淺談數列求和

袁惠

【摘要】求數列的前n項和是高中數學的教學重點之一，也是高考?？疾斓闹R點之一，有些數列比較有特點，我們可以總結一些方法來求和，本文介紹公式法、錯位相減法、裂項法、倒序相加法、分組求和法等方法。

【關鍵詞】高中數學 數列求和 方法

數列求和是高中數學的一個重要內容，也是高考?？嫉膬热?，其主要常見的方法有公式法、錯位相減法、裂項法、倒序相加法、分組求和等等。

1、公式法：

適用題型：直接是等差數列或是等比數列形式的可以直接利用公式求和

等差數列求和公式： = = n +

等比數列求和公式： =n （q=1） Sn= （q 1）

例1. （2014·全國卷Ⅱ）等差數列{an}的公差為2，若a2、a4、a8成等比數列，則{an}的前n項和Sn=________.

答案：n（n+1）

解析：∵ 等差數列{an}的公差為2，且a2、a4、a8成等比數列，∴ a4（2）=a2a8，即（a1+6）2=（a1+2）（a1+14），解得a1=2，則an=2n，∴ Sn=n（n+1）.

例2. （2014·福建卷）在等比數列{an}中，a2=3，a5=81. 若bn=log3an，則數列{bn}的前n項和Sn=________.

答案：2（n2-n）

解析：設{an}的公比為q，依題意得a1q4=81，（a1q=3，）解得q=3.（a1=1，）因為bn=log3an=n-1，所以數列{bn}的前n項和Sn=2（n（b1+bn））=2（n2-n）.

注意：使用公式的前提，需明確基本量。

2、錯位相減法

適用題型： 用于等比數列、等差數列與等比數列的積數列求和

例3 （2014·全國卷Ⅰ）已知{an}是遞增的等差數列，a2、a4是方程x2-5x+6=0的根，則數列2n（an）的前n項和為________.

答案：Sn=2-2n+1（n+4）

解析：方程x2-5x+6=0的兩根為2、3.

由題意得a2=2，a4=3.

設數列{an}的公差為d，則a4-a2=2d，

故d=2（1），從而得a1=2（3）.

所以{an}的通項公式為an=2（1）n+1.

設2n（an）的前n項和為Sn，由（1）知2n（an）=2n+1（n+2），

則Sn=22（3）+23（4）+…+2n（n+1）+2n+1（n+2），

2（1）Sn=23（3）+24（4）+…+2n+1（n+1）+2n+2（n+2），

兩式相減得

2（1）Sn=4（3）+2n+1（1）-2n+2（n+2）=4（3）+4（1）2n-1（1）-2n+2（n+2），所以Sn=2-2n+1（n+4）.

注意：在錯位相減后要數準形成的等比數列的項數。

3.裂項法

適用于通項公式是分式形式的，可以把一項拆成兩個或多個的差的形式，然后進行累加抵消中間的許多項。

例4： 求數列 的前n項和.

解： = （裂項）

則 Sn = =1- =

注意：1、找規律消去重疊的項。即把所有正項放在一起，所有負項放在一起消去重疊的項。

2、數列每一項拆為兩項，首尾相消或隔項相消，無限項化為有限項，余下的項首尾前后呼應，即前面剩正項則后面剩負項，，前面剩負項則后面剩正項，前后剩項個數一致。

常用公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4.倒序相加法

適用于等差數列、與二項式系數相關聯的數列求和

例5（2003年上海春季高考題）設 ，求 的值 。

解析：本題要求利用課本中等差數列的求和方法，如果平時只記憶公式，而缺乏對課本公式來源過程的閱讀，就不知道要用“倒序相加法”。

令 ①

則 ②

為化簡，應將①、②式相加，類似于等差數列的情形，猜想： 。而

所以：

所以：

5.分組求和法

適用數列表面看既不是等差數列，也不是等比數列，但將這類數列適當分組，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.

例6：求 的前 項和.

解：

.

注意：準確把握通項時的項數及分組求和時的項數。

點評：拆項的目的是把非等差、等比數列的求和問題通過拆項轉化為等差、 數列的求和問題.本題中若將數列改為“ ， ， ， ，…”，則需要用錯位相減法求其前 項和.

以上是數列求和的常見的幾種方法，做題時觀察數列的特點和規律選擇適當的方法就會輕而易舉的進行求解。

【參考文獻】

[1]賈鵬云； 高中數學數列教學設計的實踐探討[J]；新課程學習，2010（11）

[2]成晚順；高中數學“數列教學”的實踐與探討[J]；現代閱讀，2012（8）