一種單自由度體系解析解及其在車橋動力分析中的應用

杜憲亭， 喬 宏， 夏 禾, 王少欽

(1. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2. 北京建筑大學 理學院，北京 100044)

一種單自由度體系解析解及其在車橋動力分析中的應用

杜憲亭1， 喬 宏1， 夏 禾1, 王少欽2

(1. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2. 北京建筑大學 理學院，北京 100044)

假定相鄰時刻之間荷載線性變化，推導出低阻尼單自由度振動體系的解析解，在此基礎上給出了相應的車橋動力相互作用系統建模及求解流程。系統模型分解為車輛、橋梁兩個子系統，基于部件剛體假定和達朗貝爾原理推導車輛子系統運動方程，采用有限元法建立橋梁子系統模型；借助于振型疊加法將兩個子系統運動方程解耦，車輛子系統非正交阻尼部分的影響以及兩個子系統間的動力相互作用均按非線性虛擬力處理；以一節4軸客車勻速通過32 m簡支梁為例，分別采用提出的解析解法、Newmark-β法以及高斯精細積分法進行動力分析。結果表明，相對于Newmark-β法和高斯精細積分法，解析解法不僅具有高精度特點，能顯著提高計算收斂的積分步長，同時又能避免計算復雜的指數矩陣，具有良好的工程適用性。

車橋系統；動力相互作用；單自由度體系解析解；振型疊加法；非正交阻尼

隨著鐵路的迅猛發展，列車通過橋梁時所產生的動力相互作用問題成為了研究熱點[1-3]。列車輪對與橋上鋼軌之間的接觸屬于高度非線性問題的范疇，采用Newmark-β法、Wilson-θ法等經典數值積分方法求解時，需要很小的積分步長才能保證其收斂性[4-9]。計算效率是制約車橋動力相互作用分析發展的重要因素。

翟婉明提出的新型積分方法計算效率較高，在車-線-橋分析中得到了廣泛應用，但是，該方法要求的積分步長極小。YANG等利用動力縮聚法，縮減了和車體相關的自由度，提高了Newmark-β方法的計算效率，但是該方法需要構造復雜的相互作用單元，使其應用受到了限制。張純等利用Haar小波方法對車橋系統耦合振動問題進行了求解，發現Haar小波方法計算時間短、計算準確性高，但在其求解過程中需要將矩陣進行擴階，計算過于復雜。杜憲亭等[10]綜合精細積分法和高斯積分法特點，提出了一種適用于車橋耦合振動的預測-校正求解分析框架，能夠顯著提高分析效率，然而精細積分法涉及計算增維的指數矩陣，過程較為繁瑣，并且時間步內運動插值的引入降低了分析的數值穩定性。因此，對于車橋動力相互作用分析而言，尋找更加高效的積分方法和相應的系統建模方法及求解策略具有重要的理論意義和工程價值。

本文基于時間步內荷載線性變化的假定，推導出單自由度低阻尼體系振動的解析解，在此基礎上給出了相應的車橋動力相互作用系統建模及數值求解流程。將車橋動力相互作用系統模型分解為車輛、橋梁兩個子系統，基于部件剛體假定和達朗貝爾原理推導車輛子系統運動方程，采用有限元法建立橋梁子系統模型。借助于振型疊加法將兩個子系統運動方程解耦，車輛子系統非正交阻尼部分的影響以及兩個子系統間的動力相互作用均為非線性虛擬力處理。最后，采用解析解法、Newmark-β法以及高斯精細積分法對一節4軸客車勻速通過32 m簡支梁所構成的耦合系統進行動力分析，通過計算結果的對比驗證所建議方法的可靠性。

1 低阻尼單自由度體系解析解

低阻尼單自由度體系運動方程為[11]

(1)

式中，q、ω、ξ、f、t分別為體系的位移、圓頻率、阻尼比、外荷載、時間。

任意形式的荷載總是可以用有限數量的直線段去逼近。假定式(1)右端的荷載項在時間步[t,t+Δt]內線性變化，則有

(2)

式中：Δt為時間步長；下角標t+Δt為相鄰時刻；t+τ為兩相鄰時刻之間的任一瞬間。

式(2)為典型的二階常系數微分方程，相應的解由兩部分組成

(3)

式中，上角標s、g分別為特解、通解。

式(1)對應的特征方程為

r2(t)+2ξωr+ω2=0

(4)

所對應的特征值為

(5)

0不是特征根，因此特解為

(6)

將式(6)代入式(1)，得到

(7)

由待定系數法得到

(8)

(9)

特征方程有一對共軛復根，則其通解為

(10)

因此，

qt+τ[c1cos(ωDτ)+c2sin(ωDτ)]·e-ωξτ+A·τ+B

(11)

(12)

c1=qt-B

(13)

(14)

取τ=Δt，得到矩陣形式的相鄰時刻體系運動狀態遞推關系式

(15)

其中，

a11=e-ωξΔt·[cos(ωDΔt)+ωξsin(ωDΔt)/ωD]

(16)

a12=e-ωξΔt·sin(ωDΔt)/ωD

(17)

a21=-e-ωξΔt·sin(ωDΔt)·ω2/ωD

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

當式(2)基本假定成立時，應用解析解式(15)逐步求解低阻尼單自由度體系運動不會產生數值穩定性問題，即時間步長Δt的取值不受制于體系自身周期的影響，這與Newmark-β法等數值方法相比具有很大優勢。將式(15)計算結果代入式(1)，可以得到體系對應的加速度。

2 車橋動力相互作用系統建模

列車通過橋梁時引起結構振動，而橋梁振動又反作用于列車，兩者構成了一個相互作用的非線性耦合振動系統見圖1。

圖1 列車通過橋梁Fig.1 A vehicle passing through a bridge

將車橋動力相互作用系統分解為橋梁、車輛兩個子系統。依據有限元法，矩陣形式的系統運動微分方程為

(24)

(25)

式中：上角標B、V分別代表橋梁、車輛子系統；FVV為車輛內部構件，如抗蛇行減振器等，產生的非線性作用力；而FVB、FBV為兩子系統間的動力相互作用，反映的是系統間力及位移的協調關系，可以通過耦合系統運動的線性或非線性函數表達，在后繼分析中可以作為非線性虛擬力處理。

顯然，式(24)、式(25) 不能直接采用式(15)求解。

鐵路橋梁通常由基礎、墩臺、支座、梁體和橋面系等部件組成，可以采用梁單元、桿單元、剛臂單元、板單元、實體單元、彈簧單元以及質量單元等建立其有限元模型。其中，阻尼矩陣cB可以借助Rayleigh阻尼假定確定。

采用標準模態變換

(26a)

(26b)

采用式(26)對式(24)進行坐標變換及正交化處理，得到

(27)

在精度達到分析要求的前提下，通常引入如下假定對車輛子系統進行簡化：①列車在橋梁行駛時間較短，忽略速度波動對動力系統的影響；②車輛由車體、轉向架、輪對等剛體部件組成，且各組成部件之間通過一系和二系彈簧、阻尼器相聯；③車輛橫、豎向振動與車輛縱向振動可以分開考慮，前者對橋梁振動其控制作用。借助于達朗貝爾原理可以推導出每節車的獨立運動方程。因此，式(25)可以進一步寫為

(28)

式中：l為通過車輛的節數；mV,j通常為對角陣。

式(28)不能直接應用振型疊加法，這是由于車輛的阻尼矩陣關于振型并不正交。將方程左側阻尼矩陣力移動至方程的右側作為虛擬力，同時引入等效阻尼比的概念，再借助于振型疊加法得到

(29)

等效阻尼比可參考橋梁子系統取值，也可采用式(30)確定

(30)

需要指出的是，采用輪軌非密貼模型時車輛處于自由運動狀態，存在零頻率和剛體模態，在模態求解時需要引入移軸技術，這可以借于Matlab等軟件。在后繼分析中需要剔除剛體模態的影響。

3 求解流程

如前所述，在進行數值求解之前需要完成以下數據準備工作：

1) 確定分析的列車運行速度以及時間步長；

2)采用有限元分析軟件建立橋梁分析模型，提取結構的頻率、振型，計算或假定模態阻尼比，計算各階的運動狀態遞推系數；

3)利用Matlab軟件的符號推導功能推導車輛運動方程，提取車輛頻率、振型、計算等效阻尼比，計算車輛的各階運動狀態遞推系數；

4)輸入系統激勵——軌道不平順；

5)確定車輛、橋梁子系統的初始振動狀態。

為了便于程序編制，將式(15)展開得到

(31a)

(31b)

從式(31)可知，t+Δt時刻運動狀態由兩項組成：一項是t時刻運動狀態及外力的貢獻；二項是t+Δt時刻外力的貢獻。

式(27)、式(29)構成了等效的車橋動力相互作用系統運動方程組，可以應用式(31)進行逐步求解。在給定t時刻動力相互作用系統狀態的條件下，迭代法計算t+Δt時刻系統響應的步驟見圖2。其中，判別計算收斂的條件為在迭代過程中橋梁、車輛子系統的力、位移向量的范數變化趨于穩定。

‖Fi-Fi-1‖≤E·‖Fi-1‖

(32)

‖ui-ui-1‖≤E·‖ui-1‖

(33)

式中：上角標i、i-1為時間步內兩次臨近的迭代;E為給定的相對容差，通?？梢匀?0-6。

圖2 逐步迭代求解流程Fig.2 Step-by-step iteration solution procedure

依據上述步驟編制分析程序。

4 算例分析

選取一節客車勻速通過簡支梁作為分析對象，其中車輛參數、橋梁參數、輪軌關系、分析車速均與文獻[10]一致。為驗證解析解法的有效性，增加了與基于Newmark-β法、高斯精細積分法迭代求解結果的對比。其中，計算得到車輛子系統的各階頻率及等效阻尼比見表1。

表1 車輛各階頻率及等效阻尼比

選取簡支梁跨中豎向加速度、車輛第一輪對豎向加速度作為分析項目。圖3、圖4顯示了積分時間步長Δt=10-4s時三種方法求解的結果。

圖3 跨中豎向加速度時程(Δt=10-4 s)Fig.3 Acceleration time history of bridge at mid-span(Δt=10-4 s)

圖4 輪對豎向加速度時程(Δt=10-4 s)Fig.4 Vertical acceleration time history of wheel-set(Δt=10-4 s)

從對比情況可知：對橋梁振動情況而言，三種方法計算基本一致；就輪對振動情況而言，解析解法與Newmark-β法、高斯精細積分法略有差異，這是由于車輛引入振型疊加法所致。

圖5、圖6顯示了在積分步長增大到5倍，即Δt=5×10-4s條件下，三種方法求解的結果。從對比情況可以看出，在積分步長較大時高斯精細積分和解析解法依然能夠得到與原積分步長一致的結果，Newmark-β法計算結果已經發散。

圖5 橋梁跨中豎向加速度時程(Δt=5×10-4 s)Fig.5 Acceleration time history of bridge at mid-span (Δt=5×10-4 s)

圖6 輪對豎向加速度時程(Δt=5×10-4 s)Fig.6 Acceleration time history of wheel-set (Δt=5×10-4 s)

通過對比發現，與采用Newmark-β法相比較，在積分步長較大時高斯精細積分和解析解法依然能夠得到與原積分步長一致的結果。

5 結 論

依據上述理論分析和算例計算結果，可以得出如下結論：

(1)相對于Newmark-β法，解析解法和高斯精細積分法具有求解精度高的特點，求解車橋耦合問題時可以采用較大的積分步長。

(2)相對于高斯精細積分法，解析解法避免了指數矩陣的復雜運算。

本文提出的分析方法可以應用到實際工程中。

[ 1 ] XIA H, DE ROECK G, GOICOLEA J M. Bridge vibration and controls: new research [M]. New York: Nova Science

Publishers, 2011.

[ 2 ] 杜憲亭. 強地震作用下大跨度橋梁空間動力效應及列車運行安全研究[D]. 北京：北京交通大學, 2011.

[ 3 ] 翟婉明, 夏禾. 列車-軌道-橋梁動力相互作用理論與工程應用[M].北京：科學出版社, 2011.

[ 4 ] 喬宏, 夏禾, 杜憲亭. 基于Duhamel積分的車橋耦合動力分析方法[J]. 西南交通大學學報, 2014, 49(5): 766-771. QIAO Hong, XIA He, DU Xianting. Analytical method for calculating dynamic response of coupled train-bridge system based on Duhamel integral [J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2014, 49(5): 766-771.

[ 5 ] 李小珍, 馬文彬, 強士中.車橋系統耦合振動分析的數值解法[J]. 振動與沖擊, 2002, 21(3): 21-25. LI Xiaozhen, MA Wenbin, QIANG Shizhong. Coupling vibration analysis of vehicle-bridge system by iterative solution method [J]. Journal of Vibration and Shock, 2002, 21(3): 21-25.

[ 6 ] ZHAI W M. Two simple fast integration methods for large-scale dynamic problems in engineering [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1996, 39(4): 4199-4214.

[ 7 ] 翟婉明. 非線性結構動力分析的Newmark預測-校正積分模式[J]. 計算結構力學及其應用, 1990, 7(2): 51-58. ZHAI Wanming. The predictor-corrector scheme based on the Newmarks integration algorithm for nonlinear structural dynamic analysis [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 1990, 7(2): 51-58.

[ 8 ] YANG Y B, LIN B H. Vehicle-bridge interaction analysis by dynamic condensation method [J]. Structure Engineering ASCE, 1995, 121(11): 1636-1643.

[ 9 ] 張純, 胡振東, 仲政. 車橋耦合振動分析的Haar小波方法[J]. 振動與沖擊, 2007, 26(4): 77-80. ZHANG Chun, HU Zhendong, ZHONG Zheng. Vibration analysis for vehicle-bridge intercation by Haar wavelet method [J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(4): 77-80.

[10] 杜憲亭,夏禾, 李慧樂,等. 基于改進高斯精細積分法的車橋耦合振動分析框架[J]. 工程力學, 2013, 30(9): 171-176. DU Xianting, XIA He, LI Huile, et al. Dynamic analysis framework of train-bridge system based on improved Gauss precise integration method [J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(9): 171-176.

[11] CLOUGH R W, PENZIEN J. Dynamics of structures [M]. 3 ed. New York: Computers & Structures Inc., 1995.

Analytical solution to a sdof system and its application in dynamic analysisof a train-bridge system

DU Xianting1, QIAO Hong1, XIA He1, WANG Shaoqin2

(1. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;2. School of Science, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China)

With the assumption that a load varies linearly within each time step, an analytical solution was derived for a single-degree-of-freedom(SDOF) vibration system with low damping. Based on this solution, the modeling of a train-bridge system and its solving procedure were deduced. The train-bridge system model consisted of a train subsystem and a bridge one. The motion equation of the train subsystem was derived using the rigid component assumption and D′Alembert’s principle, and that of the bridge subsystem was derived using the finite element method. The mode superposition method was applied to uncouple the equations of motion of the two subsystems. The effects of the non-orthogonal damping of the train subsystem and the dynamic interaction between two subsystems were treated as nonlinear virtual forces. A 4-axle vehicle passing through a simply-supported beam of 32 m span at a constant speed was taken as a case study. The dynamic analysis of the coupled system was performed using the proposed analytical method, Newmark-βmethod and Gauss precise integration method, respectively. The results showed that compared with Newmark-βmethod and Gauss precise integration method, the analytical method can not only improve the time step of numerical integration but also avoid the computation of complex exponential matrices, so it has a good applicability in engineering.

train-bridge system; dynamic interaction; analytical solution to a single-degree-of-freedom system; mode superposition method; non-orthogonal damping

973計劃(2013CB036203)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助(2014JBM092)

2015-10-27 修改稿收到日期：2016-02-14

杜憲亭 男，博士，副教授， 1978年生

U24

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.006