基于響應面法的聽小骨消聲器的優化設計

程軍圣+余淏

摘 要：為了改善聽小骨消聲器的消聲性能，并減輕質量，以消聲器低頻和寬頻的平均傳遞損失作為優化目標，以消聲器的結構參數（進出口管道寬度、封閉腔深度、封閉腔長度）作為優化變量，消聲器的質量作為約束條件，對其結構參數進行優化. 建立了聽小骨消聲器的有限元模型，采用中心組合試驗設計獲得樣本點，利用響應面法構造二次多項式響應面模型，并檢驗了響應面模型的擬合精度. 將響應面模型和NSGA-Ⅱ遺傳算法相結合對消聲器的結構參數進行了優化. 優化后消聲器低頻和寬頻的消聲性能得到改善，質量減輕，表明了響應面法和遺傳算法相結合的消聲器結構參數優化方法的有效性.

關鍵詞：消聲器；響應面法；遺傳算法；試驗設計

中圖分類號：TB535.2 文獻標志碼：A

Optimal Design of Ossicular Silencer

Based on Response Surface Methodology

CHENG Junsheng，YU Hao

（State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract： In order to improve the performance and reduce mass of an ossicular silencer， the average transmission losses （TL） in the low frequency range and the broadband were chosen as optimization goals， several structural parameters （width of the main duct，depth of the enclosed cavity， and length of the enclosed cavity） were chosen as optimization variables， and the mass of the silencer was taken as the constrain condition. The finite element model was also established for the silencer， sample points were obtained by central composite design （CCD），the quadratic polynomial model was constructed based on response surface methodology （RSM），and the fitting accuracy was tested. Response surface methodology combined with genetic algorithm II （NSGA-II） was applied to optimize the structural parameters of the silencer. The optimized ossicular silencer shows better performance and lighter weight. The optimization results indicate that the structural parameters of the silencer are optimized by combining the response surface methodology with genetic algorithm.

Key words： silencer；response surface methodology；genetic algorithms；design of experiments

抗性消聲器常用于排氣管道和通風管道內噪聲的抑制[1-2]. 通過管道截面的突然擴張（收縮）或旁接共振腔，使沿管道傳播的某些頻率的聲波在突變處向聲源方向反射回去，從而達到消聲的目的. 抗性消聲器主要用于抑制低中頻噪聲，對于常見的抗性消聲器，例如擴張腔式消聲器，要獲得較好的低頻消聲性能，需要很大的擴張腔體積，這會導致消聲器結構很不緊湊. 人的中耳如同一個緊湊且具有寬帶阻抗的變換器，并且能夠隔離外耳的空氣運動和內耳的流體運動. 受中耳原理啟發，Wang等[3]提出了一種新型抗性消聲器模型——聽小骨結構消聲器模型，它的旁支腔中包含兩塊剛性薄板，用來模擬鼓膜和鐙骨足板，兩薄板之間由一根剛性桿相連，用來模擬聽小骨，故取名為聽小骨結構消聲器（簡稱聽小骨消聲器）. 他發現聽小骨消聲器具有較寬的阻帶，能有效抑制低中頻噪聲，并且腔體的體積并不是影響其消聲效果的關鍵因素，通過減小腔體的體積，可以使消聲器的結構更加緊湊. Wang等[3]基于平面波理論分析了該模型的共振原理，建立了聽小骨消聲器的二維有限元模型，采用控制變量法對消聲器的相關參數進行了研究. 但是，他主要研究的是阻帶寬度與各設計參數之間的關系，并沒有對消聲器的傳遞損失進行研究和優化. 本文建立了聽小骨消聲器的三維有限元模型，為了提高消聲器低頻和寬頻的消聲性能，減輕消聲器的質量，對消聲器的結構參數進行了優化.

聽小骨消聲器結構參數的變化會改變消聲器的消聲性能和質量，為了改善消聲效果，降低質量，本文采用了響應面法和NSGA-Ⅱ遺傳算法相結合的思想對消聲器的結構參數進行了優化. 首先利用中心組合試驗設計方法，建立二次多項式的響應面模型，然后以消聲器低頻和寬頻的平均傳遞損失作為優化目標，采用多目標遺傳算法優化消聲器的結構參數. 最后對優化前后的消聲器模型進行對比，有效改善了消聲器低頻和寬頻的消聲性能，減輕了消聲器的質量，驗證了響應面法和遺傳算法相結合的消聲器結構參數優化方法的有效性.

1 聽小骨消聲器模型的建立

1.1 基于中耳原理的聽小骨消聲器模型

人的中耳主要由鼓膜和與之相連的聽小骨組成，統稱為聽小骨鏈，聽小骨又由3塊小骨組成：錘骨、砧骨和鐙骨[4]. 通過聽小骨，可以將鼓膜處的振動傳遞到耳蝸. 聽小骨位于中耳腔內，被骨壁包裹，由咽鼓管連接中耳和咽，以保持中耳內外的壓力平衡，維持正常聽力. Shera等[5]把中耳腔表述為有3個窗口的腔室：入口鼓膜窗（耳膜）、出口卵圓窗（連接著鐙骨足板）和靠近卵圓窗的圓窗. 模擬電路模型[6]和有限元模型[7]都常被用于中耳原理的研究. 人的中耳實質上是一個寬頻帶聲波接收器，可以看作是位于外耳和內耳之間的一個高效阻抗變換器，并且可以隔離外耳的空氣運動和內耳的流體運動. 雖然中耳腔內的動態壓力在一定程度上會抑制鼓膜的運動，但是鼓膜和耳蝸之間的振動主要是通過聽小骨傳遞的.

受中耳原理的啟發，本文建立了簡化的聽小骨消聲器的幾何模型，如圖1所示. 整個消聲器模型關于管道中心平面對稱，在圖中用點畫線標出. 在消聲器中有一封閉腔（O1-A-B-O2），封閉腔兩側為兩塊完全相同的剛性薄板（O1-A，O2-B），用來模擬鼓膜和鐙骨足板. 薄板上端分別與腔壁鉸接于O1和O2，以使兩薄板可以繞O1和O2轉動；有一剛性桿（O3-O4，忽略質量）與兩薄板鉸接于O3和O4（薄板形心），用來模擬聽小骨結構. 在O3處有一線彈性彈簧，用來提供薄板振動的恢復力. 這個“板—桿”結構類似于一個“彈簧—單擺”，繞O1和O2旋轉振動. 假設封閉腔內無流體泄漏，封閉腔內的流體介質可以不同于主管道內的流體介質.

1.2 有限元模型的建立

圖1中的消聲器模型主要包括兩塊剛性薄板（O1-A，O2-B）和一根連接兩薄板的剛性桿（O3-O4）. 兩薄板分別模擬鼓膜和鐙骨足板的振動，剛性桿模擬聽小骨的整體運動. 當有聲波從消聲器主管道的左端進入時，一部分聲波將會進入消聲器上游的旁支管中，使左端薄板O1-A產生旋轉振動. 由于聲波在固體結構中的傳遞速度通常大于在流體中的傳遞速度，作用在左端薄板O1-A上的空氣振動將會通過剛性桿瞬間傳遞到右端薄板O2-B上，從而通過下游的旁支管返回到主管道中，在這里，剛性桿模擬了聽小骨結構在振動傳遞過程中的作用. 聲波通過剛性桿從一塊薄板瞬間傳遞到另一塊薄板，使聲波傳遞速度比在主管道中的傳遞速度快，這會形成相位差，從而達到消聲的效果，其原理類似于HQ管[8].

在聽小骨消聲器模型中，聲波在主管道、旁支管和封閉腔內的傳播與“板—桿”結構的振動相互耦合. 在聲學域內，波動方程為：

2 聽小骨消聲器的優化設計

為了提升聽小骨消聲器的寬頻（1～1 300 Hz）消聲性能，并且更加注重低頻部分（1～800 Hz）的改善，同時實現消聲器結構的輕量化，本文以消聲器進出口管道寬度h、封閉腔深度hc以及封閉腔長度Lc作為設計變量，取頻率范圍1～800 Hz和1～1 300 Hz內的平均傳遞損失TL1和TL2作為目標函數，消聲器的質量m作為約束函數. 利用中心組合試驗設計方法，建立關于設計變量和目標函數之間的響應面模型，并驗證響應面模型的擬合精度，最后采用多目標遺傳算法對消聲器的結構參數進行優化和驗證.

2.1 中心組合試驗設計

為減少有限元模型的計算量，保證響應面模型的精度，本文采用中心組合試驗設計方法，其試驗次數k表示為：

k=mc+mr+m0（6）

式中：mc=2n為設計因素取最大和最小水平的全因子試驗點數；n為設計因子個數；mr=2n為分布在n個坐標軸上的試驗點數；m0為中心點數. 圖3給出了兩因數（n = 2）和三因數（n = 3）的中心組合試驗設計樣本點的分布圖. 表1為聽小骨消聲器進行中心組合試驗的試驗結果.

2.2 響應面模型構造

響應面模型是一種回歸模型，關于設計變量的二次多項式響應面模型可表示為[9]：

（x）=β0+∑ni=1βixi+∑ni=1βiix2i+∑ni=1∑nj≥iβijxixj（7）

式中：xi為第i個設計變量；n為設計變量的個數.利用最小二乘法對樣本點及樣本點所對應的響應值進行擬合，確定二次多項式表達式中多項式的系數β0，βi，βii和βij.

針對聽小骨消聲器，取頻率范圍1～800 Hz和1～1 300 Hz內的平均傳遞損失TL1和TL2作為目標函數，見式（8），分析步長為1 Hz.

TL1=∫f10TLf1，TL2=∫f20TLf2（8）

2.3 響應面模型的誤差分析

響應面模型的擬合精度受樣本點數、響應面多項式次數和原函數的光滑程度影響較大. 在得到響應面模型之后，一般會通過統計學中的方差分析來檢驗響應面模型的有效性，可以采用決定系數R2和調整決定系數R2adj來驗證響應面對響應量的擬合情況[10]，R2和R2adj定義如下：

R2=∑Mi=1（i-）2/∑Mi=1（yi-）2（12）

R2adj=1-∑Mi=1（yi-i）2（M-1）/

∑Mi=1（yi-）2（M-N-1）

（13）

式中：yi，i分別為第i個樣本點上的響應值和近似響應值；為M個采樣點的響應均值；N為響應面模型基函數的個數. 對于二次多項式響應面模型，基函數個數N與設計變量個數n的關系見式（14）. 在對響應面模型的方差分析中，若R2和R2adj的值越接近于1，則響應面模型的擬合精度越高.

N=（n+2）×（n+1）/（2×1）（14）

對聽小骨消聲器的響應面模型做誤差分析，將響應面模型的響應值和有限元模型的計算值代入式（12）和式（13），得到決定系數R2和調整決定系數R2adj如表3所示. 由表3可知，TL1和TL2的響應面模型的決定系數和調整決定系數都大于0.9，響應面模型能夠很好地擬合響應量，可用于后續的優化設計.

2.4 基于遺傳算法的多目標優化

在建立了聽小骨消聲器響應面模型的基礎上，為了求得目標函數的最優解，需要選擇合適的優化算法對優化目標進行優化.遺傳算法就是一種將適者生存規則與群體內部染色體的隨機信息交換機制相結合的高效全局尋優算法[11]. 隨著時間的推移，遺傳算法也在不斷地改進和進化. 由Deb等[12]提出的非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）是對NSGA算法的改進，是一種帶有精英策略的非支配排序遺傳算法，解決了NSGA算法參數選取較難和運行效率低等缺點.

為了提升聽小骨消聲器的寬頻（1～1 300 Hz）消聲性能，并且更加注重低頻部分（1～800 Hz）的改善，本文以1～800 Hz內的平均傳遞損失TL1和1～1 300 Hz內的平均傳遞損失TL2作為優化目標. 此優化問題屬于多目標優化問題，以消聲器優化后的質量不高于初始質量的95%作為約束條件，采用NSGA-Ⅱ遺傳算法對目標函數尋優，優化設計的數學模型可表示為以下形式：

max （TL1），max （TL2），m≤0.95m0

48≤h≤52，45≤hc≤55，225≤Lc<275（15）

式中：m0為消聲器的初始質量. 取遺傳算法的交叉概率為0.6，變異概率為0.01.優化前后設計變量的值見表4，優化前后目標函數和約束函數的值見表5.

從表5中可知，TL1從13.397 0 dB升高到了15.286 2 dB，并且TL2從13.343 6 dB升高到了14.619 1 dB，同時消聲器的質量由1 684.3 g降低到了1 593.2 g. 在滿足約束條件的情況下，采用NSGA-Ⅱ遺傳算法得到的優化結果提高了消聲器的低頻和寬頻消聲性能，并且減輕了消聲器的質量.優化前后消聲器的傳遞損失曲線如圖4所示.fa和fb為優化前后兩曲線的交點. 從圖中可以看出，優化后傳遞損失曲線的第1個峰值和第2個峰值之間的部分以及第2個峰值和第3個峰之間的部分得到了提高；第1個峰值和第3個峰值向中間頻率移動，而第2個峰值的位置幾乎沒有變化. 這使得優化后的消聲性能在[fa，fb]區間得到提高，而當頻率小于fa或者大于fb時，消聲效果卻有所下降. 綜合起來，優化后的消聲器在1～800 Hz和1～1 300 Hz的平均傳遞損失都得到了提高.具體值見表5.

為了驗證響應面模型優化結果的準確性，將優化后的設計變量值代入有限元模型中，對比采用響應面模型和有限元模型計算的目標函數值，見表6. 從表6可以看出，用響應面模型得到的近似值誤差僅為0.90%和1.28%，這表明通過響應面模型和遺傳算法得到的優化值具有較高精度.

3 結 論

1）本文采用中心組合試驗設計獲得樣本點，構造二次多項式響應面模型，用最小二乘法確定二次多項式的系數. 根據統計學原理，利用響應面模型建立設計變量和目標函數的近似顯式表達式，避免了多次調用有限元程序，易于與優化算法相結合，提高了優化效率.

2）以聽小骨消聲器1～800 Hz和1～1 300 Hz的平均傳遞損失作為優化目標，消聲器的質量作為約束，采用響應面法和NSGA-Ⅱ遺傳算法相結合的思想對目標函數進行了優化. 優化后的消聲器在低頻和寬頻的消聲性能都得到了提高，并且消聲器的質量有所減輕，從而驗證了響應面法和遺傳算法相結合的消聲器結構參數優化方法的有效性.

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