“構造”誠可貴 “原理”價更高

陳國偉+++孫雅彬

摘 要：導數是微積分中的重要基礎概念，作為初等數學和高等數學銜接的重要內容，它是近年來競賽、高校自主招生考試的考查熱點之一.教師在通過構造函數法用導數解決實際問題時，應多方闡釋導數中構造函數方法的數學背景和原理，完善該問題所蘊含的數學思想方法.

關鍵詞：導數；原理；構造函數 導數是微積分中的重要基礎概念.作為初等數學和高等數學銜接的重要內容之一，導數問題引入高中教材以來就以其獨特的數學魅力占領了數學高考的主陣地，同時它也是近年來競賽、高校自主招生考試的考查熱點之一.然而正是由于其蘊含的豐富多彩的數學思維和思想方法，讓很多學生“聞導色變”，特別是涉及創新思維下的構造函數解決問題的題型，更是讓學生“望而卻步”.下面，筆者以導數中的構造函數方法解決問題為例，從構造法產生的數學背景入手，對有關導數中構造函數方法的“原理”進行探討.

一、追本溯源 從公式結構入手是構造函數的奠基石

眾所周知，數學中的公式、定理、性質等反映的是一種客觀規律，它們的產生往往是數學家們深思熟慮、甚至是終身不懈努力的結果，因此這些公式、定理、性質等得出的過程蘊含著豐富及深刻的數學思維過程，特別是它們的變形、逆應用及其他生成、推廣衍生等結論，更是對學生數學思維的培養起著不可忽視的作用.

例1 （1）（2015福建高考理10）若定義在R上的函數f（x）滿足f（0）=-1，其導函數f'（x）滿足f'（x）>k>1，則下列結論中一定錯誤的是（ ）

A. f（）< B. f（）>

C. f（）< D. f（）>

（2）（2015全國卷Ⅱ理12）設函數f'（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf'（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，+∞）

【解析】題（1）：由條件f'（x）>k>1結合求導公式（kx）'=k，可構造函數g（x）=f（x）-kx，則g'（x）=f'（x）-k>0，即函數g（x）在定義域上單調遞增，又因為>0 ，所以g（）>g（0），即f（）->-1，化簡得f（）>，故選項C必定錯誤.

題（2）：由條件f'（x）-f（x）<0，結合求導公式〔〕'=，可構造函數g（x）=，則g'（x）=，即函數g（x）在x∈（0，+∞）上單調遞減，又因為f（x）是奇函數，所以g（x）是偶函數，則g（x）在x∈（-∞，0）上單調遞增，且g=（-1）=g（1）=0，所以當x∈（0，1）時，g（x）>0即f（x）>0；當x∈（-∞，-1）時，g（x）<0即f（x）>0，故答案選A.

利用題中所給條件，結合函數的求導公式，推本溯源，通過構造輔助函數，把比較大小或解不等式問題轉化為利用導數研究函數的單調性問題，再由單調性解決實際問題，這是用導數解決實際問題的奠基石.當然，有些問題會更為復雜，往往涉及多個公式的綜合變形應用，但無論如何，還是離不開從公式結構入手的策略.

二、執果索因 從問題形式入手是構造函數的開路石

很多問題的解決策略并不是很復雜或憑空想象創造出來的，其解決方法實際上是問題本身已經給出的解答策略，例如下面兩個高考題：

例2 （1）（2012浙江高考理9）設a>0，b>0，則（ ）

A. 若2a+2a=2b+3b，則a>b

B. 若2a+2a=2b+3b，則a

C. 若2a-2a=2b-3b，則a>b

D. 若2a-2a=2b-3b，則a>b

（2）（2014湖南高考文9）若0

A. ->lnx2-lnx1 B. -

C. x2>x1 D. x2

上述兩個高考題主要考查了復合函數的單調性的綜合應用，以學生的解題思路而言，題干中的條件和選項毫無關聯，無從下手，然而通過選項看問題，則可以理解為函數的單調性問題，即自變量的大小關系與函數值的大小關系的判別，構造一個合理的函數來體現單調性問題則成了解題的基本策略.

【解析】題（1）：由于b>0且ea+2a=eb+3b，則必有ea+2a>eb+2b．如此選項A 和B的判斷可構造函數：f（x）=ex+2x，由f'（x）=ex+2>0恒成立，可得函數f（x）=ex+2x在x∈（0，+∞）上單調遞增，即a>b成立．同理選項C和D則可構造函數f（x）=ex-2x排除．

題（2）：觀察到選項A 和B結構類似，合并同類項后即為判斷 -lnx2和-lnx1的大小關系，可構造函數：f（x）=ex-lnx，求導可得f'（x）=ex-，由函數y=ex和y=的圖象可得，f'（x）=0在x∈（0，1）有解，即f（x）=ex-lnx在x∈（0，1）上不單調，故排除A 和B．同理對于選項C和D，則可構造函數g（x）=，由g'（x）=<0在x∈（0，1）恒成立，即函數g（x）=在x∈（0，1）上單調遞減，由0g（x2），即x2>x1，故答案C成立．

當數學問題的條件和結論之間的關系比較復雜，看似毫無關聯時，可根據結論的形式，執果索因，從結論形式入手，尋求條件和結論的聯系，往往能激發解題者的思維火花，讓解題者豁然開朗，形成鮮明的解題方式，這是運用構造函數方法解決此類導數問題的開路石．

三、承上啟下 從問題生成入手是構造函數的試金石

數學知識的系統性很強，任何新知都是前面知識的發展和升華．解題中也是如此，對于舊問題的認識與理解，在解決新問題的過程中起到承前啟后的過渡作用，有利于形成新舊問題間的鏈接，便于學生解決問題．

例3 （2010安徽高考理18）設a≥0，f（x）=x-1-ln2x+2alnx（x>0）.

⑴令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）的單調性并求極值.

⑵求證：當x>1時，恒有x>ln2x-2alnx+1.

【解析】⑴略；

⑵由⑴可得，a≥0時，F（x）的極小值為F（2）=2-2ln2+2a>0.所以F（x）=xf'（x）>0對于x∈（0，+∞）恒成立，所以F'（x）>0在x∈（0，+∞）恒成立，所以f（x）在x∈（0，+∞）內單調遞增.所以當x>1時，恒有f（x）>f（1），即x-1-ln2x+2alnx>0，從而原命題得證.

本題要證明的不等式x>ln2x-2alnx+1是由已知函數f（x）>0變形而來，要證明結論成立，只需由第一小題的結論出發得出f（x）的單調性即可.此類方法正如著名數學家、教育家波利亞說過，解題就像采蘑菇一樣，當我們發現一個蘑菇時，它的周圍可能有一個蘑菇圈，在解題中，當您解完了一道題，可以借助如類比及其他一些科學思維策略和數學思想方法，對問題進行探索與拓展，從而解決一類問題，發展思維能力.這不僅大大提高了學生的解題積極性，同時更能培養學生認真讀題、透過現象看本質、挖掘問題隱含條件的能力，是運用構造函數方法解決此類導數問題的試金石．

“構造”誠可貴，“原理”價更高.解題教學并不是簡單地告訴學生諸如一、二、三生硬的解題方法或技巧，而是要讓學生在解題教學的過程中深刻理解為什么會有這些方法和技巧，它們的產生來自于怎樣的數學背景，蘊含怎樣的數學思維等.筆者通過探究用構造法解決導數中的函數問題，從數學背景的角度闡釋了構造法的原理，正如牛頓說：“每一個目標，我都要它停留在我的眼前，從第一道曙光初現開始，一直保留，慢慢展開，直到整個大地光明為止.”