

(11)

式中，βm,μ,λm,Am,Bm和Cm均為待定系數；Tm(t)項由式(9)中的R(t)項引起，為時間t的待定函數。

式(10)、(11)顯然滿足邊界條件式(6)，將式(10)、(11)代入連續條件式(7)可得

(12)

式(12)也可以轉化為

μasin(μcλm)sin(λm)-cos(λm)cos(μcλm)=0，

(13)

式(13)即為確定特征值λm的特征方程。式(13)為超越方程，不能直接求解，可采用二分法編程求解。

再將式(10)、(11)代入式(9)，可得

(14)

以及待定系數Cm應滿足方程

(15)

類似于成層散體材料樁復合地基固結理論中的正交證明[15]，可證明雙層不排水樁復合地基的正交關系式在形式上與雙層散體材料樁復合地基固結理論的一致(證明略)：

(16)

利用式(15)和正交關系式(16)可得

(17)

最后由初始條件式(8)有

(18)

用確定Cm的同樣方法可得

(19)

現已求出所有待定系數，可寫出滿足一切求解條件的變荷載下雙層不排水樁復合地基的一般解答為:

(20)

代入荷載條件后，即可求得雙層不排水樁復合地基在不同加載條件下的固結解答。限于篇幅，本文僅給出瞬時加載和單級等速加載兩種常見情況下的解答，以供參考。

(1)瞬時加載情況下的解答

圖2為本文研究的兩種情況下的荷載施加曲線。如果荷載為瞬時施加時，σ0=n2qu/(n2-1), q(t)=qu, R(t)=0，由一般解答式(20)，可得瞬時加載情況下雙層不排水樁復合地基固結解為

(21)

(2)單級等速加載情況下的解答

如圖2(b)所示，如果荷載為單級等速施加，則初始孔壓σ0=0,且

(22)

將式(22)代入一般解答式(20)，可得單級等速加載情況下雙層不排水樁復合地基固結解為：

加載階段(0≤t≤tc)：

(23)

竣工后(t≥tc)：

(24)

如果令tc→0，式(23)和式(24)即退化為瞬時加載情況下的固結解表達式(21)。

圖2 荷載施加曲線Fig.2 Curves of loading

1.4 固結度計算

地基的平均固結度可按沉降定義和按平均孔壓定義[16]，當地基為雙層時，其計算公式分別為

(25)

由式(1)、(2)可得

(26)

當t→∞時，由式(26)可得土體內最終平均總應力為

(27)

將式(26)、(27)代入式(25)，可得

(1)瞬時加載情況下的平均固結度

將式(21)分別代入式(28)、(29)，可得瞬時加載情況下雙層不排水樁復合地基的平均固結度為

(30)

(31)

(2)單級等速加載情況下的平均固結度

將式(23)、(24)分別代入式(28)、(29)，可得單等速加載情況下雙層不排水樁復合地基的的平均固結度為

(32)

(33)

最后，對固結度解析解表達式(30)～(32)和(33)進行了討論：

(1)當地基為單層天然地基時有

a=b=d=1,c=0，且n→∞，

(34)

則

(35)

將式(34)代入式(13)可以求得

(36)

最后，將式(35)、(36)代入式(30)、(31)可求得

(37)

因此，本文解可退化為經典的太沙基一維固結解。

(2) 同理，當地基為雙層天然地基時，即當d=1,n→∞時，本文解可退化為雙層天然地基固結解[12]。

(3) 同理，當地基為單層不排水樁復合地基時，即當a=b=d=1且c=0時，本文解可退化為單層不排水樁復合地基固結解[9]。

2 算例驗證

楊濤等[6-8]將非均質復合地基替代為等價均質復合土體，采用復合模量法研究了不同加載條件下單層不排水樁復合地基的固結問題。該法采用提出的復合模量公式計算等價均質復合土體的模量后，再運用太沙基一維固結公式計算均質復合土體的固結度，其解答與有限元解具有較好的一致性。本文擬將獲得的雙層不排水樁復合地基固結解析解與文獻[6-7]的解答進行對比驗證，以期反映本文解析解的合理性。

由于目前鮮有關于雙層不排水樁復合地基固結問題的研究成果，在利用本文方法計算文獻[6、7]中單層不排水樁復合地基固結度時，人為地將單層地基劃成雙層地基，并且上、下層地基土參數均相同，即a=b=d=1，h1，h2可任意取值并滿足H=h1+h2。

本文的參數與文獻[6-7]的參數取值相同，如表1所示。其中，當荷載為大面積瞬時施加時，q0=100 kPa；當荷載為單級等速施加時，tc=12 d，荷載為大面積4 m厚填土。邊界條件為地基頂面透水，底面不透水。

表1 算例參數取值一覽表Tab.1 List of parameter values in calculation example

圖3給出了瞬時加載時不同樁土模量比情況下的兩種方法獲得的復合地基固結度隨時間變化的比較曲線。圖3表明，本文解析解與文獻[6]解有很好的一致性。

圖3 瞬時加載時復合地基固結度比較Fig.3 Comparison of consolidation degrees of compositefoundation under instantaneous loading

圖4給出了單級等速加載情況下本文方法和文獻[7]的復合模量法獲得的低透水樁復合地基固結度隨時間變化的比較曲線。圖4表明，單級等速加載條件下，本文方法獲得的固結度與文獻[7]的復合模量法獲得的固結度也具有很好的一致性。

圖4 單級加載時復合地基固結度比較Fig.4 Comparison of consolidation degrees of compositefoundation under single-stage loading

文獻[6-7]中基于等價均質土體的復合模量法可以認為是一種經驗方法，而本文解析解有嚴格的理論推導，更能反映固結的本質規律。另外，本文計算模型不僅可以計算雙層不排水樁復合地基的固結問題，也可以計算單層不排水樁復合地基的固結問題與雙層天然地基的固結問題，因此，本文方法更具普遍適用性。

3 參數分析

本文通過編程計算，探討了雙層不排水樁復合地基固結的一般規律。由本文解析解可以看出，雙層不排水樁復合地基固結計算主要取決以下無量綱參數:a=kv2/kv1,c=h2/h1,Y1=Ec/E1,Y2=Ec/E2,n和加載時間t，本文對以上參數進行了探討。此外，還將分別按沉降和按平均孔壓定義的固結度曲線進行了比較。各圖計算參數的取值見表2，表中，tc=0代表荷載瞬時施加，E1=3 MPa，h1=10 m，k1=10-6cm/s，圖5～圖9中的總平均固結度均按平均孔壓定義。

表2 各圖計算參數取值一覽表Tab.2 List of parameter values in each figure

圖5 樁徑比對固結過程的影響 Fig.5 Influence of pile-diameter ratio on consolidationprocess

圖6 樁土模量比對固結過程的影響Fig.6 Influence of pile-soil modulus ratio on consolidationprocess

圖5、圖6分別反映了樁徑比n和樁土模量比Y1,Y2對固結過程的影響。由圖5、圖6可得，根據本文給出的計算模型，在復合地基設計參數取值范圍內(通常n≤7)，隨著樁徑比的減小，固結速率會增大；樁、土模量的增大和樁土模量比的增大會加快固結速率；其他條件相同時，雙層不排水樁復合地基在雙層土是上軟下硬時固結更快，而當雙層土是上硬下軟時固結更慢。

圖7給出了不同加荷歷時下復合地基固結度隨時間變化曲線。圖中，加荷歷時越短，表示加荷速率越大，tc=0代表瞬時加荷的情況。從圖7中可以看出復合地基固結速率與加荷速率有關，復合地基的固結速率隨加荷速率的增大而增大，而瞬時加荷情況下復合地基固結速率最大，這反映了本文考慮施工荷載為變荷載是有必要的。

圖7 加荷速率對固結過程的影響 Fig.7 Influence of loading rate on consolidation process

圖8、圖9分別反映了滲透率之比和層高比對固結速率的影響。由圖8、圖9可得，kv2/kv1越大，固結越快；由圖9可知，層高比越小，固結越快?？傊?，kv2/kv1越大，h2/h1越小，E2/E1越大，則雙層不排水樁復合地基的固結速率越快。

圖8 上下土層滲透率之比對固結速率的影響Fig.8 Influence of ratio of soil layers’ permeability onconsolidation rate

圖10對分別按平均孔壓和按沉降定義得到的固結度曲線進行了比較。此圖表明，對于所給計算參數，按兩種不同定義分別得到的固結度會有差別，由式(25)可知，差別大小與各層土體的壓縮模量有關，僅當各層土體的壓縮模量相等時，按兩種不同定義分別得到的固結度才會相等，而對于單層不排水樁復合地基，則不存在這種差別，圖10從側面反映了考慮地基土的成層性是有必要的。因此，在計算成層不排水樁復合地基的固結問題時，應對固結度的定義予以區別。

圖9 層高比對固結速率的影響Fig.9 Influence of soil height ratio on consolidation rate

圖10 分別按平均孔壓和按沉降定義的固結曲線的比較Fig.10 Comparison of consolidation curves defined by average pore pressure and settlement respectively

4 結論

(1)本文的計算模型同時考慮了地基土的成層性和施工荷載隨時間任意變化兩個條件，不僅適用于變荷載下雙層不排水樁復合地基的固結計算問題，而且在一定條件下可以方便地轉化為單層不排水樁復合地基和雙層天然地基的固結計算問題，因此具有普遍適用性。

(2) 參數分析結果表明：隨著樁徑比的減小和樁體剛度的增大，固結速率會增大；加荷速率越大，固結速率則越大，在瞬時加載情況下固結速率達到最大；kv2/kv1越大，E2/E1越大，h2/h1越小，則固結越快。

(3)分別按平均孔壓定義和按沉降定義得到的雙層不排水樁復合地基固結度會有一定程度的差別，差別大小與各層土體的壓縮模量有關，僅當各層土體的壓縮模量相等時，按兩種不同定義分別得到的固結度才會相等。

參考文獻：

[1] 侯永峰，龔曉南. 水泥土的滲透特性[J]. 浙江大學學報：工學版，2000，34(2): 77-81. HOU Yong-feng, GONG Xiao-nan. The Permeability of Cement-treated Soil[J]. Journal of Zhejiang University：Engineering Science Edition, 2000, 34(2): 77-81.

[2] 張玉國，海然，謝康和. 變荷載下散體材料樁復合地基固結研究[J]. 巖土工程學報，2009，31(6): 939-945. ZHANG Yu-guo, HAI Ran, XIE Kang-he. Consolidation of Composite Ground with Granular Columns under Time-dependent Loading[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2009, 31(6): 939-945.

[3] 盧萌盟. 復雜條件下復合地基固結解析理論研究[D]. 南京：浙江大學，2009. LU Meng-meng. Research on Analytic Theory of Consolidation of Composite Foundation under Complex Conditions[D]. Nanjing: Zhejiang University, 2009.

[4] 孫舉，謝新宇，謝康和. 半透水邊界雙層復合地基固結解析理論[J]. 浙江大學學報：工學版，2007，41(9): 1467-1476. SUN Ju, XIE Xin-yu, XIE Kang-he. Analytical Theory for Consolidation of Double-layered Composite Ground under Impeded Boundaries[J]. Journal of Zhejiang University：Engineering Science, 2007, 41(9): 1467- 1476.

[5] 盧萌盟，謝康和，王玉林，等. 碎石樁復合地基非線性固結解析解[J]. 巖土力學，2010，31(6): 1833-1840. LU Meng-meng, XIE Kang-he, WANG Yu-lin, et al. Analytical Solution for Nonlinear Consolidation of Stone Column Reinforced Composite Ground[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(6): 1833-1840.

[6] 楊濤，李國維. 路堤荷載下不排水端承樁復合地基固結分析[J]. 巖土工程學報，2007，29(12): 1831-1836. YANG Tao, LI Guo-wei. Consolidation Analysis of Composite Ground with Undrained Penetrating Piles under Embankment Load[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2007, 29(12): 1831-1836.

[7] 楊濤，石磊，李國維. 變荷載下不排水端承樁復合地基固結分析[C]//第十屆全國地基處理學術討論會論文集.南京：東南大學出版社，2008: 206-209. YANG Tao, SHI Lei, LI Guo-wei. Consolidation Analysis of Composite Ground with Undrained Penetrating Piles under Time-dependent Load[C]//The 10th National Conference on Foundation Treatment. Nanjing: Southeast University Press, 2008: 206-209.

[8] 楊濤，石磊，李國維. 路堤分級填筑條件下不排水端承樁復合地基固結分析[J]. 公路交通科技，2008，25(10): 31-35. YANG Tao, SHI Lei, LI Guo-wei. Consolidation Analysis of Composite Ground with Undrained Penetrating Piles under Stage Embankment Construction[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2008, 25(10): 31-35.

[9] 盧萌盟，謝康和，周國慶,等. 不排水樁復合地基固結解析解[J]. 巖土工程學報，2011，33(4): 574-579. LU Meng-meng, XIE Kang-he, ZHOU Guo-qing, et al. Analytical Solution for Consolidation of Composite Ground with Impervious Pile [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2011, 33(4): 574-579.

[10]YANG T, YANG J Z, NI J. Analytical Solution for the Consolidation of a Composite Ground Reinforced by Partially Penetrated Impervious Columns[J]. Computers and Geotechnics, 2014, 57(2): 30-36.

[11]GONG X N, TIAN X J, HU W T. Simplified Method for Predicating Consolidation Settlement of Soft Ground Improved by Floating Soil-cement Column[J]. Journal of Central South University, 2015, 22(7): 2699-2706.

[12]謝康和. 雙層地基一維固結理論與應用[J]. 巖土工程學報，1994，16(5): 24-35. XIE Kang-he. Theory of One-dimensional Consolidation of Double-layered Ground and Its Application [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1994, 16(5): 24-35.

[13]TANG X W, ONITSUKA K. Consolidation of Double-layered Ground with Vertical Drains[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2001, 25(14): 449-1465.

[14]王瑞春，謝康和，唐曉武. 未打穿散體材料樁復合地基固結解析研究[J]. 公路交通科技，2004，21(4): 12-16. WANG Rui-chun, XIE Kang-he, TANG Xiao-wu. Analytical Study on Consolidation of Composite Ground with Partially Penetrated Granular Columns[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2004, 21(4): 12-16.

[15]王瑞春. 豎井地基和散體材料樁復合地基固結解析研究[D]. 杭州：浙江大學，2001: 88-118. WANG Rui-chun. Analytical Studies on Consolidation of Soft Clay Ground Improved by Vertical Drains or Granular Columns[D]. Hangzhou：Zhejiang University, 2001: 88-118.

[16]GB/T 50279—2014，巖土工程基本術語標準[S]. GB/T 50279—2014, Standard for Fundamental Terms of Geotechnical Engineering[S].

Analysis of 1D Consolidation of Double-layered Composite Foundation with Impervious Pile under Time-dependent Loading

ZHAO Ming-hua，WU Yue-wu，ZHENG Yue

(School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha Hunan 410082, China)

Assuming that the weak drainage piles are undrained in composite foundation, considering both layered soils and time-dependent loading, we derived the 1D consolidation control equations of double-layered composite foundation with impervious pile under time-dependent loading, and obtained the general analytical solutions of the excess pore water pressure of such foundation. Then, we gave the analytical solutions of the excess pore water pressure and the consolidation degree in the common cases of instantaneous loading and single-stage constant loading respectively. After that, we verified the reasonableness of the analytical solution through the ways of numerical example and the degradation of the solutions in this article to classical solutions. Finally, we investigated the consolidation rule of double-layered composite foundation with impervious pile by programming computation. The result shows that (1) the consolidation rate will increase when the pile stiffness increases and loading rate increases while the pile diameter ratio decreases; (2) whenkv2/kv1is greater,h2/h1is smaller andE2/E1is greater, the consolidation rate is greater; (3) the consolidation degrees are different when defined by average excess pore water pressure and settlement respectively, and the size of difference is related to the soil’s compression modulus of each layer.

road engineering; composite foundation；impervious pile；consolidation；double-layer；time-dependent loading

2016-06-12

國家自然科學基金項目(51478178)

趙明華(1956- )，男，湖南洞口人，教授，博士生導師.(mhzhaohd@21cn.com)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.11.007

TU

A

1002-0268(2016)11-0042-08