基于XFlow的渦激振動壓電能量收集數值研究

張 敏，謝玉林，雷 林，賴宇陽

(1.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240；2.重慶交通大學 航運與船舶工程學院，重慶 400074；3.樹優信息技術有限公司，北京 100062)

基于XFlow的渦激振動壓電能量收集數值研究

張 敏1，2，謝玉林2，雷 林2，賴宇陽3

(1.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240；2.重慶交通大學 航運與船舶工程學院，重慶 400074；3.樹優信息技術有限公司，北京 100062)

基于格子波爾茲曼無網格方法，利用XFlow對低質量阻尼比的單圓柱進行了渦激振動的數值模擬，數值計算結果與實驗結果吻合較好。利用XFlow與OpenModelica建立流-機-電耦合計算模型求解渦激振動與高斯定律聯立方程，對渦激振動壓電能量收集進行了數值分析，得到不同電阻下的電壓及功率輸出。通過對振幅及電壓時程曲線的比較得到兩者相位差的變化規律。結果表明：輸出電壓隨著電阻的增大而增大，輸出功率在特定來流速度和電阻時最大。

機電工程；XFlow；渦激振動；低質量阻尼比；壓電能量收集

0 引 言

渦激振動的研究已經有幾十年的歷史，針對剛性圓柱的渦激振動問題，國內外的學者給出了大量的實驗結果和分析模型，C.H.K.WILLIAMSON等[1]對渦激振動研究進行了總結和分析，并指出鈍體的不同響應模式決定于質量阻尼系數，較低的質量阻尼系數具有更大的共振范圍以及更高的振幅，這一特性更有利于進行渦激振動的能量收集。

壓電能量收集技術是近年來研究的熱點，眾多學者對不同壓電換能裝置的能量收集進行了研究[2-3],H.D.AKAYDIN等[4]對一個直徑為19.8 mm的空心圓柱加單懸臂梁壓電裝置進行了風洞試驗研究，獲得最大功率為0.1 mW。E. MOLINO-MINERO-RE[5]對一系列圓柱加單懸臂梁壓電裝置進行了水槽渦激振動能量收集試驗，圓柱直徑為8 mm時獲得最大功率為0.31 μW。A. MEHMOOD等[6]對低雷諾數、高質量比的渦激振動壓電能量收集進行了計算，獲得的最大功率為10 μW。王軍雷等[7]使用OpenFOAM對帶有壓電懸臂梁的圓柱及方柱的渦激振動問題進行了研究，并與試驗進行了對比，指出升力系數隨風速單調遞增，圓柱與方柱發生鎖定的速度不同。之后將開路電壓方程與渦激振動方程耦合，分析了低雷諾數下電壓的輸出特性，當U*=5.6時，開路電壓為8.42 V[8]。針對負載電阻R的研究表明，當R為特定值時，系統的分流阻尼最大，系統可以獲得最高的輸出功率[9]。文獻[10]對置于鈍體后的PVDF懸臂梁進行了數值研究，研究的重點是PVDF懸臂梁的大變形流固耦合計算問題，機電耦合跟流固耦合采用了分步計算，對鈍體與懸臂梁的距離對輸出電壓的影響進行了分析。

設計了一種雙壓電懸臂梁裝置，用來收集渦激振動的能量。首先使用XFlow進行了圓柱渦激振動的驗證計算，之后利用XFlow與OpenModelica建立了渦激振動壓電耦合計算模型，計算系統的能量收集特性及參數影響。

1 渦激振動數值計算驗證

XFlow基于無網格/格子波爾茲曼方法(LBM, lattice boltzmann method)，用介觀模型來模擬流體宏觀行為，具有易于使用、無需網格、高效并行、邊界條件處理簡單、模擬精確等特點。其內置的結構求解器，以自然的方式允許完全的流固耦合分析。筆者使用XFlow進行圓柱渦激振動計算，計算域見圖1。

圖1 計算域(單位：m)Fig.1 Computational region

圓柱渦激振動的運動微分方程可表示為：

(1)

式中：m為圓柱質量；c為阻尼；k為剛度。各無量綱參數見表1。

表1 無量綱參數

計算參數選取如下：圓柱的直徑D=0.01 m，質量比m*=1.19，固有頻率fn=10 Hz，折合速度范圍U*=4.0～20.0，雷諾數范圍Re=4 000～20 000，水密度ρ=1 000 kg/m3，動力黏度系數μ=0.001 Pa·s，阻尼比ξ=0.005 02，計算域為1.2 m×0.4 m，坐標原點位于圓柱中心處，距離上游出口0.4 m，距離下游出口0.8 m，如圖1。

將XFlow數值計算得到的振幅比、頻率比隨折合速度的變化規律R.GOVARDHAN & WILLIAMSON[11]的實驗結果進行對比，如圖2，圖3。當U*在3～6，XFlow模擬得到的振幅和頻率偏高；當折合速度在6～9，XFlow模擬得到的振幅符合實驗結果并在折合速度為7.8時達到最大振幅比A*≈1，而頻率相對偏低；當折合速度在9～12，XFlow模擬得到的振幅下降幅度與實驗結果保持一致；當折合速度在12～16，振幅基本保持不變；在此之后，振幅繼續呈現下降趨勢，頻率繼續上升。計算結果與實驗結果吻合得很好，結果表明XFlow可以很好地對低質量比，高雷諾數的圓柱渦激振動進行模擬。

圖2 振幅比隨折合速度的變化規律對比Fig.2 Comparison of the variations of the amplitude ratio with the reduced velocity

圖3 頻率比隨折合速度的變化規律對比Fig.3 Comparison of the variations of the frequency ratio with the reduced velocity

2 渦激振動能量收集

2.1 物理模型

筆者設計的能量收集裝置是將兩個壓電懸臂梁固定到圓柱的橫向位移自由度方向上，能量收集裝置的原理如圖4。其中c為系統的阻尼，k為系統剛度，y(t)為圓柱橫向位移，Rl為等效負載電阻，U為來流速度。圓柱將在流場中產生的振動來帶動壓電懸臂梁振動產生電荷。壓電能量收集裝置的結構圖以及電路連接如圖5，圖6。

圖4 壓電能量收集裝置示意Fig.4 Schematic of the piezoelectric energy harvester

圖5 壓電能量收集裝置Fig.5 Energy harvesting system with circuit,Fig.6

圖6 壓電懸臂梁剖視圖Fig.6 cross-sectional view of a bimorph cantilever

2.2 數學模型

該系統的控制方程為彈性支撐的剛性圓柱振動與高斯公式[12]的耦合方程：

(2)

(3)

式中：θ為有效機電耦合系數；R為等效負載電阻；C為壓電層的等效電容；V為等效負載電阻的電壓。

上述參數的表達式為[13]

θ=2θp=e31(hp+hs)b

(4)

R=Rl

式中：Cp為單壓電層的電容；θp為單個雙晶懸臂梁的機電耦合系數；Rl為負載電阻；e31為壓電常數；ε0為真空電容率；εr為相對電容率；hp，b和L分別代表壓電層的厚、寬和長；hs為基層的高度。

在開路電壓的分析中，令R=∞，由式(3)可得圓柱橫向位移與開路電壓Voc之間的關系：

(5)

開路時壓電耦合可在形式上看成在原結構中附加了一個剛度項：

(6)

對于有負載電阻的情況，筆者使用XFlow與OpenModelica進行耦合計算。由XFlow計算圓柱所受的流體激振力F(t), OpenModelica編制的程序用來求解方程(2)、方程(3)，并將計算得到的圓柱位移y傳回XFlow。對于開路情況，根據公式(6)在XFlow中設置渦激振動方程進行計算。

3 渦激振動能量收集計算

能量收集計算中，系統機電耦合系數θ=2.022e-4(V/N)，單壓電層電容Cp=6.130e-8(F)。

圖7，圖8為帶不同負載電阻與不帶壓電的振幅比與頻率比變化規律的對比圖。選取負載電阻分別為R=1e7 Ω，R=2e5 Ω，R=1e3 Ω。結果表明開路時系統的振幅與不帶壓電時的基本一致，頻率比也沒有顯著的變化，由式(6)可知開路計算時，只是在方程中增加了一個較小的剛度項，因此系統的動力響應沒有明顯變化是合理的。當有電路連接負載電阻時，3個不同電阻的振幅在共振區域有不同程度的降低。當R=1e7 Ω時，最大振幅比A*=0.95；當R=2e5 Ω時，最大振幅比A*=0.9；當R=1e3 Ω時，最大振幅比A*=0.92。壓電效應對本系統的動力響應的影響不強，振幅比與頻率比分布規律相同。

圖7 不同負載電阻時的振幅比曲線Fig.7 Amplitude ratio curves for different values of load resistance

圖8 不同負載電阻時的頻率比曲線Fig.8 Frequency ratio curves for different values of load resistance

若假設圓柱的振動為正弦振動：

y(t)=A× sin ωt

(7)

式中：ω為振動頻率，A為振幅。將式(7)代入式(3)并整理可得：

由式(8)可知負載電阻的電壓幅值與系統的振幅、頻率、機電耦合系數以及壓電裝置等效電容有關。對于特定結構，系統的等效電容及機電耦合系數固定，當電阻值一定時，系統振幅及振動頻率相對穩定時，電壓輸出曲線應為平滑曲線。圖9～圖12為折合速度為4，8，10，14時不同電路連接的振幅以及電壓輸出時程曲線，分別位于鎖定區域前、中、后的位置。隨著折合速度的增加，振動頻率隨之增加，而振幅與電壓先增大后減小。折合速度為4，14時，振幅并不穩定，這與渦街頻率與系統固有頻率差距較大有關；當折合速度為8，10時，系統振動相對穩定，特別在折合速度為10時，4種情況振幅與電壓的輸出曲線都比較平滑，而其它速度下除了開路情況，3個電阻的電壓曲線尖峰處都出現不同程度的振蕩。

由式(8)可知，振幅曲線與電壓曲線之間的相位差除了與負載電阻、振動頻率有關，還與壓電裝置等效電容有關。由圖9，當折合速度為4時，開路情況下振幅曲線與電壓曲線反相；R=1e7 Ω時，相位差約為0.009 πrad;R=2e5 Ω時，相位差約為0.31 πrad;R=1e3 Ω時，相位差約為0.5π rad。綜合圖9～圖12可知：開路情況下，電阻無窮大，振幅與電壓僅是反相；有負載電阻時，隨著電阻的增大，相位差減??；同一電阻時，隨著折合速度的增大或者振動頻率的提高，相位差減小。

圖9 U*=4時振幅和電壓時程曲線Fig.9 Amplitude and voltage time traces when U*=4

圖10 U*=8時振幅和電壓時程曲線Fig.10 Amplitude and voltage time traces when U*=8

圖11 U*=10時振幅和電壓時程曲線Fig.11 Amplitude and voltage time traces when U*=10

圖12 U*=14時振幅和電壓時程曲線Fig.12 Amplitude and voltage time traces when U*=14

開路以及3種負載電阻情況下，電壓隨折合速度的變化曲線如圖13。折合速度為8時，即圓柱的振幅達到最大時，系統所產生的電壓也最大，且隨著電阻增大，電壓也增大。當電阻R=1e7 Ω時電壓與開路電壓已較為接近；當電阻R=2e5 Ω時，最大電壓由開路的32.5 V降低為21 V。

圖13 不同負載電阻時的電壓曲線Fig.13 Voltage curves for different values of load resistance

圖14 不同負載電阻時的功率曲線Fig.14 Power curves for different values of load resistance

從圖14可知系統電阻過大或電阻過小都會使功率減小，當電阻R=2e5 Ω時功率達到最大值2 205 μW。這是由于負載電阻要與壓電材料的阻抗相匹配才能得到最高的輸出功率[14]，因此在一個較窄的頻率范圍內，最大功率輸出并不出現在輸出電壓最高的負載電阻上，而是有一個最佳負載電阻。

4 結 論

采用流體力學模擬軟件XFlow對低質量比、高雷諾數下二維圓柱的渦激振動進行數值模擬，并與國外實驗結果進行對比，然后計算了不同負載時的圓柱渦激振動壓電能量收集情況，研究了不同負載下系統的動力響應以及電壓、功率輸出情況，得到如下結論：

1)根據Govardhan & Williamson實驗參數對質量比為1.19，直徑d為0.01 m的單圓柱在高雷諾數環境下進行了渦激振動的數值模擬，計算得到的振幅-速度曲線與實驗吻合，振動圓柱振幅峰值出現的位置基本一致，說明利用XFlow對圓柱渦激振動進行數值模擬是可行的。

2)通過對帶壓電裝置和不帶壓電裝置圓柱進行模擬，并將兩種情況下的圓柱渦激振動響應特性進行對比，發現帶壓電圓柱與不帶壓電圓柱的振幅及頻率基本保持一致，只在有負載電阻時，振幅有較小的減少。說明本系統的壓電效應對圓柱渦激振動的影響較小，在該系統中進行能量收集比較穩定。

3)通過對振幅及電壓時程曲線的比較分析得到：開路情況下，振幅與電壓反相；有負載電阻時，隨著電阻的增大，相位差減??；同一電阻時，隨著折合速度的增大或者振動頻率的提高，相位差減小。

4)使用XFlow與OpenModelica建立了渦激振動壓電能量收集的流-機-電耦合模型，得到了系統在不同負載電阻的工況下，振幅、頻率、電壓、功率隨速度的變化規律。發現系統在負載電阻R=2e5 Ω，折合速度為7.8時系統獲得最高的輸出功率為2 205 μW。

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(責任編輯 朱漢容)

Numerical Research of Piezoelectric Energy Harvesting from VIV Based on XFlow

ZHANG Min1，2，XIE Yulin2，LEI Lin2，LAI Yuyang3

(1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240，P.R.China;2. Shipping and Marine Engineering College, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074，P.R.China;3. Soyotec Limited, Beijing 100062，P.R.China)

The VIV numerical simulations of a circular cylinder with low mass damping ratio is done by using XFlow based on lattice Boltzmann meshless method. The numerical results are in good agreement with the experimental results. The fluid-mechanical-electric coupled model is established in XFlow and OpenModelica to solve the VIV and Gauss simultaneous equations. The output voltage and power of different values of load resistance are obtained through the numerical analysis. The change rule of the phase difference between the amplitude and voltage is obtained through comparing the amplitude and voltage time traces. The results show that the output voltage increased with the resistance load, the maximum output power can be obtained at a certain stream velocity and load resistance.

electromechanical engineering; XFlow; VIV; low mass damping ratio; piezoelectric energy harvesting

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.01.19

2015-09-12；

2015-12-15

重慶市社會民生科技創新專項項目(cstc2015shmszx30031)；重慶市教委科學技術研究項目(KJ1705142)；重慶交通大學實驗教學改革與研究基金項目(syjg201513)

張 敏(1982—)，男，山東人，講師，博士研究生，主要從事計算流體力學、能量收集方面的工作。E-mail: zhangmin@cqjtu.edu.cn。

U661.1；TK 79；TN 384

A

1674-696(2017)01-103-07