以問題為主線、打造數學高效課堂

郝宇航

【摘要】引起學生興趣的課堂是高效的，促使師生、生生多維互動的課堂是高效的，促使學生積極思維的課堂是高效的。本文以《基本不等式》課堂教學為例，探頭如何以問題為主線，讓學生自己探究知識的生成過程。

【關鍵詞】基本不等式 高中 數學 模擬課堂

基本不等式是學生已經掌握了不等式的性質及常見不等式的解法以后學習的一個重要的不等式模型。本節的教學重點是應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式 的證明過程，難點是用基本不等式求最大值和最小值。在本節課的設計中，我采用教師引導下的學生分組合作的教學方法，以問題為主線，讓學生自己探究知識的生成過程。我精心設計每一個情境、每一個問題，盡量提升學生學習的興奮點，又不偏離主題，讓學生體驗數學的邏輯與嚴謹，感受數學的統一美和應用的廣泛性。

一、情境引入

在情境引入中，我引導學生圍繞設置好的探究路徑展開，如“風車中有哪些幾何圖形？”“根據這些圖形的面積大小，你能抽象出一些不等關系嗎？它能用不等式表示嗎？”等問題，為學生指明探究的方向，讓學生先描述不等關系，再抽象出不等式，而不是直接得出不等式，符合人的認知過程。在基本不等式的意義探究中，我先指明了算術平均數和幾何平均數的定義，然后讓學生在圖中找出 的算術平均數和幾何平均數，進而根據數形結合來體會基本不等式的代數意義和幾何意義，這樣既為學生指明了探究方向，又使邏輯自然、清晰。

二、教學過程

師：請同學們看屏幕上的探究1，大家認識這個圖形嗎？這是2002年在北京舉行的第24屆國際數學家大會的會標，顏色的明暗使它看上去像一個風車，“風車”中有哪些幾何圖形？

生：有大正方形ABCD，四個全等的直角三角形，小正方形EFGH。

師： 根據這些圖形的面積大小，你能抽象出一些不等關系嗎？它能用不等式表示嗎？

生：正方形ABCD的面積大于4個直角三角形的面積和，如果設直角三角形兩直角邊長分別為 ，這時正方形ABCD的面積為 ，四個直角三角形的面積和為 ，我們就得到了一個不等式， 。

師：那么這兩個式子能相等嗎？

生：當直角三角形變為等腰直解三角形，正方形EFGH縮為一個點即 時，有 .

師：在圖形中 ，那么這個不等式對任意實數 是否也成立呢？請大家以小組為單位相互討論并給出證明。

生：這個不等式對任意實數 都成立，可以用作差法來證明： ，當且僅當 時等號成立。

師：如果 ，我們用 分別代替 ，會得到什么式子？

生：可以得到 。

師：通常我們把上式寫作 ，這就是我們要學習的基本不等式。大家能否根據不等式的性質，直接推導出這個不等式呢？請同學們根據屏幕上的提示進行填空，相互討論，完成推導。

生：要證 ，只要證 ，即只要證明 ，也就是證明 ，顯然，上式是成立的，當且僅當 時等號成立。這種證明方法是我們以后要學習的分析法。這樣，我們又一次得到了基本不等式。

師：請同學們看屏幕上的探究2，我們常把 叫做正數 的算術平均數，把 叫做正數 的幾何平均數。試指出圖2中哪些線段的長度分別是 的算術平均數和幾何平均數？能否比較它們的大小關系？

生：半徑 ，為 的算術平均數，由△ACD∽△DCB可得 ，為 的幾何平均數，由于 ，所以 ，當且僅當點C與圓心重合，即 時等號成立.因此我們得到了基本不等式的代數意義為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，幾何意義為半徑不小于半弦.

師：那么基本不等式有什么用呢？請同學們看屏幕中的例1的第1問，以小組為單位進行討論，想辦法解決這個問題.

例1.（1）如圖，用籬笆圍成一個面積為 的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

師：我們請1組4號同學在屏幕上展示一下他的解法，并請他分析一下.

生：該題目要解決的問題是面積確定時，長和寬取什么值時，周長最短.我由面積 ，根據基本不等式 得矩形的周長為 ，當且僅當 時，取等號。所以，當長、寬各為10米時，籬笆最短為40米。

師：我們請2組的4號同學來點評一下他的解法有什么不足。

生：應用題應先設變量，解答的開始應先設矩形的長為 米，寬為 米.

師：我們回到最初的問題，基本不等式有什么用，對，可以用來求函數的最值。大家繼續討論，再來完成例1的第2問，請2組的1號同學來說一下解答過程！

例1.（2）如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

解：設菜園的長為 ，寬為 ，則 ，由 得矩形的面積 ，當且僅當 時等號成立.所以當矩形的長寬都為9m時，矩形面積最大為 .

師：大家對比上面兩個題的已知和所求，思考可將求最值的情形分成幾類？

生：兩類，若兩正數的乘積為定值，它們的和有最小值；若兩正數的和為定值，，它們的乘積有最大值，即和定積最大，積定和最小.

師：請同學們看屏幕上的鞏固練習：判斷下列求函數最值的方法是否正確？

（1） ；（2）

生：第1題沒有考慮到 ，第2題等號不能成立，因此兩種求最值的方法都是錯誤的。

師：請大家結合以上題目，歸納一下利用基本不等式求函數最值時應注意哪些問題？

生：利用基本不等式求函數最值時注意：兩個變量都為正數，兩個變量的和或積是定值，還要注意等號成立的條件，即“一正、二定、三相等”。

師：同學們回顧一下本節課的學習，你有什么收獲？取得了哪些經驗教訓？還有哪些問題需要幫助？

生：一個不等式：若 ，則 ，當且僅當 時等號成立；兩種思想：數形結合思想、歸納類比思想；三個注意：利用基本不等式求函數最值時注意“一正、二定、三相等”。

師：請同學們看屏幕：今天的作業是

（1）基本作業：課本P100習題A組2、4題

（2）探究作業：你能利用函數 來證明基本不等式嗎？

總之，在課堂教學中以問題為主線，學生不僅獲得了知識，而且更重要的是獲得了探索問題的思想方法和能力。學生在問題的引領下，思考多，討論多，合作多，質疑多，在問題解決過程中獲得了解決問題的方式，讓學生高層次的思維能力和自主學習的能力在學習過程中得到了真正的提高；真正實現課堂的高效性。

【參考文獻】

[1]劉偉，孟祥東.基本不等式 課堂實錄[J].中學數學雜志，2014（9）.

[2]高建輝.以問題為主線激活高中數學教學[J].學周刊，2013（27）