構造輔助函數解題的常用方法

四川省成都市彭州中學(611930) 劉大華 黃秦安

構造輔助函數解題的常用方法

四川省成都市彭州中學(611930) 劉大華 黃秦安

數學教育大師波利亞說過：“人的高明之處在于當他碰到一個不能直接克服的障礙時,他就會繞過去,當原來的問題看起來似乎不好解時,就想出一個合適的輔助問題.”構造函數就是有力的解題輔助工具,它可以優美的解決很多難度較大的數學問題.然而眾所周知,運用輔助函數法解題的核心是如何構造輔助函數,本文立足于此,并結合筆者多年的解題實踐,談談如何構造輔助函數,供參考.

1.特征分析構造

觀察是認識事物與解決問題的基石,在觀察過程中通過對問題進行特征分析、思考加工,可以構造輔助函數解決表面特征稍明顯的數學問題.

構造思路通過觀察、分析不等式的特征,不難發現不等式左邊的三個無理式結構一樣,于是多元歸一,即可構造輔助函數

故原不等式得證.

點評例1由《數學通報》2045號問題改編而得,上述通過特征分析構造輔助函數的證法精彩巧妙,然而值得一提的是猜想也可由“切線法”實施證明.

2.和差構造

和差法常用于比較大小、構造對偶式等,其實也可用來構造輔助函數,如下2016年全國3卷文科壓軸題的壓軸問就是一個很典型的例子.

例2 設函數f(x)=lnx-x+1.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明：x∈(1,+∞)時,

(3)設c＞1,證明：當x∈(0,1)時,1+(c-1)x＞cx.

構造思路要證不等式“1+(c-1)x＞cx”,通過作差,即可構造輔助函數“g(x)=cx-(c-1)x-1”.

解(1)、(2)略.

(3)構造函數g(x)=cx-(c-1)x-1,x∈[0,1],要證原不等式,即證g(x)＜0.對g(x)求導得

由題c＞1,即lnc＞0,再根據第(2)問知所以g′(0)＜0且g′(1)＞0,結合g′(x)是單調遞增函數和零點定理可知g′(x)在區間(0,1)上有唯一零點,所以函數g(x)在區間(0,1)上先單調遞減,再單調遞增,又g(0)=g(1)=0,從而在區間(0,1)內g(x)＜0,故原不等式得證.

點評和差構造輔助函數的方法在每年高考壓軸題中運用廣泛,如2016年四川理科壓軸題、2013年遼寧理科壓軸題等.

3.積商構造

作積商常用于冪的大小比較、分式的消元等,其實也可用來構造輔助函數解決有關累積形式的數學難題.

例3 若n∈N?,則有不等式：

即不等式左邊得證.

綜上所述,原不等式得證.

點評例3是數學通報2146號征解題,上述證明由積商構造出輔助函數之后,其單調性的探究又是一個難點,此處由于輔助函數“f(x)”與“g(x)”為累積形式,故采用作商探討單調性較為適用,上述證明也比命題者給出的證明過程簡潔.

4.局部構造

若問題中要探討部分的結構比較復雜,使得正面解決很困難,這時我們可以考慮將復雜的整體看成幾個部分,實施局部構造輔助函數,從局部突破,從而達到解決問題的目的.

例4 (1)討論函數的單調性,并證明當x＞0時,(x-2)ex+x+2＞0;

即h(0)=a-1＜0,h(2)=a≥0,由零點定理及第(1)問結論知h(x)在(0,2]上有唯一零點x=m.所以函數g(x)在(0,m)上單調遞減,在(m,+∞)上單調遞增,于是x=m為函數g(x)的極小值點,也為最小值點,即當a∈[0,1)時,函數g(x)有最小值g(m).由于即所以當a∈[0,1)時,有m∈(0,2],于是函數g(x)的最小值

點評此例是2016全國2卷理科壓軸題,g(x)的導函數結構比較復雜,于是我們從局部實施突破,構造輔助函數.這種構造方式也很常見,如2016年江蘇卷19題,2013年陜西卷理科壓軸題等.

5.變參分離

若條件中含有參數,要探究參數的取值范圍,此時可以考慮將參數與其他元分離,然后構造輔助函數求解參數的范圍.

例5 已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)略.

點評此題是2016年全國1卷理科壓軸題,將主元與參數變參分離后構造關于的輔助函數,在對輔助函數求導探究單調性,參數的范圍便自然得到.

6.對稱構造

對稱是最能給人以美感的一種形式,發現對稱性,利用對稱思想去有意識的分析問題、發現優美解是解決很多有趣數學題的有效思維方式.

例6 已知且 (3tanα+cotβ)3+tan3α+4tanα+cotβ= 0,證明：4tanα+cotβ=0.

構造思路將題目中的等式通過代數變形調整為(3tanα+cotβ)3+(3tanα+cotβ)=-(tan3α+tanα),再運用對稱思想將“3tanα+cotβ”視為整體,構造輔助函數f(x)=x3+x.

解引入輔助函數f(x)=x3+x,原條件轉為f(3tanα+cotβ)=-f(tanα).因為f(-x)=(-x)3+ (-x)=-(x3+x)=-f(x),f′(x)=3x2+1＞0,則f(x)既是奇函數又是單調遞增函數,所以f(3tanα+cotβ)=-f(tanα),即3tanα+cotβ=-tanα,故4tanα+cotβ=0.

點評此例條件給出的等式結構相對混亂,通過代數變形調整簡明后,再運用對稱思維構造輔助函數.

7.換元構造

換元思想是最基本的數學思想之一,它可以將問題化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉.換元思想也是一種常用的構造輔助函數方法.

例7 已知

(1)求y的最小值;

(2)求取得最小值時的θ.

構造思路考慮到題目中同時存在sinθ+cosθ和sinθcosθ,所以運用換元思想,令則

點評此例曾被改編為2002年同濟大學自招試題,換元的目的是便于構造輔助函數求其最值,但換元后要注意新元的取值范圍,以免范圍的擴大或縮小.

8.聯系函數模型構造

在中學階段已接觸到的函數模型有：一次函數模型、二次函數模型、三角函數模型、指數函數模型與對數函數模型等,若問題中滲透著某些函數模型,應優先利用這個函數模型,構造輔助函數,使問題得到轉化與解決.

例8 解方程：

構造思路通過仔細審題,可以發現是兩個類似的指數函數模型,由于底數都大于1,所以構造輔助函數f(x)=ax(a＞1).

解引入輔助函數f(x)=ax(a＞1),由于f(x)為單調遞增函數且所以

點評上述解答構造指數型輔助函數后,利用指數函數的單調性來解難度較大的無理方程,實屬巧妙,體現了數學的奇異美.

9.主元構造

在解決多元數學問題時,為了化解多元的干擾,往往可以采用主元思想,視某一利于問題解決的元為主元,從而構造輔助函數.

例9 設0＜x＜1,0＜y＜1,0＜z＜1,證明：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1.

證法1以x為主元,將要證不等式整理為

引入輔助函數

因為0＜y＜1,0＜z＜1,所以

由于f(x)的函數圖像是直線,所以0＜x＜1時,f(x)＞0恒成立.故x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1得證.

點評這是一道很經典的俄羅斯數學競賽試題,不等式涉及三個元,但我們僅僅只選用其中一個元為主元構造輔助函數,使得問題得以漂亮的解答,當然這道競賽題還有其他優美的解法,若有興趣請查閱文[1].

10.多次構造

當問題的條件或結論沒有任何特征可循,通過代數變形后仍難以下手時,可以考慮分別構造兩個或兩個以上的輔助函數.

例10 設x,y,z是正實數,且xyz=1,證明：

證明要證原不等式,即證

由于u3+v3+w3≥3uvw恒成立,所以,只需證明

引入輔助函數

不妨設x≥y≥z,則

由xyz=1得x≥1,z≤1,所以

所以

故原不等式成立,當且僅當x=y=z時“=”成立.

點評例10曾被作為第39屆國際數學奧林匹克預選題,兩次構造輔助函數后結合函數的單調性和放縮技能得以證明,有一定的難度.

構造輔助函數在解決難度較大的問題時屢見不鮮,但學生對這一方法的掌握程度很不容樂觀,究其原因主要是我們在日常的解題教學沒有充分的向學生揭示輔助函數的構造思路歷程,這使得輔助函數的產生就像“帽子里鉆出一只兔子”一樣,讓人難以捉摸和理解.所以在日常的解題教學中,我們一定要重視展示典型問題的解決思路和方法,因為羅增儒教授在其著作[3]中也再三強調：“分析典型例題的解題過程,揭示解決方法是學會解題的有效途徑.”

[1]劉再平.一道經典全俄奧林匹克問題的證法探究[J].中學數學研究,2015(5)：47-48.

[2]劉再平.例析輔助函數法的模式與解題運用[J].中學數學研究,2013(11)：36-38.

[3]羅增儒.數學解題學引論(第二版)[M].西安：陜西師范大學出版社,2008.9.