矩形孔徑主動自由曲面變形數據擬合

周 超，邢廷文

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矩形孔徑主動自由曲面變形數據擬合

周 超，邢廷文

( 中國科學院光電技術研究所，成都610209 )

折反式深紫外光刻物鏡采用反射鏡為主動自由曲面，補償系統熱像差。一些物鏡系統要求反射鏡的通光孔徑為矩形。出于描述反射鏡主動變形的目的，需要采用矩形區域正交的多項式擬合變形數據。高精度的擬合要求需要獲得高階的多項式表達式。本文根據正交多項式的性質，推導了矩形正交多項式的通式并列出前36項多項式的表達式。應用該多項式對主動自由曲面的變形數據進行擬合。結果表明，變形均方根值(RMS)在2 nm~5 nm范圍內，最小擬合殘差可達0.024 nm。根據擬合殘差面形的特點，可以對主動自由曲面的結構設計改進。

Zernike多項式；矩形孔徑；正交多項式；折反射式光刻物鏡

0 引 言

光刻機是大規模集成電路制造的核心設備，也是最復雜精密的光學系統之一[1]。掩模、鏡片甚至空氣因熱效應引起的像差都會降低電路圖案的曝光質量。因此，熱像差主動補償是目前光刻機研制的關鍵技術之一。一種可行的技術路線是將光刻物鏡中的反射元件改造為可主動變形的主動自由曲面，從而實現多模式像差補償[2]。

像差補償原理是主動自由曲面產生與波像差等量相反的變形而消除像差。在主動補償過程中，像差以Zernike模式系數的形式在程序數據流中出現。因此要求鏡面的面形也采用模式系數表示。而折反射式深紫外光刻物鏡中，其反射鏡通光孔徑為矩形[3]。為滿足這類光刻物鏡的高精度補償熱像差的要求，需要一種在矩形區域正交且與光學模式匹配的多項式用于面形數據擬合。

早在1981年Mahajan應用Gram-Schmitt正交化方法，基于圓Zernike多項式推導了一系列的環形區域正交多項式[4]。后續研究者按照該方法完成了對六邊形孔徑[5]、矩形孔徑[6-8]、方形孔徑和狹縫[9]的部分正交多項式推導。然而該方法是一種遞推的方法：在已知前項表達式的基礎上，需要進行次積分運算方可獲得第+1項。多項式級次越高，表達式越復雜而計算量也越大。因此文獻[6]，[7]和[8]中分別僅計算出了多項式的前9項、前15項以及前21項。目前光刻物鏡要求對前36項Zernike模式像差補償，未來的要求是滿足前64項Zernike模式像差或更高的補償要求[10]。目前矩形孔徑高階變形表達方法是采樣點上正交向量替代正交多項式用于擬合[11]。該方法存在擬合精度受殘差干擾和擬合結果受采樣點影響的缺點。當前的研究結果無法滿足高精度擬合鏡面面形的要求。因此，獲取矩形孔徑正交多項式的通式表達式有利于高階像差的表達，從而獲得對鏡面的高精度擬合。

1 光刻物鏡中的主動自由曲面

常見的主動補償元件，如變形鏡、主動鏡，是圓形孔徑。本文針對光刻物鏡的應用環境，主動補償器件的通光孔徑是矩形孔徑。圖1為來自文獻[3]的工作波長193 nm深紫外光刻物鏡。它采用折反射結構，像方數值孔徑為1.35。第24和25光學面為反射鏡面。光刻物鏡的有效視場為100 mm×25 mm的矩形范圍。追跡光路兩次通過面24的位置：第1次是由物體發出的光經過面24反射，獲得通光孔徑區域；第2次是由面25反射到像面的光經過面24位置，獲得不可遮擋的透光區域。如圖2(a)所示，下方矩形區域為通光區域，上方矩形區域為透光區域。表1列出了兩區域的邊界坐標。

圖1 深紫外光刻物鏡模型

表1 反射鏡24的通光孔徑和透光區域

從表1中列出的數據，可以計算出基于反射面24的主動自由曲面孔徑為250 mm′84.4 mm的矩形區域。主動自由曲面由排布在鏡面背后的促動器作用實現鏡面的主動變形，其結構模型如圖2(b)所示。根據熱像差的特性，控制促動器陣列產生對應的鏡面變形從而補償像差。

圖2 (a) 反射面24的通光(下矩形)和透光區域(上矩形)；(b) 基于反射面24的主動自由曲面結構模型

2 矩形孔徑正交多項式

主動自由曲面的變形模式要與熱像差模式一致，變形的描述需要一組與像差對應的多項式。光學像差與Zernike多項式相對應。而Zernike多項式數學上是一組二維泰勒多項式。若矩形孔徑正交多項式由二維泰勒多項式構成，則可與光學像差保持關聯。因直角坐標系比極坐標系在描述矩形區域更方便，故將矩形上正交的多項式記為。在圖3所示單位正方形區域{(,)|0≤≤1, 0≤≤1}中，多項式正交則滿足：

圖3 單位方形區域

其中a表示R()中t的系數。R()需要滿足正交關系：

將矩形正交多項式S(，)用R()構成為

則S(，)必然滿足式(1)，是矩形區域正交的多項式。于是推導矩形區域正交的多項式的問題歸結為求解R()的表達式。

將式(5)代入式(4)，得到R()系數方程組。由(+1)/2個方程組成：

得到的系數表達式：

將上式和式(4)帶入到式(6)，得到矩形區域的正交多項式表達通式：

式(9)所表示的多項式在圖3所示單位正方形區域上具有正交特性。通過坐標變換可以擴展到任意矩形區域范圍內正交，這表明矩形區域正交多項式可以與經典的圓Zernike多項式一樣，可由通式經過簡單計算得到某項表達式，而不需按照文獻[6]和[7]中的方法，從低階項遞推到高階項，也不需如文獻[8]和[9]中對多項式進行數值近似求解而簡化表達式，而且不同于參考文獻[6-9]中的多項式表達式隨擬合區域尺寸改變而需重新計算，本文提出的多項式只需簡單的坐標變換就滿足不同尺寸矩形區域。該多項式與圓Zernike多項式一樣是完備的二維泰勒多項式，能滿足光刻物鏡中對高階像差表達的需求。本文提出的多項式具有項數多、應用方便和擬合精確的優點。表2中列出了前36項矩形區域正交多項式的表達式。

表2 矩形區域正交多項式

注：

3 矩形孔徑面形數據擬合結果

193 nm光刻物鏡需補償的熱像差通常PV值小于25 nm，RMS在2 nm~5 nm范圍。在此考慮前36階Zernike像差補償。用上述正交多項式在Matlab中擬合補償不同熱像差時的主動自由曲面面形。受篇幅限制，圖4~圖6僅列出表3中前3種情形下的主動自由曲面面形，本文36項多項式擬合結果和文獻[7]多項式擬合結果。三組圖中：圖(a)為主動自由曲面面形，圖(b)為本文推導的多項式擬合面形結果，圖(c)為本文多項式擬合殘差，圖(d)為參考文獻[7]列出的多項式擬合面形結果，圖(e)為參考文獻[7]多項式擬合殘差。

表3中歸納了10組面形的擬合結果比較。本文多項式在多數情形下擬合殘差RMS小于0.1 nm，能夠滿足高精度的擬合面形數據的要求。情形3的擬合殘差RMS為0.32 nm，表明該結構的主動自由曲面對情形3熱像差的補償能力稍差。所有情形中本文多項式擬合精度都優于文獻[7]所列的多項式擬合精度。

圖4 情形1的面形數據擬合結果

圖5 情形2的面形數據擬合結果

圖6 情形3的面形數據擬合結果

表3 10組面形的擬合結果比較

高精度擬合鏡面面形的殘差為圖4(c)、圖5(c)以及圖6(c)顯示的斑點狀圖案。這是促動器在該處推拉鏡面所產生的尖銳變形，表現為高于36階的模式面形。殘差圖指示了這些不被期望出現的高階變形的位置。從情形3的殘差圖6(c)可了解到，較多的高階面形出現在鏡面下部左右對稱的兩塊區域。在主動自由曲面設計過程中，通過對該區域促動器數量增加和分布優化可降低高階面形量來提高主動自由曲面補償性能。但在面形擬合精度不夠高時，如殘差圖6(e)中，促動器導致的尖銳變形被部分低階模式掩蓋而不能提供指導作用。

4 結 論

本文針對光刻物鏡熱像差補償的應用中的需求，通過數學推導得到矩形區域正交多項式的通式表達式并列出了前36項多項式的具體表達式。相比于其他研究者，本文的正交多項式表達式計算更容易、列出項數更多。在面對高階像差擬合的需求問題，可通過增加正交多項式項數，提高對矩形孔徑面形表示的精度。運用該多項式對10組不同的鏡面變形數據擬合表達，從結果看變形RMS在2 nm~5 nm范圍內，多數情形擬合殘差小于0.1 nm，最小擬合殘差RMS可達0.032 nm。擬合結果能夠準確的描述矩形鏡面的變形。而且殘差圖顯示了主動自由曲面變形的高階變形區域，能指導其結構優化設計。

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Deformation Data Fitting of Active Free-form Surface with Rectangular Aperture

ZHOU Chao，XING Tingwen

( Institute of Optics and Electronics, Chinese Acadmy of Science, Chengdu 610209, China )

Catadioptic deep ultraviolet lithography objective took the mirror as active free-form surface to compensate thermal aberration. Mirror in compliance with the requirements of the system optical path had a rectangular aperture. For the purpose of describing the active deformation of mirror, it’s necessary for orthogonal polynomials in rectangle zone to fit the deformation data. For high accuracy of fitting surface deformation, it was needed to obtain higher order polynomial expressions. According to the properties of orthogonal polynomials, rectangular orthogonal polynomials formula was derived and the first 36 polynomial expressions were listed. And the polynomials were applied to fit the deformation data of active free-surface. The results showed that the minimum fitting residual error RMS is 0.024 nm when the deformation is 2 nm~5 nm in RMS. According to the characteristic of fitting residual map, the structure design of the active free surface could be improved.

Zernike polynomial; rectangle pupil; orthogonal polynomial; catadipotric lithography objective

1003-501X(2016)12-0104-06

O435.2；O439

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.12.017

2016-05-03；

2016-05-12

周超(1989-)，男(漢族)，湖北武漢人。博士研究生，主要研究工作是光學系統像差補償。E-mail: gxmarble@163.com。