基于應變能法的單搭接螺栓剪切模型＊

寇劍鋒，徐 緋，馮 威

（西北工業大學航空學院，陜西西安710072）

基于應變能法的單搭接螺栓剪切模型＊

寇劍鋒，徐 緋，馮 威

（西北工業大學航空學院，陜西西安710072）

為了簡化復雜結構在沖擊數值分析中的大量螺栓連接，可用等效的載荷位移模型代替復雜的螺栓連接關系，本文中針對單搭接螺栓連接在剪切載荷下建立了連接本構關系。首先通過對有預緊力的單搭接螺栓進行實驗和精細有限元模擬，揭示了螺栓剪切載荷位移曲線的特征并針對不同特征階段進行了相應的物理機理分析。在此基礎上對于載荷位移曲線的界面黏結、部分滑移、整體滑移階段提出了連接本構模型的基本形式和各階段的參數估算方法。在部分滑移階段考慮了4個方面的剛度貢獻，其中部件對螺栓的支撐剛度是三維非軸對稱變形問題，理論求解非常困難，本文中通過應力分布研究，采用應變能法解決了螺栓的支撐剛度的估算問題。提出的單搭接螺栓剪切模型物理含義明確，參數估算簡單，準確度高。

固體力學；剪切剛度；本構模型；螺栓連接；應變能

在結構裝配中，螺栓是最常見的連接方式之一，在大型結構的沖擊數值分析中，由于螺栓和螺栓孔在尺度上通常與被連接結構相差較大，全面精細建模復雜，計算工作量大，所以實際工程計算中需要對連接結構進行簡化［1－3］。目前，常采用彈簧或者梁單元簡化螺栓連接，這種簡化一方面不能準確地描述螺栓的復雜連接行為，另一方面這些彈簧或者梁單元的剛度也無法準確給出，這種簡化的處理方法還不能計及螺栓預緊力與摩擦力的影響，而研究資料顯示預緊力和摩擦力與連接剛度密切相關［4］。因此，為了在大型結構的數值分析中既經濟又準確描述螺栓行為，需要建立連接結構的連接本構模型。

雖然螺栓連接無處不在，但以往的文獻對螺栓連接關系，即載荷位移曲線變化的物理機理研究不足［5］。特別是螺栓在剪切載荷作用下的接觸和連接是復雜的多尺度非線性問題，不同的外力作用下螺栓的載荷傳遞形式有很大差異。小載荷下振動問題的載荷傳遞通常是在螺栓預緊力作用下，被連接的兩個部件之間的微觀界面摩擦傳遞，在這個過程中界面產生微滑移，數值模擬中常用彈簧阻尼模型［6－7］描述連接關系。桑迪國家實驗室基于微滑移／微摩擦理論得到簡潔的四參數的Iwan模型［8］，主要關注部件相互間界面的能量耗散；H.Tian等［9］、黃開放等［10］通過假設微球體接觸表面，計算得到了界面的剛度，但模型參數的給出較為困難。隨著載荷的增加，部件相互間的界面發生了宏觀滑移，但兩個部件分別與螺母之間的界面保持黏結，載荷主要通過螺母與部件之間的界面和螺桿的彎曲變形傳遞，這方面研究較匱乏。隨著載荷的繼續增加，載荷主要通過螺桿的剪切變形傳遞直至材料失效破壞，這個過程研究人員多關注大載荷下螺栓連接的失效模式以及極限載荷，這方面研究資料很多［5，11］，而對連接剛度較少提及。綜合發現螺栓連接在部件相互間的界面發生宏觀滑移后到螺桿與螺孔壁完全接觸前的載荷傳遞與變形狀態基本沒有文獻進行討論。

對工程實際中火箭導彈等結構，在受到沖擊載荷的作用下，需要分析沖擊產生的應力波對其中精密部件的影響［12］。例如，火箭飛行達到一定高度后的整流罩解鎖分離，分離動載荷經過含連接的結構傳遞，有時會使得精密部件如剪斷鎖緊彈射筒和兩半罩的鎖緊銷提前斷裂，導致彈射筒無法正常起爆［13］。還有研究發現應力波的傳播特性與螺栓的連接關系及其連接剛度密切相關，是否考慮螺栓的連接剛度，會使應力波傳播問題中計算和實驗在結構相同監測點的最大加速度相差25%以上［1，14］。由于螺栓連接的非線性，不同載荷階段對應不同的載荷傳遞形式，相應的連接剛度也會發生變化，所以在數值分析中需要給出螺栓連接從低載荷到較高載荷過程中的本構關系。

對于上述問題，本文中采用實驗和數值模擬相結合的分析手段，研究單搭接螺栓連接結構在受剪過程中的變形機理，在此基礎上得到本構模型的基本形式，對連接剛度進行詳細的理論推導，給出了本構模型各階段的參數確定方法，最后針對不同結構與材料參數對本文建立的單搭接螺栓剪切本構模型及其參數進行了數值驗證。

1 螺栓連接剪切變形機理

首先對螺栓連接結構進行了實驗研究。實驗件設計如圖1所示，部件為45鋼，在連接區的厚度為6mm，表面粗糙度為1.6μm，用8.8級M4的螺栓連接，對螺栓施加3.0N·m的預緊力矩。實驗用電子萬能試驗機夾持住實驗件兩端夾持區并拉伸，由試驗機的力傳感器得到載荷，由引伸計測量得到兩個部件的相對位移。同時建立與實驗相同邊界與載荷條件的精細有限元模型，模型采用六面體實體單元，上下兩個部件之間的界面設置0.2的摩擦因數，上下部件分別與螺母之間的界面設置0.1的摩擦因數，對螺栓施加通過《機械設計手冊》查得3.0N·m預緊力矩下約為4kN預緊力，在模型一端夾持區約束，另外一端夾持區施加位移載荷，通過有限元結果分析界面相互作用情況。

實驗載荷位移曲線如圖2所示，隨著載荷增加，曲線斜率發生幾次明顯的變化。發生變化的原因難以直接通過實驗分析，為此我們利用有限元仿真計算研究曲線斜率變化的原因。通過螺栓連接安裝和受力過程的有限元仿真計算得到了載荷位移曲線，如圖2所示，與實驗曲線吻合較好。根據有限元計算的載荷位移曲線斜率可將曲線分為4個階段，每個階段的界面接觸狀態分別如圖3（a）～（d）所示。每階段的分圖中，左邊表示部件間的界面，右邊表示螺母與上部件間的界面，螺母與下部件的界面與其對稱，紅色表示界面沒有發生滑移，綠色表示界面發生了滑移。圖3（a）所示為第1階段：界面黏結階段，該階段位移幾乎不變，連接剛度較大，部件相互間的界面和螺母與部件之間的界面都沒有發生滑移，載荷主要通過兩個部件相互間的界面傳遞。圖3（b）所示為第2階段：部分滑移階段，該階段內剛度逐漸降低，部件之間的界面全部發生滑移，螺母與部件之間的界面仍有很大部分黏結在一起，這個階段的載荷主要通過螺母與部件之間界面摩擦和螺桿的彎曲剛度傳遞。圖3（c）所示為第3階段：整體滑移階段，該階段內載荷保持不變，剛度幾乎為零，部件相互間的界面和螺母與部件之間的界面全部發生了滑移。圖3（d）所示為第4階段：螺桿剪切階段，該階段剛度突然增大，螺桿和部件的孔壁完全接觸，載荷主要通過螺桿的剪切剛度傳遞。對于火箭導彈等結構爆炸分離時產生的沖擊波幅值由于衰減較快通常在被考察部件附近不會導致螺栓變形進入圖2所示的第4階段［13］，所以本文中針對剪切螺栓連接載荷位移曲線的前三階段開展研究工作。

圖1 單搭接剪切試樣Fig.1 Single lap shear specimen

圖2 載荷位移曲線Fig.2 Load－displacement curves

圖3 接觸面狀態Fig.3 Status of interface

2 本構模型及其參數確定

基于上節對螺栓剪切載荷位移曲線每個階段的受力分析，初步確定單搭接螺栓剪切本構模型的表達式見式（1），基本形式見圖4，其中δ為部件之間在螺孔中心處的相對位移，F為螺栓傳遞的釘載，μ1為兩個部件之間的摩擦因數，μ2為部件與螺母之間的摩擦因數，Ppre為螺栓的預緊力，k0為界面黏結階段的剛度，k1為部分滑移階段的剛度，k2為整體滑移階段剛度。

圖4 本構模型Fig.4 Constitutive model

可以看出，上述本構模型計及摩擦因數和預緊力，它們影響在多大載荷下螺栓進入部分滑移階段和整體滑移階段。另外，確定該本構模型還需各階段的剛度，其中整體滑移階段的剛度k2為0，k0和k1采用下列方法計算。

2.1 k0的確定

k0為界面黏結階段的連接剛度，主要為部件之間的界面切向剛度。根據分形模型與Hertz接觸理論得出在小載荷下界面的切向剛度為［15］：

D為分形維數，它與界面加工方法以及粗糙度Ra相關［16］，對于磨削表面：

h為界面的切向載荷與法向壓力比，μ為界面摩擦因數，ψ為微接觸面積分布的域擴展因子。ac為微接觸臨界接觸面積，意為微球體發生屈服時的接觸面積：

其中Г為粗糙表面的幅度系數，D＝1.5時，其與表面粗糙度Ra的關系為［17］Ra＝0.811Г1／2，κ為較軟材料的硬度Η與屈服強度σy之間的系數，γ為較軟材料的屈服強度σy與材料當量彈性模量E之間的比例系數。am為微接觸最大接觸面積，與界面的法向壓力相關［18］：

式（2）～（6）顯示通過兩接觸材料的彈性模量、剪切模量、屈服強度、表面粗糙度以及界面的摩擦因數可求得k0的值，在隨后的第3節進行算例驗證。

2.2 k1的確定

k1為部分滑移階段的連接剛度，即k1＝ΔF／Δδ，這個階段增加的載荷ΔF通過部件與螺母間的界面作用到螺栓上，受力與變形分析見圖5。將螺桿作為短粗梁，梁兩端的力偶（ΔF，－ΔF）會讓螺桿產生彎曲變形和剪切變形，從而分別使A、B兩點在水平方向增加位移Δδb和Δδs，對應的剛度為kb和ks。另外，這對力偶會在螺桿根部產生附加力矩ΔFL／2，這個力矩會使與螺桿相接的螺母部件產生Δθebn的變形。這個附加力矩通過螺母傳遞到部件上，又會使部件產生的Δθebc變形，這兩個變形導致螺桿發生Δθ的偏轉，進而導致A、B兩點在水平方向出現由螺母變形導致的位移Δδebn和由部件變形導致的位移Δδebc，因此，k1由螺桿彎曲剛度kb、螺桿剪切剛度ks、部件對螺母的支撐剛度kebc以及螺母對螺桿的支撐剛度kebn組成，其表達式為：

（1）kb代表螺桿彎曲剛度，通過經典梁彎曲變形理論得到：

（2）ks代表螺桿的剪切剛度，由于螺桿一般是短粗梁，所以橫向剪切變形不能被忽略，剪切剛度為：

圖5 螺栓變形示意圖Fig.5 Diagram of bolt deformation

式（8）～（9）中：E和G分別為螺栓的楊氏模量和剪切模量，L為螺桿的長度，ζ為Timoshenko剪切修正系數，對于圓柱，其值為6（1＋ν）／（7＋6ν），ν為材料的泊松比。

（3）kebc代表部件對螺母的支撐剛度。部件的支撐剛度一直是螺栓連接計算中的難題，螺栓受拉情況下的支撐剛度是一個軸對稱問題，S.A.Nassar等［19］、楊國慶等［20］等通過部件的應力假設以及軸向位移積分得到部件軸向支撐剛度。而螺栓剪切是非軸對稱問題，難以簡化為二維問題直接求位移。在線彈性假設下，這里通過應變能法求部件的剪切支撐剛度。

假設螺栓為剛體，由能量平衡可知，外力做功等于部件應變能的增加量，kebc有如下表達形式：

所以，只要得到在部分滑移階段由ΔF導致的應變能U，就可以得到部件對螺母的支撐剛度。應變能可由應力在整個變形體內積分求得：

為了得到合理的應力假設，對部件的應力分布進行有限元數值分析。在圖6中以螺栓軸線為中心線建立圓柱坐標，圖中z向應力σz是支撐螺母的主要應力，分析中忽略其他應力分量的影響。

圖6 連接結構的應力假設Fig.6 Hypothesis of stress for connection structure

在預緊力作用下，假設σz分布為錐體形狀，如圖6所示，其中虛線為錐體的母線，其半頂角為α，α一般取30°～45°［20－21］，RN為螺母與部件接觸區半徑，RB為螺桿半徑，RH為螺孔半徑，H為螺母厚度。

假設σz沿著環向φ的分布為：

沿著徑向r分布：由于最大接觸應力在螺母與部件接觸的邊緣即r＝RN處，所以在r＜RN和r＞RN區域內有不同的分布表達式，具體為：

式中：Rz為在z處錐體的半徑：

沿著軸向z的分布為：

假設分布（Hyp.）和有限元結果（FEM）對比如圖7所示，表明假設分布形式能夠比較好地描述實際應力分布。

圖7 部件假設應力分布與有限元應力分布比較Fig.7 Stress comparison of hypothesis with FEM on component

因此，部件的三維應力分布可表示為：

利用z＝0處的力矩平衡關系：

同時將式（17）右端積分為代數表達式，求解可獲得三維應力分布中Fz的表達式：

利用三維應力分布計算部件的彈性應變能，這個過程中對為r＜RN和r＞RN區域分別積分如下：

將（19）代入（10）并消去ΔF，最終得到部件對螺母的支撐剛度：

（4）kebn代表螺母對螺桿的支撐剛度。

與求kebc方法相同，首先根據有限元分析結果得到螺母的假設應力分布為：

式中：n取5。

在每個坐標系方向假設分布與有限元對比如圖8所示，在φ向和z向假設分布形式能夠較好描述實際應力分布，r向的應力分布在r較小時有一定誤差，但由于應變能是應力的平方在體積上的積分，假設應力分布與真實應力分布誤差主要處于小半徑、低應力區域，對于應變能的結果影響有限。

圖8 螺母假設應力分布與有限元應力分布比較Fig.8 Stress comparison of hypothesis with FEM on nut

利用三維應力分布計算得部件的彈性應變能，這個過程中對為r＜RB和r＞RB區域分別積分如下：

進而得到螺母對螺桿的支撐剛度：

至此，通過部件與螺栓的幾何參數、彈性模量、硬度、屈服強度以及界面粗糙度采用式（2）、（7）分別得到界面黏結階段剛度k0和部分滑移階段k1，結合預緊力和摩擦因數以及已知為0的整體滑移階段剛度k2就能完整給出本文中提出的螺栓剪切模型。

3 驗 證

圖2顯示，精細有限元模型能夠準確模擬連接結構的力學行為，所以采用精細有限元模型對本文中建立的單搭接螺栓連接剪切本構模型進行驗證。

模型采用8.8級M6螺栓連接，螺栓的彈性模量為200GPa；兩個被連接部件為45鋼，彈性模量為210GPa，屈服強度為360MPa，硬度為200MPa，厚度均為12mm。對螺栓施加10kN的預緊載荷，該載荷為螺栓屈服載荷的55%，部件之間以及部件與螺母之間的摩擦因數為0.1。部件的表面粗糙度Ra為1.6，取擴展因子ψ＝1.2，由式（2）計算得到在低切向載荷下，k0＝3.54×107N／mm。由式（7）計算得到k1＝7.86×103N／mm。

有限元計算得到的載荷位移曲線與預測載荷位移曲線如圖9所示，位移為上下螺母與部件接觸區域中心點的位移差。

圖9顯示，該模型預測結果與有限元結果主要在部分滑移階段有偏差，偏差的大小可用這個階段的剛度k1的誤差描述。下面分別分析螺栓和部件不同選材、不同螺栓直徑、不同部件厚度對k1的誤差影響。

圖9 預測結果與有限元結果對比Fig.9 Comparison of prediction with FEM

表1 不同結構選材k1驗證Table 1 Verification of k1for different material

表1中分別對螺栓和部件選用工程中常用的材料鋁合金和鋼進行驗證，兩個被連接部件等厚，均為15mm，螺栓直徑為10mm，鋼的彈性模量為210GPa，鋁的彈性模量為70GPa。分析結果顯示，材料的彈性模量對k1的誤差影響不大，都在9%左右。

表2 不同螺栓直徑k1驗證Table 2 Verification of k1for different bolt diameters

表2對不同的螺栓直徑進行驗證，兩個被連接部件的厚度均為15mm，部件和螺栓的材料都為鋼材，其模量為210GPa，分析結果顯示，螺栓直徑影響k1的誤差，直徑增大會導致誤差變大。螺栓直徑小于10mm時，誤差小于10%，直徑為16mm時，誤差增大至28%。

表3 不同部件厚度k1驗證Table 3 Verification of k1for different thicknesses

表3對不同部件厚度的結構進行了分析，表中螺栓直徑為10mm，部件和螺栓的材料都為鋼材，其模量為210GPa，分析結果顯示部件越厚，k1誤差越小。當被連接兩部件總厚度大于40mm時，誤差小于10%，小于20mm時，誤差接近15%。

綜合表1～3的驗證結果顯示，k1的預測值都大于有限元值，其中螺栓和部件的選材對誤差影響較小，螺栓和部件的尺寸對誤差有影響。表2～3顯示，誤差與部件厚度／螺栓直徑（長細比）顯著相關，長細比大于2.0的情況下，給出的k1計算方法能夠得到較為準確的結果（誤差小于14%）。由于推導kebn和kcbn過程中，僅主要方向的應力σz，計算中的應變能小于實際應變能，導致kebn和kcbn的預測結果比有限元支撐剛度偏大，又由于kebn和kcbn是k1的分量，并且長細比越小，kebn和kcbn的影響越大，所以k1隨著長細比減小，與有限元剛度偏差明顯。

4 結 論

（1）通過實驗和計算得到單搭接螺栓剪切結構的載荷位移曲線，根據曲線斜率對不同階段進行了物理解釋：連接載荷首先通過部件相互間的界面傳遞；當部件相互間的界面發生滑移后，載荷通過螺母與部件之間的界面以及螺栓桿的彎曲傳遞；當螺母和部件之間的界面發生滑移后，連接結構都處于整體滑移階段，載荷不再繼續增加。

（2）提出了計及摩擦因數、預緊力、螺栓與部件尺寸、材料等參數的單搭接連接結構的剪切本構模型。給出了模型中參數的獲取方法。該模型適用于大型結構在中低載沖擊應力傳播數值分析中大量螺栓連接簡化。

（3）本構模型針對部分滑移階段剛度k1的計算采用應變能法獲得了部件對螺母的支撐剛度kebc以及螺母對螺桿的支撐剛度kebn的影響，這種方法能夠解決三維非軸對稱變形體對梁的支撐剛度問題。

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Study of strain energy based shear model for single lap bolt

Kou Jianfeng，Xu Fei，Feng Wei
（School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，Shaanxi，China）

In simplifying large numbers of bolt connections in simulation to substitute the construction of the whole joint structure，it is essential to establish a joint constitutive model.In this paper，a shear constitutive model of the single lap bolt was established.Firstly，the curves of the load－displacement of the single lap shear bolt were obtained from experiments，and the corresponding physical mechanism was analyzed using the finite－element method.Then，the curve of the load－displacement was divided into several phases according to the physical mechanism.Based on the first three phases，the basic form of the shear constitutive model was proposed and the related parameters were determined in detail.In the second phase of the shear model，the support stiffness was solved by the strain energy method based on reasonable stress distribution hypothesis，which was a step most difficult to take.Finally，this constitutive model was verified by numerous examples.The results show that this shear model for the single lap bolt has the advantages of providing clear physical meaning，easy parameter estimation，and high accuracy.

solid mechanics；shear stiffness；constitutive model；bolt joint；strain energy

O342；V214.41；TB121國標學科代碼：13015

A

10.11883／1001－1455（2017）01－0001－09

（責任編輯 曾月蓉）

2015－05－15；

2015－09－15

國家自然科學基金項目（11272266）；航空科學基金項目（2013ZD53049）

寇劍鋒（1984— ），男，博士研究生；通信作者：徐 緋，xufei＠nwpu.edu.cn。