虛中隱實、實中含虛
——弦中點問題探幽

華南師大附屬中學(510630) 羅碎海

虛中隱實、實中含虛
——弦中點問題探幽

華南師大附屬中學(510630) 羅碎海

文[1]通過對兩道例題解法的分析說明“點差法”使用中的誤區.使用點差法所得結論是原題已知的必要條件,未必充分,必須進行驗證.對于原文問題2有兩個問題值得進一步深思：(1)文中所說結論“當曲線是雙曲線時,若中點在其內部,則所求的直線一定存在;若在其外部,則滿足條件的直線可能存在,也可能不存在.”請問：何時存在?何時不存在? (2)如果不存在,那么用點差法所求的方程有什么幾何意義?

1.原題再現

例1 (原文問題2)已知雙曲線問是否存在被點M(1,1)平分的弦?若存在,求出弦所在直線方程;若不存在,說明理由.

解假設存在被點M平分的弦AB,設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(1,1).則有

相減得

因為M(1,1)為AB中點,從而x1+x2=2,y1+y2=2,所以因此,滿足條件的弦斜率為2,所求弦所在直線方程為y=2x-1.

文中最后驗證,發現所求直線y=2x-1與原雙曲線沒有交點(聯立后Δ＜0),所以這樣的直線不存在.

2.探究問題

探究1 點M(x0,y0)在什么位置時,總存在直線l,使M為l被雙曲線所截弦的中點?

因此,我們把雙曲線及其漸近線將平面分成的三類區域分別記為雙曲線內部(I)、漸近線上、下部(II)、雙曲線與漸近線之間(III)(如圖),易得以下結論：

圖1

(1)當點M(x0,y0)在區域(I)內時,所以過點M存在滿足要求的直線l;

(2)當點M(x0,y0)在區域(II)內時,所以過點M存在滿足要求的直線l;

(3)當點M(x0,y0)在區域(III)內時所以過點M不存在滿足要求的直線l.

(4)當點M在雙曲線或漸近線上時,不存在滿足題設要求的直線.(顯然,以上結論對y0=0也正確.)

探索2 在原題解答中,既然結果不存在,怎么會求出直線l:y=2x-1,使M(1,1)為l被雙曲線的所截“弦”的中點的直線呢?

進一步可以得到：

結論1 若直線l與雙曲線交于A、B,與其漸近線交于C、D,那么M必是線段AB和線段CD的共同中點,從而可得|AC|=|BD|.

結論2 設直線l與曲線

分別相交于A、B和C、D,則|AC|=|BD|.

若一條弦的長趨于零,則得：

結論3 設l是曲線的切線,切點為C,如果l與雙曲線交于A、B兩點,則|AC|=|BC|.

從反面考慮,又可得：

結論4 過雙曲線上一點C作一條直線l與它的漸近線交于A、B兩點,則|AC|=|BC|的充要條件是點C是l與雙曲線的切點.

3.追根溯源

其實本問題源于課本習題(人教版選修2-1,P62,B4)：已知雙曲線過P(1,1)能否作一條直線l,與雙曲線于A、B兩點,且點P是線段AB的中點?

對此題如果不用點差法,很自然的想到設直線方程,解法如下：

解已知雙曲線方程即為2x2-y2=2,設滿足條件的直線l存在,由題意可知該直線斜率存在,設為k.直線l方程為y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.再設A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點為M(x,y).把y=kx+1-k代入雙曲線方程2x2-y2=2,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2/=0).(如果不考慮Δ≥0)所以由題意,得解得k=2,即直線l的方程為y=2x-1.不管判別式,與點差法所得結論相同.

4.向前一步

在未考慮判別式的情況下,我們得到與點差法同樣的不合題意的直線l:y=2x-1,有人說這是過虛交點的虛直線,這條線的實際意義到底是什么?

如果把這條線y=2x-1理解為虛直線的話,它的出現就昭示著存在比原題雙曲線更具有普遍性的曲線能使直線y=2x-1有意義,這樣的曲線就是原雙曲線的漸近線,虛中隱實.我們明白：雙曲線的漸近線的中點弦包含了由漸近線所產生的所有雙曲線的問題.

其它類似問題如何?

例2 過點P(-2,0)的直線l與圓x2+y2=1交于點A,B,求弦AB中點M的軌跡方程.

圖2

解設直線斜率為k(存在),l的方程為y=k(x+2),與圓聯立,即(1+k2)x2+ 4k2x+(4k2-1)=0,設 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),x1+x2==2x,而y=k(x+2),消去k,得 (x+1)2+y2=1.

實際上,所求曲線(x+1)2+y2=1與原已知圓x2+y2=1聯立,

所求是(x+1)2+y2=1在已知圓內的一部分.多出的部分有何意義?

如果圓x2+y2=1變為x2+y2=r2,讓r逐漸變大(如圖),其他條件不變,當直線y=k(x+2)總與圓有交點,此時弦的中點軌跡方程為(x+1)2+y2=1.

虛軌跡其實是更大范圍內的實軌跡,結合例1,有種感覺“虛有各種虛,反映更本質”.

例3 過點(-1,0)的直線與拋物線y2=4x交于A、B兩點,求弦AB中點M的軌跡.

解設直線斜率為k(存在且不為0),l的方程為y=k(x+1),與拋物線y2=4x聯立,即ky2-4y+4k=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),而y=k(x+1),消去k,得y2=2(x+1).實際上,Δ＞0,所以所求是y2=2(x+1)在原拋物線內的部分.多出的部分怎樣來的?其實是直線y=k(x+1)與拋物線y2=4(x+a)(a≥1)所產生.由虛找到實的本質.

圖3

在以上中點弦問題中,從例1發現退化的雙曲線,即對應的漸近線更能說明本質(退化);從例2發現包含其已知點在圓內比已知圓更大的圓(放大);從例3發現包含已知點在拋物線內的更多的拋物線(平移).

韋達定理中可能有虛根,點差法中隱含虛根,實是確定的線,虛有虛的不同,虛是實的延伸,從實中看出虛,從虛中發現實,使我們對數學理解更上一個層次.

[1]齊斌德.走出點差法的誤區.中學數學研究[J],2016,8(上).