基于卡方檢驗的多天線認知無線網絡協作頻譜感知算法①

徐 偲盧光躍 葉迎暉 彌 寅

(西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室 西安 710121)

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基于卡方檢驗的多天線認知無線網絡協作頻譜感知算法①

徐 偲②盧光躍 葉迎暉 彌 寅

(西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室 西安 710121)

研究了基于分集的多天線認知無線網絡的頻譜感知技術。針對天線獨立性會導致已有的基于協方差矩陣的協作頻譜感知算法性能急劇下降甚至失效的問題，提出了一種基于卡方擬合優度檢驗的多天線協作頻譜感知算法。該算法將頻譜感知問題轉化為一個多項分布檢驗的問題，然后利用卡方擬合優度檢驗判決頻譜是否空閑，從而實現頻譜感知。理論分析和仿真表明，該算法的性能不受天線相關性以及噪聲不確定度的影響。

認知無線電， 協作頻譜感知， 卡方擬合優度檢驗， 分集增益

0 引 言

近年來，多天線系統由于可以提高頻譜感知(spectrum sensing, SS)可靠性而被廣泛應用于認知無線電(cognitive radio, CR)中?？紤]到靜態頻譜分配政策導致大量的空閑頻譜得不到充分的利用，作為一種動態頻譜管理技術，認知無線電(CR)可解決當前日益嚴重的頻譜資源匱乏、頻譜利用率不高的問題。頻譜感知(SS)是認知無線電網絡的核心環節，其核心思想是允許感知用戶在授權用戶不使用授權頻段時動態接入該頻段，而當授權用戶重新使用授權頻段時能夠及時撤出，以免干擾授權用戶通信?？梢?，認知無線電的首要任務是頻譜感知。關于頻譜感知算法，早期的研究多針對單天線場景，經典的頻譜感知方法主要有能量檢測(energy detection，ED)算法[1，2]、循環平穩特征檢測(cyclostationary feature detection，CFD)算法[3]和匹配濾波(matched-filtering，MF)檢測算法[4]等。ED算法實現簡單且不需要任何關于信號的先驗知識，只需要噪聲方差，噪聲不確定性會導致ED算法的感知性能急劇下降。CFD算法需要信號循環特征頻率的先驗知識，并且復雜度高。MF算法必須預知授權信號波形的先驗知識，并且對于同步的要求也比較高，當先驗知識不準確時，該算法的性能會受到較大影響。

由于ED算法受噪聲不確定性的影響，Zeng等人利用天線相關性提出了克服噪聲不確定性影響的兩類頻譜感知算法：基于特征結構的頻譜感知算法[5，6]及基于協方差的頻譜感知算法?；谔卣鹘Y構的頻譜感知算法主要利用接收信號協方差矩陣特征值和特征矢量的性質進行感知，其中基于特征值的感知算法主要有最大最小特征值之比(MME)算法和最大最小特征值之差(DMM)算法[7，8]等，基于特征矢量的頻譜感知算法主要有特征模板匹配(feature template matching, FTM)算法和子空間投影(SP)算法等[9,10]。該類算法雖然克服了能量檢測(ED)算法受噪聲不確定性影響的問題，但是需要進行特征值分解運算，算法復雜度高?；趨f方差的檢測算法主要有協方差絕對值(covariance absolute value, CAV)算法[11]、最大相關系數(maximum correlation coefficient, MCC)算法[12]及協方差行列式(covariance determinant, VD)算法[13]，CAV算法利用樣本協方差矩陣所有元素的絕對值之和與對角線元素絕對值的比值來判斷主用戶是否存在。該類算法假設天線之間信號具有相關性而噪聲獨立。天線分集增益利用無線信道中不同空間位置衰落特性不同實現信號空間分集接收，克服了信道衰落，此時天線之間的距離通常大于10個波長，天線之間相關性變低，以上算法性能下降甚至失效[14]。

針對ED算法對噪聲不確定性敏感和CAV算法受天線相關性影響的問題，本文提出了基于擬合優度卡方檢驗(Chi-square detection, CSD)的協作頻譜感知算法。該算法通過卡方擬合優度檢驗區分有無授權用戶信號時的接收信號功率。頻譜空閑時各天線的接收功率相等，頻譜繁忙時各天線的接收功率會產生差異。由于比較的只是天線功率，對天線的相關性沒有要求并且不需要精確估計噪聲方差，因此該算法適用于天線相關性低的場景，同時不受噪聲不確定度的影響。本文介紹了多天線頻譜感知系統模型，包括信號模型、天線相關模型以及多天線頻譜感知中常用的ED算法和CAV算法，闡述了基于卡方檢驗的頻譜感知算法的基本原理并且推導了算法理論門限，給出了算法仿真結果及分析。

1 多天線頻譜感知系統模型

1.1 信號模型

考慮一個授權用戶，一個具有M根天線的認知用戶的多天線頻譜感知系統(如圖1所示)，頻譜感知的基本問題是在噪聲環境中檢測是否有授權用戶信號存在。通常，頻譜感知可以表述為一個二元假設檢驗問題[15]，即存在兩種假設：H0表示授權用戶不存在，頻段空閑，接收到的信號中只有噪聲，這里假設噪聲是獨立同分布的；H1表示授權用戶存在，頻段被占用，接收到的信號是授權用戶信號疊加噪聲。因此，假設每根天線采集N個信號，第m(m=1,…,M)根天線接收到的信號可以表示為

n=1,2,…,N (1)

其中sm(n)表示第m(m=1,…,M)根天線在第n點采樣所得的授權用戶信號向量，wm(n)表示均值為零、方差為σ2的加性高斯白噪聲向量，hm表示第m根天線接收信道的信道增益，假設信道是一個瑞利慢衰落。

于是，M根天線收到的用戶信號可表示為

(2)

同理，有

S=[s1, s2,…, sM]T

W=[w1, w2,…, wM]T

M根天線的信道增益構成一個向量：

h=[h1, h2,…, hM]T

信號的瞬時功率矩陣為

(3)

其中，*代表兩個矩陣的Hadamard乘積。

假設S和W相互獨立，M根天線收到的授權用戶信號的統計協方差矩陣為

G=XXH

(4)

圖1 認知無線電多天線系統模型

1.2天線相關模型

當天線之間的間距較大時(通常大于10個波長)，可以利用空間分集技術提高通信質量，但是此時天線間的相關性變低。

在多天線系統中，天線之間的相關性通常用指數相關模型來刻畫[16]。在一個具有M根天線的多天線系統中，天線相關矩陣H=E(hhT)的第i行第j列的元素可以表示為

i, j=1,…,M, 0≤ρ≤1 (5)

其中，ρ是兩根相鄰天線之間的相關系數。文獻[17]中對ρ定義如下：

ρ=e-23Λ2(d/λc)2

(6)

其中，Λ是角度擴展，λc是波長，d是兩根鄰近天線之間的距離。因此，天線相關矩陣H是一個托普利茲矩陣?；趨f方差的檢測算法正是利用信號之間的相關性進行頻譜感知，當天線之間的距離增大時，相關性變低，感知性能會大大下降，甚至不能進行頻譜感知。

1.3 ED算法

多天線ED算法是一種經典的頻譜感知算法，不需要任何關于信號的先驗知識。該算法將接收信號的總能量作為檢驗統計量，即

(7)

在式(1)的頻譜感知模型中，當授權用戶存在時接收信號的總能量增大。因此ED算法將檢驗統計量TED的值與預設門限對比來確定授權用戶是否占用頻譜。根據中心極限定理(central limit theorem, CLT)，判決統計量在H0時服從正態分布：

(8)

其中，σ2是噪聲方差。因此，給定一個虛警概率Pf，判決門限可以表示為[2]

(9)

1.4 協方差絕對值(CAV)算法

為了克服ED算法受噪聲不確定度影響這一缺點，文獻[12]利用式(4)中接收信號的統計協方差矩陣在H0和H1時的差異來判斷授權用戶是否存在。

當H0成立時，由于高斯白噪聲之間不具有相關性，因此G的非主對角線元素趨于零；而當H1成立時，由于天線接收信號的相關性，G的非主對角線元素受天線間相關性的影響，天線相關性越強，非對角線元素數值越大。CAV算法利用這一特性設置檢驗統計量：

(10)

其中，Gmk代表G的第m行、第k列的元素。

CAV算法利用H0時接收信號之間不具有相關性而H1時接收信號具有相關性這一特性進行頻譜感知，不需要關于噪聲方差σ2的先驗知識，克服了不受噪聲不確定度的影響。但是在天線相關性低或噪聲具有相關性的場景下，算法性能下降甚至失效。另外，CAV算法的理論門限與檢測點數有關，當采樣點數發生變化時，需要重新計算門限。

2 基于卡方檢驗(CSD)的頻譜感知算法

針對ED算法受噪聲不確定度影響以及CAV算法在天線相關性低或者噪聲具有相關性時算法性能下降的問題，本文提出了一種基于卡方檢驗的頻譜感知算法，利用瞬時功率矩陣的秩推導出的頻數向量，將頻譜感知問題轉換為頻數向量是否服從多項分布的問題，再通過卡方檢驗加以解決。

2.1 算法原理

在H0時，式(3)所示的瞬時功率矩陣P的第m行第n列元素為pm(n)=w2m(n)，由于此時接收信號只有噪聲，因此每根天線的平均功率水平是一致的；而在H1時，pm(n)=(hmsm(n)+w2m(n))2，由于信道增益hm服從正態分布，在一段感知時間內每根天線的信道增益各不相等[11]，這導致了不同天線的平均功率水平存在差異，因此可以通過比較天線的瞬時功率來實現頻譜感知。

為此，可利用非參數統計中的秩方法來衡量各天線的功率差異，通過排序得到每個樣本在總體樣本中所占的位次并將其作為統計量，這樣只保留了樣本的大小關系信息，而丟棄了具體數值信息。下面考慮的CSD算法即是分別對每個采樣時刻M根天線得到的數據(即P的每一列數據)作排序處理，從而得到其秩矩陣：

(11)

其中，R元素的取值范圍為1到M之間的整數。例如若P中第n列有p3(n)

可見，天線瞬時功率大小關系已經轉換為秩。于是將矩陣R中的每行(即每根天線數據)得到的秩向量作為一個檢測組，記為Rm=(rm(1),rm(2),…,rm(N))，m=1,2,…,M。

統計Rm中出現k(k=1,2,…,M)的頻數zm(k)，并用向量表示：

Zm=(zm(1), zm(2),…, zm(M))

(12)

H0時，理論上Rm中每個值的頻數是相等的，即Zm服從多項分布Jm(N,p0)，p0=(1/M, 1/M,…,1/M)[18]。而H1時，由于存在信道增益hm，衰落較大的天線功率較低，導致了秩向量中較小的值的頻數會增加，Zm偏離多項分布Jm(N,p0)。因此通過判斷Zm是否服從多項分布Jm(N,p0)來判斷授權用戶是否存在，相應地，頻譜感知問題轉化為如下的擬合優度檢驗問題:

(13)

卡方擬合優度檢驗[19]是非參數擬合優度檢驗的一種，它通過比較觀察頻數與期望頻數來衡量觀測數據和一個具體分布的偏離程度。

利用卡方檢驗，對于第m個檢測組Rm，根據其中出現的每個值的頻數向量Zm，設置檢驗統計量為

(14)

當H0假設成立時，Zm～Jm(N,p0)。由文獻[19]可知N→∞時，Tm的極限分布是自由度為M-1的卡方分布，即

(15)

將Tm與門限η對比來判斷授權用戶是否存在，Tm<η時第m個檢測組判斷H0成立；否則判斷H1成立。利用“或”融合檢測準則[20]對全部M個檢測組的感知結果進行融合判決:

(16)

由于比較的只是天線功率，對天線的相關性沒有要求，且不需要精確估計噪聲方差，因此該算法適用于低天線相關性的場景，同時算法不受噪聲不確定度的影響。

2.2 判決門限γ的推導

眾所周知，在頻譜感知(SS)中，根據給定的恒虛警概率Pf，得到算法的判決門限是頻譜感知算法的關鍵。一般地，判決門限可通過兩種方法確定，一種方法是采用蒙特卡洛仿真法，但通信系統的參數(如采樣點數等)如果發生了改變，就需要重新進行仿真得到新的判決門限，因此此種方法不太適合認知無線電(CR)系統；第二種方法就是獲取恒虛警判決門限的理論表達式，此種方法計算簡單，比較適合實際的CR系統。因此，本小節在上一小節的基礎上推導確定理論的判決門限。

預設虛警概率為Pf，由于采用“或”融合檢測準則，根據文獻[20]可知，每個檢測組的虛警概率ξf和Pf之間存在關系：

ξf=1-(1-Pf)1/N

(17)

第m(m=1,2,…,M)個檢測組的虛警概率為ξf=Pr(Tm<γ|H0)。由式(14)可知，H0時Tm服從自由度為M-1的卡方分布，所以累積分布函數為

(18)

η=F-1(1-ξf)

(19)

綜合式(17)和式(19)，可以通過預設的虛警概率計算判決門限：

η=F-1((1-Pf)1/N)

(20)

2.3 算法步驟

綜上，本文所提基于卡方檢驗(CSD)的頻譜感知算法步驟如下：

(1)給定Pf，查表[21]或根據式(20)計算門限η；

(2)得到接收數據，并根據式(3)計算瞬時功率矩陣P，對P中各列做排序處理，得到秩矩陣R；

(3)將R中每行元素做為一個檢測組，計算式(12)所示的頻數向量Zm,m=1,2,…,M；

(4)根據式(14)計算檢驗統計量Tm,m=1,2,…,M；

(5)根據式(16)進行判決。

3 仿真分析

本節通過仿真，驗證文中所提的CSD算法的有效性，從多個方面與ED算法[2]、CAV算法[11]與MCC算法[12]的檢測性能作對比。若無特殊說明，仿真中，天線數M=4，每根天線的采樣點數N=400，預設虛警概率Pf=0.1，當存在噪聲不確定度α時[8]，真實的噪聲方差在區間[B-1σ2,Bσ2]取值，其中B=100.1α。

本文比較了在天線之間相關系數變化時，CSD算法與CAV算法、MCC算法的性能(ED算法的性能與天線間的相關系數無關，所以不做比較)。仿真過程中相關系數分別取0.7和0.3，三種算法的檢測概率隨信噪比變化如圖2所示。圖2表明當天線之間的相關性變低時，CAV算法、MCC算法的性能明顯下降，但CSD算法感知性能與節點相關系數無關，仍然能保持較好的感知性能。

圖2 不同相關系數下性能比較

圖3分析噪聲不確定度對感知性能的影響。由于CAV算法、MCC算法不需要噪聲功率的先驗知識，因此該仿真中CSD算法只與ED算法比較性能。仿真過程中設置噪聲不確定度α=1dB、α=2dB，由圖3可以看出，ED算法受噪聲不確定度影響，當不確定度增加時，ED算法的性能會大大下降。CSD算法由于不需要噪聲功率的先驗知識，因此對噪聲不確定性穩健。

圖3 不同噪聲不確定度下性能比較

為了充分驗證CSD算法的有效性，圖4在實際的利用天線分集增益的多天線頻譜感知場景中通過ROC性能曲線對CSD算法與CAV算法、MCC算法和ED算法性能進行對比，設置天線相關系數ρ=0.3，噪聲不確定度α=2dB，信噪比SNR=-6dB。根據IEEE802.22的標準[22]，實際的虛警概率不得超過0.1，我們對虛警概率在0至0.1部分進行了仿真。從圖4可以看出，CSD算法的性能優于另外三種算法。

圖4 多天線頻譜感知中各算法性能比較

為了驗證式(20)中判決門限確定方法，圖5在恒虛警概率Pf=0.1條件下，將CSD算法的理論判決門限和實際判決門限作對比。由圖5可見，當采樣點數變化時，CSD算法的判決門限基本保持不變，并與理論判決門限一致。這說明CSD算法的理論判決門限是正確的，并且與采樣點數無關。圖6對式(15)中的統計量Tm服從自由度為M-1的卡方分布這一結論進行了驗證，當天線數M發生變化時，Tm的理論分布與實際分布基本一致，這充分驗證了統計量推導的準確性。

圖5 恒虛警概率時判決門限隨采樣點數變化

圖6 統計量Tm的理論分布與實際分布對比

在實際的頻譜感知中，算法的復雜度也是要考慮的重要因素，因而本文進行了算法的復雜度對比(見表1)。

表1 不同算法的復雜度對比

由于CSD算法不需要矩陣內積以計算信號協方差矩陣，因此運算量低于CAV和MCC算法，但是高于ED算法。

4 結 論

本文提出了一種基于擬合優度卡方檢驗的多天線協作頻譜感知算法，該算法不僅克服了ED算法受噪聲不確定度影響的問題，而且克服了基于協方差的頻譜感知算法在天線分集增益導致的低天線相關性場景下性能下降的缺點。因此，所提算法可以廣泛用于多天線頻譜感知系統中。

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Cooperative spectrum sensing using Chi-square test for multi-antenna cognitive radio

Xu Cai, Lu Guangyue, Ye Yinghui, Mi Yin

(National Engineering Laboratory for Wireless Security, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121

The spectrum sensing of diversity-based multiple antenna cognitive radio systems was studied. To solve the problem that the performance of the existing cooperative spectrum sensing algorithm based on covariance matrix degrades seriously due to the channel independence, a new cooperative spectrum sensing algorithm based on Chi-square goodness of fit test for multi-antenna cognitive radio systems was presented. The algorithm transforms the spectrum sensing problem into a multinomial distribution test problem, and uses the Chi-square goodness of fit test to examine a spectrum if idle so as to realize spectrum sensing. The theoretical analysis and simulation show that the performance of the proposed algorithm is robust to the antenna correlation and noise uncertainty.

cognitive radio, cooperative spectrum sensing, Chi-square goodness of fit test, diversity gain

①國家自然科學基金(61271276， 61301091)和863計劃(014AA01A705)資助項目。

②男，1994年生，碩士；研究方向：現代移動通信中信號處理；聯系人，E-mail: houstonxc@163.com

2016-02-03)

10.3772/j.issn.1002-0470.2016.07.006