高中數學概念課《曲線與方程》的說課設計與思考

廣東省廣州市廣東廣雅中學(510160) 吳新華

高中數學概念課《曲線與方程》的說課設計與思考

廣東省廣州市廣東廣雅中學(510160) 吳新華

1.提出問題

在互聯網+時代,在線學習、創客教育、翻轉課堂等都在徹底改變著學生的學習方式和教師的教學方式.腦科學、大數據、高階思維、學習流程、資源平臺等都在顛覆著我們的原有知識體系,時代對中學數學教學提出了更高的要求,要去應對這些變革,必須要不斷學習,尋求改變.同時,高中新的課程標準研制提出數學核心素養的問題,面對新的課程改革,我們始終要清醒認識到: 無論時代如何發展,數學的學科價值和學習特質是需要把握的,任何的教學方式首先要思考清楚我們為何而教?我想: 數學要為思維而教,為問題解決而教,為形成更好的數學素養而教.

數學概念的有效教學始終是數學教學最根本性的問題.只有對數學概念的深刻理解,讓學生充分感受數學概念產生的必然性與合理性,建構完整的概念認知結構,才能駕馭數學知識,學會數學地解決問題的方法,培養良好的思維品質.本文試圖以高中階段聯系代數與幾何的重要概念課《曲線與方程》為例,通過呈現概念課說課思考與設計的全過程,闡述概念課教學重要性以及對學生思維的影響.

2.說課設計的策略

設計說課,本人做了大量的準備工作,研讀課標、研讀教材、研讀以往教學設計,與專家研討這節概念課在高中教學中的重要意義與價值,研討概念課的核心要素等,磨課過程即是一個痛苦的過程,也是一個收獲的過程.我始終圍繞如何深刻理解和把握概念本質,把數與形的關聯、數與形的統一、數形結合的思想在課堂中引導學生去體驗和感悟?這是設計說課想得最多的問題,越思考越清晰,越清晰越深入,理清了這節概念課的幾個關鍵: 在平面直角坐標系下,數與形實現對應,方程與曲線實現了數與形的統一,數形結合的思想讓學生在直觀與抽象中找到了問題解決的路徑.整個磨課經歷了16稿,最終敲定整個說課由五個部分組成:

2.1 說《曲線與方程》的地位

人教版《曲線與方程》是《普通高中數學課程標準》中選修系列2第二章第一節的內容,是概念課,也是圓錐曲線內容的起始課,引入此概念,是用代數方法研究幾何問題的關鍵,是體現解析幾何核心思想的一節課.本節概念課試圖通過研究曲線的方程和方程的曲線的概念,使學生真正領悟解析幾何的最基本方法是坐標法,最基本的思想是數與形的統一.此外,本節課對概念的掌握體現數學素養,影響著學生今后解析幾何的學習,尤其反映在分析和解決問題上,例如如何運用點在曲線上的幾何條件,如何檢驗點是否在指定的曲線上?因此,具體教學中需要引導學生重視對數學問題本質的思考與探索,提升學科素養.

2.2 說學情分析

學生在必修2中學習了《解析幾何》中直線和圓的方程,利用坐標法初步體會數與形的對應.高二階段,學生對高一必修2的學習已經相隔了一段時間,相當一部份學生已經遺忘了坐標系的方法,即: 圓為什么會有方程?直線和圓方程是怎樣得到的?這些根本性的問題.常常表現為: 數學基礎比較好的同學,坐標系的思想基本已經建立,中等程度的學生更側重于從函數的圖像和性質的角度理解直線方程,基礎稍弱的學生對坐標系的思想完全沒有印象,所以本節內容是讓所有學生重新理解析幾何思想的最好時機.

曲線與方程的概念其定義條件是雙向性的,這種定義方法學生以前從未接觸過.在必修2教材的第92頁中出現了“直線上的點的坐標滿足方程和方程的解為坐標的點在直線上”的概念,已做了鋪墊.本節課需要解決的問題是為什么要這樣下定義,這樣定義解決什么問題是概念認知過程中必須要解決好的,通過概念的學習,培養學生思維的嚴密性.重視分析和關注學生的最近發展區,充分調動原有認知結構去建立新的認知結構,這尤為重要.此外,這也為教與學更好契合做準備.

2.3 說教學目標

課堂教學需要實現以下五個目標: 一是鞏固曲線與方程的對應關系是建立在坐標系的基礎上實現的,進一步感受數形結合的基本思想;二是理解曲線的方程和方程的曲線的定義,知道曲線與方程是同一對象的兩個不同方向的定義;三是能對簡單的曲線寫出對應的方程,根據所給的方程能畫出對應的曲線,從兩個方面加深對概念的完備性和純粹性的理解,實現數與形的嚴格的完美的對應;四是能初步掌握證明一個方程是其曲線的方程的步驟和方法;五是培養學生思維的嚴密性,引導學生形成對問題的本質的探索與思考的習慣,體現學科的教育價值.

2.4 說教學重、難點

重點: 理解曲線的方程和方程的曲線的概念的本質.

難點: 理解曲線上的點與方程的解的對應,從代數和幾何的角度刻畫同一對象的兩面性.

2.5 說教學過程的設計

整個教學過程的設計分為五個環節,包括提出問題、引入概念、理解概念、深化概念、總結提煉,每一個環節的設計意圖具體如下:

(1)提出問題—有意義的數學學習活動

通過情景問題設計,引導學生關注在平面直角坐標系下直線與方程的對應,形與數的對應.并引發學生認知沖突,提出本課研究的概念.

問題1: 如圖1,這是一個以2為半徑的圓,請問,你能寫出它的方程嗎?

圖1

圖2

思考: 如果只取上半圓,如圖2,它的方程還是上述方程嗎?

(2)引入概念—生成代數與幾何的對應

通過簡單具體的問題,讓學生理解直線上的點的坐標和方程的解的對應關系.

問題2:

下列方程哪些能表示“在平面直角坐標系中,平分第一、三象限的直線”?為什么?

圖3

曲線的方程——反映的是圖形所滿足的數量關系

方程的曲線——反映的是數量關系所表示的圖形

由此,抽象概括曲線的方程和方程的曲線的定義:

一般地,在直角坐標系中,如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系:

(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解;

(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.

(3)理解概念—數與形的統一

練習1: 判斷題

(2)△ABO的三個頂點是O(0,0),A(3,0),B(0,-3),則中線CO(O為坐標原點)的方程是y=-x.

(3)到y軸距離為2的點的軌跡方程是x=±2(y∈R).

旨在引導學生重視概念中的“都是”,同時檢驗概念滿足的兩個條件.

練習2: 寫出下列曲線的方程:

(1)射線AB,(2)一段拋物線(3)半圓

圖4

圖5

圖6

由曲線寫方程,引導學生重視x,y的取值范圍,檢驗“點”與“解”的對應關系.

練習3: 請在平面直角坐標系中畫出下列方程對應的曲線

圖7

圖8

圖9

解答: 應的坐標”不都是方程

由方程畫曲線,引導學生重視方程中x、y隱含的取值范圍,檢驗“點”與“解”的對應關系.通俗易懂的說法: 不多也不少,即一個也不能多,一個也不能少.

(4)深化概念—直觀與抽象的過渡

設計這個環節,關鍵是要通過數學邏輯推理深化概念.

例1: 證明與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k＞0)的點的軌跡方程是xy=±k.

圖10

圖11

課后思考題1: (2015高考廣東卷理20題改編)已知過原點O的動直線l與圓C∶(x-1)2+ y2=4相交于不同的點A,B.

證明: 線段AB的中點的軌跡方程是x2+y2-x=0.

圖12

課后思考題2: (2015高考廣東卷理20)已知過原點的動直線l與圓C1∶x2+y2-6x+5=0相交于不同的點A,B.

(1)求圓C1的圓心坐標;

(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程;

(3)略

課后思考題是為學有余力的學生課后作為拓展而設計的.2015年廣東高考卷(文理)的第20題第(2)問出處是教材(人教版)中的一道A組習題,考查求部分圓弧的軌跡方程,據評卷老師反映,此題答題情況不理想,許多考生忽視了曲線方程的兩個條件,反映出學生對“曲線與方程”概念的本質理解是不清晰不透徹的.思考題1的軌跡是圓,思考題2的軌跡是圓弧,讓學有余力的學生利用幾何畫板,呈現軌跡的形成過程,目的是進一步讓學生直觀理解曲線與方程的對應關系,進一步深化概念,為后續學習求曲線方程做準備.

(5)說課堂小結—提煉與延續的轉化

學習“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念,主要是為了后續的學習內容,例如對于“橢圓、雙曲線、拋物線”這些我們日常生活中常見的曲線,在平面直角坐標系下,我們都可以找到表示這些曲線的方程,借助方程進一步去研究它們的性質,這也是解析幾何需要解決的主要問題.安排課堂小結,旨在提煉本節課的核心,并引出未來學習的數學內容,做到合理銜接與鋪墊.

3.說課設計的思考與收獲

我們身處課程改革的熱潮中,我們深知數學是主導和影響學生思維方式的重要學科,作為數學教師,我們應該堅守什么?應該改變什么?應該探索什么?我們有責任去思考,而且需要有清晰和明確的方向.本人以概念課切入設計說課,深刻領悟到數學教學的重要性和不可替代性,有以下幾點思考:

①關于思維能力

數學教育的基本目標就是努力促進學生思維的發展,即通過數學學會思考,促進思維.數學概念對抽象思維的形成有著重要的價值,而目前我們還存在教學中重解題輕概念生成,把概念課上成習題課的現象,沒有把核心概念講透徹,對整個高中數學學習是一種缺失,對學生的思維系統更是一種破壞.

②關于概念教學

真正理解概念教學的本質,才能更好設計概念教學.概念教學的本質不是低水平的概念言語連鎖學習,而是要幫助學生獲得概念的心理意義,即形成概念內涵的心理表象,能把握概念的本質屬性,最終建構起良好的概念圖式.

③關于價值取向

新高考就是以問題解決為價值取向,以數學探究為價值取向,以綜合多種概念的理解為問題解決的理據.因此新高考就是要我們回歸基礎,老老實實教點數學概念,讓學生學會數學思考,學會數學思維,培養學生善于在紛繁復雜的信息中把握問題核心與提煉規律的能力,培養學生整合問題的能力,形成處理問題的思維方法與策略.

④關于核心素養

即將出臺的數學核心素養的六要素之一是數學抽象,重視概念課教學是培養學生抽象思維的重要渠道.通過概念理解,通過師生共同去揭示問題的本質,培養學生獨立思考,勇于探索,對于事物保持好奇心和開放性態度,對于現象能夠提出質疑,勇于挑戰,敢于創新,提高學生的邏輯思維能力,提升學生的數學素養.

[1]何小亞,姚靜.中學數學教學設計[M].科學出版社,2012(第二版)

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京: 人民教育出版社,2003

[3]文衛星.解析幾何引言教學實錄[J].數學通報,2016,55(6): 34-37

[4]陳玉娟.例談高中數學核心素養的培養[J].數學通報,2016,55(8): 34-36

[5]鄭毓信.“數學與思維”之深思[J].數學教育學報,2015,24(1)3-4