對一類齊二次型最值問題的深究

浙江省寧波市第四中學(315016) 沈盈盈 魏定波

對一類齊二次型最值問題的深究

浙江省寧波市第四中學(315016) 沈盈盈 魏定波

一、問題再現

對任意不全為0的實數x,y,z,證明：

(第二屆陳省身杯全國高中數學奧林匹克試題).

二、證明方法

評注對于這類最值問題,我們的解題方向是,借助變量x,y的對稱性,以減少待定系數法運用中的參數個數,避免直接用基本不等式湊數法的不確定性.

例如,若實數a,b,c滿足a2+b2+c2=1,則3ab-3bc+ 2c2的最大值為___.(2015浙江省五校聯考試題.)

分析由3ab-3bc+2c2的結構,可以設

證法三(三角代換法)由于代數式3xy+yz+zx,x2+y2+2z2關于x,y對稱,對于最大值來說,不妨設z≥0,x2+y2+2z2=1.于是有

評注對于類似上例關于x,y對稱的不等式證明,通過基本不等式與三角函數的結合運用,避免了一些復雜方程的變換,不失為解決這類問題的又一個通性通法.

三、一般結論

定理1 對△ABC和任意的實數x,y,z恒有

證明設

由于

所以,

上式=[x-(zcosB+ycosC)]2+(zsinB-ysinC)2≥0等號成立的條件是：zsinB-ysinC=0且x-(zcosB+ycosC)=0.所以,不等式①成立,當且僅當

三式相加,即可證.在②式中,令a=b=1,得：

四、鏈接高數

我們用線性代數中的二次型的相關知識對這個問題進行解釋.

定理n元二次型XTAX為半正定的充要條件是：矩陣A的各階順序主子式大于或等于零.

上述問題,等價于：

求f(x,y,z)=x2+y2+2z2-3axy-ayz-azx≥0恒成立的a的取值范圍.

當XTAX為半正定,即

恒成立,由

[1]劉小東.也談“怪異”不等式的證明[J].中學數學教學參考.2015(11)：40-41.

[2]姜坤崇.證明陳省身杯一賽題的簡單實用方法[J].數學教學. 2015(10)：36-38.