王 艷,姜金平,張 鳳,嚴建軍
(延安大學 數學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)
有界區域上自治Cahn- Hilliard方程的指數吸引子
王 艷,姜金平*,張 鳳,嚴建軍
(延安大學 數學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)
自治Cahn- Hilliard方程;Lipschitz特性;Squeezing特性;指數吸引子
近年來,有關吸引子的存在性問題是無窮維動力系統研究的一個熱點問題,如文獻[1][2]系統研究了方程吸引子的存在性和其它性質,文獻[3]用到擠壓性,證明了指數吸引子的存在性,文獻[4][5]研究了Cahn- Hilliard方程的全局吸引子存在性。本文借助文[2]中的方法,考慮如下自治Cahn- Hilliard方程在有界區域上指數吸引子的存在性,
ut+v△2u=△f(u),(x,t)∈Ω×(0,)
(1)
(2)
u(x,τ)=uτ(x),t>τ。
(3)
其中Ω?Rn(n≤3)是具有光滑邊界的有界區域。
f′(s)≤l,?s∈R,
(4)
(5)
?u,v∈B?V。
引理3 假設f滿足條件(4)和(5),u(t)、v(t)是問題(1)的兩個解。初值分別為u0,v0∈B,則
(6)
又由(4)式知
故有
由Poincare不等式可知:
應用Gronwall引理可得
‖w(t)‖2≤e2lt‖w(0)‖2
其中Pm:V→Vm是正交投影。即對任意的w∈H可以進行如下的正交分解
由于
(△(f(u)-f(v)),q)
(7)
如若不然,假設
因此
由定義2知擠壓性成立,即可得如下定理。
定理1 假定f滿足條件(4)和(5),則方程(1)-(3)的解半群S(t)在L2(Ω)上存在指數吸引子。
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(責任編輯:周曉南)
Exponential Attractors for Autonomous Cahn- Hilliard Equation on Bounded Domains
WANG Yan,JIANG Jinping*,ZHANG Feng,YAN Jianjun
(College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University ,Yan’an 716000,China)
In this paper, by proving Lipschitz,and.and the squeezing property, the existence of exponentiall attractors for autonomous Cahn- Hilliard equation in the spaceL2(Ω) was gained.
autonomous Cahn- Hilliard equation; Lipschitz property; Squeezing property; exponential attractor
1000-5269(2016)06-0014-02
10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.06.04
2016-04-26
2016年陜西省教育廳科研項目資助(16JK1856);延安大學校級科研引導項目資助(YD2015-09)
王艷(1989-),女,在讀碩士,研究方向:無窮維動力系統,Email: wangjinxiaxia@qq.com.
*通訊作者: 姜金平,Email:yadxjjp@163.com.
O175.29
A