動能攔截器軌道修正能力的數值計算方法

鄭丹

(酒泉衛星發射中心，甘肅 蘭州 732750)

動能攔截器軌道修正能力的數值計算方法

鄭丹

(酒泉衛星發射中心，甘肅 蘭州 732750)

大氣層外動能攔截器末段的軌道修正能力與制導方式有關，給出了某種制導方式下軌道修正能力的數值計算方法。該方法通過計算動能攔截器在飛行末段能夠消除的最大零控脫靶量得到軌道修正能力。仿真結果表明，該數值計算方法不僅可以計算裝藥量充足情況下的軌道修正能力，而且可以計算裝藥量不足時的軌道修正能力。該數值計算方法具有編程實現簡單和計算快捷的優點，可以滿足快速計算軌道修正能力的需求。

動能攔截器；數值計算方法；攔截域；軌道修正能力；裝藥量；零控脫靶向量

0 引言

大氣層外動能攔截器通過精確末制導能力直接碰撞摧毀目標彈頭。攔截彈中末交班時的零控脫靶量必須小于動能攔截器的軌道修正能力，才能實現直接碰撞殺傷的目的[1]，若目標彈頭在此之前機動使零控脫靶量大于動能攔截器的軌道修正能力則可實現中段突防[2]，因此研究動能攔截器的軌道修正能力具有重要意義。目前，研究動能攔截器的快速響應控制技術的文獻較多[3-4]，對攔截彈“攔截窗口”也有一定的研究結果[5-7]，而對動能攔截器軌道修正能力的研究相對較少。

文獻[2]研究了動能攔截器軌道修正能力的數值計算方法，通過計算單臺軌控發動機開機在末段能夠實現的最大軌道修正量，得到了動能攔截器軌道修正能力的代數表達式。通過該方法可以得到動能攔截器在單個制導平面內的軌道修正能力，如果動能攔截器的裝藥量充足，那么可以進一步得到2個制導平面合成的動能攔截器的軌道修正能力。文獻[8]使用該方法分析了“標準-3”攔截彈的末段軌道修正能力。如果動能攔截器在軌道修正時調整姿態角，使軌控發動機對準脫靶量方向，那么由軌道修正能力構成的“攔截域”形狀為圓形。此時，通過文獻[2]的方法可以直接計算得到軌道修正能力。如果動能攔截器在軌道修正時不調整姿態(滾轉指令角為0)，文獻[9]在這種情況下對采用某種軌控開關規律的動能攔截器仿真計算了“攔截域”，仿真結果表明當裝藥量充足時，由軌道修正能力構成的“攔截域”形狀近似為正方形，隨著裝藥量逐漸減少，“攔截域”的形狀由充足時的正方形逐漸萎縮為圓角正方形、圓形、菱形和星型，“攔截域”的面積和尺寸也逐漸縮小。此時，這些形狀對應的軌道修正能力不能直接使用文獻[2]的公式進行計算。

文獻[10]研究了文獻[9]的制導方式下導引頭測量誤差和軌控開關門限對軌道修正能力的影響。文獻[9]和[10]都是通過建立動能攔截器的六自由度仿真模型進行仿真計算，沒有給出軌道修正能力的數值計算方法，關于“攔截域”的研究結果缺乏理論支持。同時，仿真方法由于模擬動能攔截器復雜的制導過程，編程實現復雜且計算時間較長。因此，需要研究此制導方式下軌道修正能力的數值方法。

當裝藥量不足時，2個制導平面對裝藥量的消耗不僅與末制導初始時刻的零控脫靶向量在2個制導平面內的分量有關，還與軌控開關規律有關。因此，軌道修正能力的數值計算方法應與零控脫靶向量的方向和軌控開關規律有關，即數值計算方法不僅含有裝藥量、結構質量、推力、待飛時間、彈目相對距離和彈目相對速率等參數，還應包括制導控制參數和零控脫靶向量的單位方向矢量。

本文首先給出動能攔截器的制導方式，然后針對該制導方式，給出了軌道修正能力的數值計算方法，最后在各種裝藥量情況下計算動能攔截器的軌道修正能力，并與仿真結果進行了對比。

1 動能攔截器的制導方式

本文考慮如下的末制導方式：彈體的姿態角穩定跟蹤末制導初始時刻的指令姿態角，指令姿態角使動能攔截器彈體坐標系與末段初始時刻的視線坐標系重合，并且滾轉指令角為0。其中，視線坐標系的x軸由動能攔截器質心指向目標質心，y軸在當地鉛垂面內垂直向上，z軸由右手螺旋法則確定。

軌控發動機的布局如圖1所示。

圖1 軌控發動機布局(后視)圖Fig.1 Arrangement of divert control motors (back view)

(1)

軌控發動機的開關規律為：

其他情況，2#，4#發動機均關閉。

其他情況，1#，3#發動機均關閉。

其中，ω開>0為常值開關門限。

姿控采用文獻[11]中的開關控制規律。

2 軌道修正能力的數值計算方法

針對第1節給出的制導方式，軌道修正能力的函數表達式為

記nzem方向上的零控脫靶向量為zem·nzem，其中zem為零控脫靶量。當零控脫靶量zem小于動能攔截器在nzem方向上的軌道修正能力時，zem能夠被動能攔截器修正到末制導精度范圍內；當zem超過軌道修正能力時，則zem不能被動能攔截器完全修正，隨著zem越大，脫靶量越大。因此，可以得到nzem方向上的脫靶量示意圖，如圖2所示。圖2中，當zem小于軌道修正能力modify時，脫靶量在末制導精度范圍ZERO內；當zem超過軌道修正能力modify時，隨著zem越大，脫靶量越大。因此，在nzem方向上的軌道修正能力可以通過計算動能攔截器能夠消除的零控脫靶量zem的最大值得到，即

(2)

圖2 nzem方向上的脫靶量示意圖Fig.2 Illustration of miss distances in the direction nzem

首先給出脫靶量miss(zem·nzem)的計算方法，再給出modify的計算方法。

2.1 脫靶量的計算方法

(3)

(4)

零控脫靶量和視線旋轉角速度的模ω的關系為[13]

zem0=ω0r2/v.

(5)

由式(1),式(3)～(5)零控脫靶量

(6)

即zemε0和zemβ0是零控脫靶向量的2個垂直分量。

圖3 末制導段脫靶量的數值計算Fig.3 Numerical computation of miss distance during terminal guidance and control

圖3中，r0，m0，tgo和v分別為末制導初始時的彈目相對距離、裝藥量、待飛時間和彈目相對速率，τ為末制導的制導周期。由于彈目相對速率v在末制導段變化較小，在計算中取為常值。

(7)

式中：r0為制導周期初始時的彈目相對距離。

在此制導周期內，若發動機不開機，則在制導周期結束時有

(8)

式中：r=r0-vτ為制導周期結束時的彈目相對距離。

若發動機開機，則消除的零控脫靶量為(參見文獻[12]的公式(10))

(9)

式中：a為加速度，且a=F/(m+ms)；tgo為剩余飛行時間，且tgo=r0/v。

在制導周期結束時，視線高低角轉率對應的零控脫靶向量的分量為

(10)

(11)

剩余燃料量m為

(12)

圖在1個制導周期內的計算方法Fig.4 Numerical computation of after one guidance and navigation cycle

2.2modify的計算方法

根據式(2)計算modify的過程如下。

(1) 首先，尋找包含modify的一個區間[min0,max0]。具體方法為，從0 m開始，以1 000 m為步長，找到第一個miss(zem·nzem)大于閾值ZERO1的zem作為max0。然后，從max0開始，以-100m為步長，找到第1個miss(zem·nzem)值小于閾值ZERO2的zem作為min0。

(2) 在區間[min0,max0]內求解modify，具體方法如圖5所示。圖5中的ZERO3和ZERO4為閾值。

圖5 Modify的計算方法Fig.5 Numerical computation of ‘modify’

3 仿真校驗

為了直觀顯示軌道修正能力的方向性，使用“攔截域”給出軌道修正能力的計算結果?！皵r截域”的計算思路來源于文獻[14]，文獻[14]提出的“攔截域”的循環變量為視線高低角轉率和方位角轉率，本文“攔截域”的循環變量是零控脫靶向量的2個垂直分量，但是2種方式的本質是相同的[9]。

“攔截域”的仿真計算方法為：取定中末交班時目標導彈的位置和速度、彈目相對距離r=100 km、彈目相對速率v=5 000 m/s、初始視線方位角β=π/3和初始視線高低角ε=π/6，循環變量為zemβ0和zemε0。zemβ0在區間[-6 000,6 000]內選取31個點，zemε0在區間[-6 000,6 000]內選取31個點。根據上述循環條件，計算出動能攔截器在中末交班時的位置和速度，然后進行末段攔截仿真[15]，得到脫靶量的仿真結果。為了與數值計算方法進行對比，動能攔截器的仿真模型沒有任何制導誤差和延遲。最后，以循環變量zemβ0和zemε0為自變量，畫出脫靶量的等高線。

“攔截域”的數值計算方法為：取定中末交班時目標導彈的位置和速度、彈目相對距離r=100 km、彈目相對速率v=5 000 m/s、初始視線方位角β=π/3和初始視線高低角ε=π/6，循環變量為零控脫靶向量的方向角θ,θ在區間[0,2π]內以0.01 rad為步長選點。根據上述循環條件，算出動能攔截器在中末交班時的位置和速度，然后使用本文提出的數值計算方法計算θ方向上的軌道修正能力。最后，以原點(0,0)為起點，軌道修正能力為半徑取點得到“攔截域”。

設裝藥量充足時的裝藥量為m0，分別取裝藥量為m0，0.70m0，0.60m0，0.50m0，0.40m0和0.30m0，軌道修正能力的數值計算結果和仿真結果如圖6～11的a)所示，圖中的點陣表示循環變量zemβ0和zemε0的取值點，細線為脫靶量仿真結果的等高線，粗線為軌道修正能力的數值計算結果。

仿真過程中的燃料耗盡情況如圖6～11的b)所示。圖中的點陣表示燃料的消耗情況，對于循環過程中的每一個攔截仿真實例，彈目交會時若燃料耗盡則相應的初始零控脫靶向量的位置用黑點表示，若燃料沒有耗盡則用白點表示(即空白)。

圖6～11給出了不同裝藥量情況下對應的“攔截域”，當裝藥量為m0時，所有仿真實例都沒有出現燃料耗盡情況，“攔截域”的形狀為正方形，軌道修正能力受限于待飛時間而不是裝藥量；當裝藥量逐漸遞減時，對應較大初始零控脫靶量的仿真實例開始出現燃料耗盡的情況，“攔截域”的形狀逐漸萎縮為圓角正方形、圓形、菱形和星型，“攔截域”的面積和尺寸也逐漸縮小，軌道修正能力受限于待飛時間和裝藥量的共同約束。在導彈的參數初步設計時，對于所有的動能攔截器末段攔截場景，如果動能攔截器的“攔截域”內接圓半徑都能滿足軌道修正能力的技術指標要求，則裝藥量越小越好。

圖6 裝藥量充足時(m0)，“攔截域”的形狀近似為正方形Fig.6 ‘Intercept field’ is nearly square for sufficient fuel loadage (m0)

從圖6～11可以看出，數值計算方法與仿真方法都得到了相同的“攔截域”變化趨勢：本文的數值計算方法通過計算視線轉率的抑制過程，得到了與仿真方法同樣的“攔截域”變化情況，說明“攔截域”的變化取決于動能攔截器的制導方式，為仿真結果

圖7 裝藥量不足時(0.70m0),“攔截域”的形狀近似為圓角正方形Fig.7 ‘Intercept field’ is nearly rounded square for insufficient fuel loadage (0.70m0)

圖8 裝藥量不足時(0.60m0),“攔截域”的形狀近似為圓形Fig.8 ‘Intercept field’ is nearly round for insufficient fuel loadage (0.60m0)

圖9 裝藥量不足時(0.50m0),“攔截域”的形狀近似為菱形Fig.9 ‘Intercept field’ is nearly diamondoid for insufficient fuel loadage (0.50m0)

圖10 裝藥量不足時(0.40m0)，“攔截域”的形狀近似為星型Fig.10 ‘Intercept field’ is nearly starlike for insufficient fuel loadage (0.40m0)

圖11 裝藥量不足時(0.30m0)，“攔截域”的形狀近似為星型Fig.11 ‘Intercept field’ is nearly starlike for insufficient fuel loadage (0.30m0)

提供了理論支持。同時，數值計算方法具有編程實現簡單，計算速度快的優點。

由于在本文的數值計算方法中有很多變量和公式是線性近似得到的，而且在數值算法中沒有考慮姿控對彈體質量的影響，因此即使動能攔截器的仿

真模型沒有任何制導誤差和延遲，仿真結果和數值結果也不能完全一致。線性化帶來的誤差隨著初始零控脫靶量增大而增大，因此，在圖6～11中，隨著裝藥量遞減，軌道修正能力遞減，能夠修正的初始零控脫靶量遞減，由線性化帶來的計算誤差也逐漸減少。

4 結束語

以本文的制導方式為例，給出了動能攔截器軌道修正能力的數值計算方法，為“攔截域”的有關仿真結果提供了理論支持，并為其他制導方式下“攔截域”的數值計算提供了思路。與仿真方法相比，該數值方法不能考察各種制導誤差對軌道修正能力的影響，但是數值方法具有編程實現簡單、計算快捷的優點，可以應用于導彈的參數初步設計以及其他需要快速計算軌道修正能力的場合。

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Numerical Computation Method for Divert Ability of Exoatmospheric Interceptor

ZHENG Dan

(Jiuquan Satellite Launching Center, Gansu Lanzhou 732750, China)

The divert ability of exoatmospheric interceptor depends on its guidance and control system. The numerical computation method for divert ability is proposed for a guidance and control system. The divert ability is obtained by computing the biggest zero-effort miss distance which can be corrected by the interceptor during the terminal course. Simulation results show that this method can compute the divert ability in cases of insufficient fuel load and sufficient fuel load. The numerical computation method is quick and simple and can meet the need of quick computation of divert ability.

kinetic kill vehicle(exoatmospheric interceptor); numerical method; intercept field; divert ability; charge(fuel load); zero-effort miss

2016-04-23；

2016-06-23 作者簡介：鄭丹(1979-)，女，吉林吉林人。高工，博士，研究方向為制導控制仿真。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.012

V448.2; TJ866

A

1009-086X(2017)-01-0062-08

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