夯實基礎 穩步提升—由一節“一次函數復習課”引發的思考

廣東省廣州市礦泉中學(510400) 黃粵華

夯實基礎 穩步提升—由一節“一次函數復習課”引發的思考

廣東省廣州市礦泉中學(510400) 黃粵華

一、教學背景

復習課是根據學生的認知特點和規律,在學習的某一個階段,以鞏固、梳理已學知識、技能,促進知識系統化,提高學生運用所學知識解決問題的能力為主要任務的一種課型.其目的是溫故知新、查漏補缺,完善認知結構,促進學生解題思想方法的形成,發展數學能力.

就一個單元的復習而言,往往不是一節課可以完成的.從復習課的設計來看,可以是零散知識點的系統化整合,可以是專項題型的技巧訓練、思維訓練,也可以是某一個知識領域的拓展探究等,這些都有別于新授課.如何在較短的時間內,將零散的、點狀的基礎知識點整合好、系統化,同時又要將學生平時所學知識的疑惑點加以澄清,對所學知識的重要思想方法加以提煉,需要教師在復習課的設計和實踐中加以研究.本文試著從一堂一次函數的復習課入手,談談在基礎知識點的復習當中如何幫助學生整理知識結構,構建知識體系,提高復習效率.

二、教學設計與實施過程

活動1: 以題點知,溫故知新

環節1: 下列函數中,哪些y是x的一次函數,哪些y是x的正比例次函數:

生2: 第(1)和(4)都是一次函數,因為正比例函數也是一次函數.

師: 能說說兩者之間的關系嗎?

生3: 一次函數解析式是y=kx+b(k/=0)的形式,當b=0時,即化為正比例函數的形式,所以正比例函數是一次函數的特殊形式,但一次函數不一定是正比例函數.

環節2: 填空(1).正比例函數y=2x的圖象經過第___象限,過點(0,___)與點(1,____),y隨x的增大而___.(2).一次函數y=x+2的圖象經過第___象限,圖像與x軸的交點坐標是___,與y軸的交點坐標是____,y隨x的增大而___.

生4: 函數y=2x的圖象經過第一、三象限,過點(0,0)和點(1,2),y隨x的增大而增大.

生5: 函數y=x+2的圖象經過第一、二、三象限,與x軸的交點坐標是(-2,0),與y軸的交點坐標是(0,2),y隨x的增大而增大.

師: 能不能結合圖形進行歸納說明?

生6: 板書畫圖說明兩個函數的k值都是大于零的,所以直線從左往右上升,即y隨著x增大而增大.正比例函數b值為零,所以直線經過原點,一次函數與y軸交點坐標為(0,b).

圖1

環節3: 拓展研究,知識延伸

師: 能不能求這兩條直線的交點坐標.

生7: 可以,如果作圖標準,可以直接從圖像上得出,也可以解方程組

師: 在此坐標系中是否存在與直線y=x+2沒有交點的直線,如果有,需要滿足什么要求,并請舉例.

生8: k值相同的直線與直線y=x+2沒有交點,因為此時兩條直線平行,如直線y=x+1,直線y=x-2等.

師: 什么時候兩個函數的值是一樣?

生9: 兩直線的交點就是函數值相等的時候,也就是方程組的解,即當x=2時,y=4.

師: 除了在點(2,4)相同以外呢?

生10: 從圖像上看,當x＜2的時候,在點(2,4)的左邊,函數y=x+2的圖像在上方,此時y=x+2的函數值較大,也可以解不等式x+2＞2x;反之則是函數y=2x的圖像在上方.

【設計意圖】通過兩組小題進行對比練習,復習一次函數和正比例函數的概念,總結函數的圖像和性質,以及函數與坐標軸的交點坐標,理解直線平行的要求,理解函數與方程、不等式之間的關系.

活動2: 抓住核心,掌握基本方法

例題1已知一個一次函數經過點(3,5)和(-4,-9),求這個函數的解析式.

變式1: 已知一個一次函數,當自變量x=3時,函數值y=5;當x=-4時,y=-9,求這個函數的解析式.

變式2: 已知一個一次函數經過點(3,5),且平行于直線y=2x+3,求這個函數的解析式.

變式3: 已知一個一次函數經過點(3,5),且與y軸相交于點A,OA=1,求這個函數的解析式.

變式4: 已知一個一次函數平行于直線y=2x+3,且與y軸相交于點A,OA=1,求這個函數的解析式.

生11: 變式1和原題其實是一樣的,都給出了兩個點的信息,列方程組求出k值和b值就可以得到解析式了.

師: 是的,這就是本單元中非常重要的解析式求法,即待定系數法.

生12: 那其實變式2比變式1更易求解,表面上看題目只給了一個點,但是已知兩直線平行,則k值是一樣的,所以只剩b值待定.

關于變式3和4,學生們展開了熱烈的交流,有很大一部分學生一開始都忽略了對“OA=1”的分析,通常都認為點A即(0,1).

生13: 變式3中的條件“OA=1”說明點A與原點相距1個單位長度,它的坐標可能是(0,1)或者是(0,-1),應該有兩個解析式.

生14: 變式4也要進行分類討論,而且還由平行知道k值是2.

生15: 看來,分類討論題也不是那么難.

【設計意圖】以求一次函數解析式這一典型問題為載體,展開變式訓練,拉近點狀知識間的距離,尋找不同問題之間的內在聯系,鞏固“待定系數法求一次函數解析式”,提升復習效率.

活動3: 一題多變,發散思維空間

例題2 如圖,直線l1的解析表達式為y=-3x+3,且l1與x軸交于點D,直線l2經過點A,B,直線l1,l2交于點C．

(1)求點D的坐標;

(2)求直線l2的解析式及C點坐標;

圖2

(3)求△ADC的面積;

(4)在直線l2上存在異于點C的另一點P,使得△ADP與△ADC的面積相等,請求出點P的坐標．

(5)在直角坐標系中有點E,和A,C,D構成平行四邊形,請直接寫出E點的坐標．

生16: 因為D點落在x軸上,所以它的縱坐標為0,將0帶入l1可以求得坐標(1,0).

生17: 從圖像可以發現l2其實經過了兩個點,分別是A(4,0)和B(3,-1.5).

生18: 那△ADC的面積也很容易求的,用方程組可以先求交點C的坐標,然后縱坐標的絕對值是高,線段AD做底.

師: 很好,看來同學們掌握的都很不錯,有進步!那我們再來看看變式4的問題.

生19: 存在,△ADP與△ADC有公共邊AD,只要P點到x軸的距離等于C點到x軸的距離就可以了,所以P點的縱坐標和C點的縱坐標互為相反數.

因為前面進行了多個知識點的復習,所以學生在問題(5)展開了激烈的討論,而且大部分的人一開始就猜想符合條件的E點不止一個,學生們學習的熱情得到極大的提高.

生20: 當CE平行且等于AD的時候,有平行四邊形,E點可以在C點左邊,也可以在右邊;還有一種可能是AE//DC,DE//AC,所以有三種可能.

【設計意圖】此例在一個圖形的背景下,做到問題的多變,將看似沒有關聯的知識點全部回歸至同一模型架構之下進行研究,所涉及的問題與本節課開篇首尾呼應,第(4)、(5)兩問加強了函數圖像與幾何圖形之間的聯系,凸顯數學模型思想.

三、教學思考

《數學課程標準(2011)版)》指出,數學課程要面向全體學生,人人都能獲得良好的數學教育,使不同的人在數學上得到不同的發展.由于現在各班學生的數學水平差異較大,根據課程標準的要求,在復習課的教學中,即要做到鞏固基礎知識,查漏補缺,又要提升學生技能,發展思維,盡量縮小生與生之間的差異.

如果在復習課中占用大量時間采用背誦、默寫、齊讀等方式來對概念、公式、法則進行重復和再現,復習效率必然不高,也不利于學生對所學知識的再認識和深入理解.在本節課中,筆者摒棄了傳統復習課教學中常見的“練習、練習、再練習”的模式,采取層層設問,師生互動的形式,進而引發學生主動思考、歸納,逐步完成知識體系的重新構建,優化整合.

1.類比復習,梳理知識結構

學習一個由薄到厚,再由厚到薄的過程.一次函數的學習過程是由特殊到一般的過程,這其中涉及較多的概念、圖形性質等方面的內容.在新授課的過程中學生普遍認為本章知識容量較大,學習起來往往顧此失彼.因此,在環節一中,通過幾組類似的練習題來復習正比例函數和一次函數概念、圖像性質之間的練習和區別,采取老師問,學生答的形式,不斷進行拓展和延伸,同時利用圖形進行直觀對比,適時滲透數形結合思想,增加學生感性認識,幫助學生構建完整知識架構,增強后繼復習的動機和信心.

2.變式引領,做到事半功倍

運用變式題進行教學,是初中數學常用的一種教學手段,也是培養學生思維能力,提高應變能力的一種有效方法.在教學過程中,恰當使用好變式題,會使課堂教學取得事半功倍的效果.

在環節二中,一共有5個求一次函數解析式的問題,其中第1、2兩個問題的原型是教材中“用待定系數法求一次函數”例題模型,設計的目的就是定位于復習課要回歸教材,回歸基礎,避免“題海戰術”.由于有了活動一的鋪墊,在變式題的練習中,學生們都能較快的動起來,甚至對于變式4這一類平時練習中較為困惑的內容,也能積極參與想到解題思路和解題辦法,說明這種密臺階、低起點的復習設計,在完成了基礎知識體系構建的情況下,能夠達到較理想的復習效果.

3.由點及面,發展思維空間

英國國家數學課程強調開放性問題的作用,要求變封閉問題為開放問題.在數學教學中,只要把封閉問題加以改良,那就會使的教學變得更加有趣、富有挑戰性.在例3中雖然設計了多達5個問題,但是每一個都較為容易上手,學生在學習的的過程中能夠自然的體會到其中內涵,在這種由淺入深、由易到難,循序漸進的編排設計中,學生的復習效果會呈螺旋式遞進,同時原有的知識結構也會在復習的過程中進行優化重組.猶如一間堆滿雜物的倉庫被重新整理擺放后一樣,遇到需求的時候要什么則拿什么,一個是效率的提升,另外這樣復習也能逐步深化學生對知識的理解,形成解題技巧,同時生成數學思維,發展數學思考能力.

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