復雜多邊形蜂窩夾芯面內等效剪切模量研究

郭瑜超，王立凱，段世慧

（中國飛機強度研究所，西安，710065）

復雜多邊形蜂窩夾芯面內等效剪切模量研究

郭瑜超，王立凱，段世慧

（中國飛機強度研究所，西安，710065）

針對一種復雜的多邊形蜂窩夾芯，將蜂窩胞壁簡化為梁，主要考慮彎矩對胞壁變形的影響，利用虛功原理計算蜂窩胞元在剪切載荷作用下的變形，推導出蜂窩夾芯面內等效剪切模量的解析表達式?？芍涸诎叽绮蛔兊臈l件下，蜂窩夾芯面內等效剪切模量隨胞元長斜邊與垂直方向夾角的增大而增大，隨胞元短斜邊與垂直方向夾角的增大而減小。最后建立蜂窩胞元的有限元模型進行數值分析，數值分析結果與理論分析結果誤差在2%以內，證明了理論分析方法的正確性。

多邊形；蜂窩夾芯；剪切模量；歐拉梁；虛功原理

0 引 言

蜂窩夾層結構是由上下蒙皮和周期性多孔蜂窩夾芯構成的輕質結構材料，蜂窩夾層結構由于既能滿足飛行器對熱防護系統質量的要求，又能解決防熱、隔熱、承載一體化設計難題而被越來越廣泛地應用于航空航天領域[1～4]。

傳統的蜂窩夾芯一般是指六邊形蜂窩夾芯，國內外針對其傳熱特性和剛度特性進行了大量研究。隨著研究的進展，出現了很多特殊類型的蜂窩夾芯，例如P.Innocenti等提出的不規則多邊形蜂窩夾芯（見圖1）,此型蜂窩夾芯傳熱系數及剛度會隨著蜂窩胞壁的長度及夾角變化產生較大變化，可設計性較強，且通過改變胞壁的長度及夾角可轉換為常見的六邊形蜂窩或內凹型蜂窩，因此國內外針對其剛度及傳熱特性進行了一些研究，文獻[5]和文獻[6]等討論了蜂窩夾芯的面內剛度及沿高度方向的傳熱系數；文獻[7]研究了此蜂窩結構的耦合傳熱系數；文獻[8]使用不同方法研究了此類不規則多邊形蜂窩夾芯面內兩正交方向彈性模量及泊松比；但針對此類蜂窩夾芯的面內剪切模量的研究較少。

本文針對一種復雜的多邊形的蜂窩夾芯（圖1），首先確定研究的蜂窩胞元，并將胞壁簡化為歐拉梁；利用虛功原理，主要考慮彎矩對胞壁變形的影響，計算胞元在剪切載荷作用下的變形；進一步根據剪切模量的定義，計算出蜂窩夾芯的面內等效剪切彈性模量，并詳細討論了蜂窩胞壁長度及夾角對蜂窩夾芯面內等效剪切模量的影響。

1 面內剪切模量定義

一般情況下，在研究蜂窩夾芯面內等效彈性模量時，將蜂窩夾芯簡化為二維異性結構，對二維正交結構力學性能的描述一般包括兩個正交方向的彈性模量和泊松比以及面內剪切模量。剪切模量是材料的力學性能之一，是材料在剪切應力作用下，在彈性變形比例極限范圍內，切應力和切應變的比值。

圖2為剪切形變示意，圖2中的立方體在xy平面內的剪切模量可以表示為[9]

式中τxy為立方體受到的剪力，τxy=F/(LW)；γxy為xy平面內的剪應變，γxy=Ux/H；Ux為上表面產生沿x軸的位移；F為均布剪切載荷。

2 蜂窩面內剪切模量理論分析

2.1 虛功原理

為了計算蜂窩夾芯的面內剪切模量，需要首先計算蜂窩夾芯在面內剪切載荷作用下的變形。在計算蜂窩夾芯面內變形時，常用的方法是將蜂窩胞壁簡化為梁，然后使用歐拉梁理論計算蜂窩各個胞壁變形進行疊加，在此過程中可利用虛功原理，即任何一個處于平衡狀態的變形體，當發生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移時所做的總虛功恒等于變形體所接受的總虛變形功。為了從虛功原理求得位移，需建立一個與待求廣義位移對應平衡的力狀態，若這個平衡的力狀態是對應于待求廣義位移的一個單位廣義力狀態（將單位廣義力記作），單位廣義外力在虛位移時所做的總虛功恰好等于待求的廣義位移值，這樣就能通過變形功的計算直接求得待求的位移值[10]。

基于上述思路，首先將蜂窩胞壁簡化為梁，并將待求廣義位移計作?，由虛功原理可以得到：

式中分別為單位廣義力狀態中梁的軸力、剪力和彎矩；表示對所有梁求和；積分上限l為梁的長度；分別為載荷作用下待求位移結構的虛軸向變形、虛剪切角和虛曲率。

假設材料處于線彈性狀態，載荷作用下待求梁結構的軸力、剪力、彎矩分量為，則可以得到虛位移中的虛變形為

式中EA，GA，EI分別為梁結構的抗拉壓、抗剪和抗彎剛度；k為梁截面剪應力不均勻分布系數。

將式（3）代入式（2）可以得到實際荷載下的位移計算公式：

利用式（4）可以求得任意載荷作用下梁結構的廣義位移，這種通過建立平衡的單位廣義力狀態，利用虛功原理求位移的方法稱為單位荷載法。

當梁比較細長時，由于剪切變形和軸向變形對位移的貢獻很小，一般主要考慮彎矩對位移的影響，式（4）可以簡化成為

2.2 蜂窩面內剪切模量

一般在研究蜂窩夾芯的機械性能時，首先需要確定蜂窩夾芯的典型胞元，然后針對蜂窩胞元進行研究，針對此多邊形蜂窩夾芯確定的胞元如圖3所示?？紤]到蜂窩胞元的對稱性，為簡化計算過程，取蜂窩胞元的1/4并將胞壁簡化為梁，用以計算橫向（x向）載荷作用下結構的變形；由于在橫向載荷作用下，胞壁AE、DF主要為軸向變形，對結構總體橫向變形影響較小，可以忽略，因此簡化后的計算模型如圖4所示。

為計算結構在橫向載荷P作用下的變形，需首先計算結構在橫向載荷作用下的彎矩。并將蜂窩胞壁劃分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段，并分別建立局部坐標系。

由于在加載端有相鄰蜂窩胞元胞壁的約束，可以假設加載端沒有扭轉變形，但需要在此施加一個附加彎矩M，用于模擬這種約束，根據加載端扭轉角為零可以計算得到此附加彎矩M的值，M=P(lc osθ+ 2acosφ)/2，根據端部集中載荷P和附加彎矩M計算Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段內彎矩：

同理，假設加載端受到x方向的單位載荷 1X=，可以得到在單位載荷作用下梁結構的內部彎矩：

將式（6）、式（7）代入式（5），可以得到載荷P作用下蜂窩胞壁x方向的變形：

式中I為蜂窩胞壁的慣性矩，I=bt3/12，其中t為蜂窩胞壁的厚度；b為蜂窩芯材的高度。

根據蜂窩胞壁x方向的變形以及蜂窩幾何參數，可以得到蜂窩沿x方向的等效應變為

利用蜂窩受到的橫向載荷P及蜂窩幾何參數，可以得到蜂窩受到的等效剪切應力為

根據蜂窩面內等效剪切模量的定義，將式（9）、式（10）代入式（1）可得蜂窩面內等效剪切模量，同時消去蜂窩材料Es的影響，可得蜂窩面內等效剪切模量比為

式中Es為蜂窩材料的彈性模量；G12為蜂窩面內的剪切模量。

3 數值算例

3.1 有限元模型介紹

為了驗證前面理論分析方法的正確性，在此使用PATRAN建立典型蜂窩夾芯胞元的細節有限元模型（見圖5），使用航空結構有限元分析軟件HAJIF進行有限元分析，通過有限元分析可以得到蜂窩胞元上邊沿x方向的變形，然后通過式（1）可以得到蜂窩夾芯的面內等效剪切模量。

整個蜂窩胞元使用BEAM元建立，蜂窩胞壁的厚度為0.0 625 mm，蜂窩胞壁的長度和夾角可根據構型變化；蜂窩胞壁材料的彈性模量Es=71 000 MPa，泊松比為0.33。蜂窩有限元模型的邊界條件為：蜂窩底部5、6點約束6個方向自由度；為了模擬旁邊蜂窩胞元對本考核結構的支持，約束3、4點的沿z軸方向的旋轉自由度及y向自由度；為了保證蜂窩胞元上邊變形的協調性，約束上邊1、2點的沿z軸方向的旋轉自由度，同時為保證結構純剪狀態，約束上邊1、2點的y向自由度；由于本文理論分析方法是建立在線彈性假設基礎上的，為保證結構變形在線性范圍內，在蜂窩胞元上邊施加沿x方向總載為0.088 N的剪切載荷。

3.2 結果分析

通過前面的理論分析和有限元分析得到了該蜂窩夾芯的面內等效剪切模量，現將分析結果進行討論。

一般情況下，蜂窩夾芯越密則蜂窩夾芯面內剪切模量越大，因此在討論時需要對蜂窩胞元尺寸進行一定的約束。約束蜂窩胞元的寬度及高度不變（約束蜂窩胞元的寬度為8.33 mm，高度為14.434 mm），并約束蜂窩胞元的橫邊邊長h=5 mm，在此基礎上分別討論長斜邊的長度l及長斜邊與垂直方向的夾角θ、短斜邊的長度a及短斜邊與垂直方向的夾角φ對蜂窩夾芯面內等效剪切模量的影響。

圖6為蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es與胞元長斜邊長度l及夾角θ的關系示意，圖6中的每條曲線都假設長斜邊的長度l不變，長斜邊與垂直方向的夾角θ不斷變化，同時為了保證蜂窩胞元的拓撲結構不變（胞壁互不干涉、夾角θ、φ為正值），對角度的變化范圍進行了限定。

由圖6可知，當蜂窩胞元長斜邊長度l=4 mm，長斜邊與垂直方向的夾角θ在12°和90°之間變化時，蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es隨著角度θ的增大而增大，且曲線前半段蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es增大較為緩慢，曲線后半段蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es增大較快，同時l=5 mm、l=6 mm的曲線都有類似的趨勢。究其原因：在橫向剪切載荷作用下，當長斜邊與垂直方向夾角θ逐漸增大時，長斜邊的彎曲變形逐漸轉變為長斜邊的軸線變形，當θ=90°時長斜邊只有軸向變形，而結構的軸向變形值極小，因此此時蜂窩夾芯結構等效剪切模量最大。由l=4 mm、l=5mm、l=6 mm三條曲線的對比可知，在一定條件下長斜邊的長度l越小，則蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es越大。

圖7描述了蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es與胞元短斜邊長度a及夾角φ的關系，圖7中的每條曲線都假設短斜邊的長度a不變，短斜邊與垂直方向的夾角φ不斷變化，同時與前面一樣，為保證蜂窩胞元的拓撲結構不變，對結構尺寸的變化范圍進行了限定。

由圖7可知，當蜂窩胞元短斜邊長度a=3.334 mm，短斜邊與垂直方向的夾角φ在0°和90°之間變化時，蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es隨著角度φ的增大而減小，同時a=0.2 mm、a=1.667 mm的曲線都有類似的趨勢。其主要原因為：當短斜邊長度a確定時，隨著夾角φ的增大，長斜邊長度l不斷增大，長斜邊產生的彎曲變形增大，進而造成蜂窩胞元橫向變形增大。由a=0.2 mm、l=1.667 mm、l=3.334 mm三條曲線的對比可知，在一定條件下隨著短斜邊的長度a增大，蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es會減小。

由圖6、圖7對比可知：隨著長斜邊長度l及角度θ變化，蜂窩夾芯面內等效剪切模量比在較大范圍內變化，長斜邊對蜂窩夾芯面內等效剪切模量的影響較大；而短斜邊長度a及角度φ變化對蜂窩夾芯面內等效剪切模量的影響相對較小。圖6、圖7中列舉了本文理論分析和蜂窩胞元有限元分析的對比結果，由對比結果可知，理論分析結果和有限元分析結果誤差在2%以內，兩者基本一致，說明了本文理論分析方法的正確性。至于誤差產生的主要原因為：理論分析沒有完整考慮胞壁受到剪力和軸向載荷的變形；有限元計算時邊界條件的選取，不容易實現理想狀態的約束。

4 結 論

本文針對一種特殊的多邊形蜂窩夾芯結構，對其面內等效剪切模量進行了詳細研究。首先將蜂窩胞壁簡化為歐拉梁，利用虛功原理，主要考慮胞壁承受彎矩對蜂窩變形的影響，計算出蜂窩夾芯在剪切載荷作用下的變形，進而計算出蜂窩夾芯結構的等效剪切應變，最終得到該蜂窩夾芯結構面內等效剪切模量的表達式，并對其進行討論，結果如下：

a）在蜂窩胞元尺寸及拓撲結構不變的條件下，當蜂窩胞元長斜邊長度l不變時，蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es隨著夾角θ的增大而增大；當蜂窩胞元長斜邊長度l變化時，蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es隨著長度l的增大而減??；

b）在蜂窩胞元尺寸及拓撲結構不變的條件下，當蜂窩胞元短斜邊長度a不變時，蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es隨著夾角φ的增大而減??；當蜂窩胞元短斜邊長度a變化時，蜂窩夾芯面內剪切模量比G12/Es隨著長度a的增大而減小。

最后，建立了蜂窩胞元的細節有限元模型進行有限元分析，通過數值計算得到的等效剪切模量與本文理論結果的誤差在 2%以內，驗證了理論分析的正確性，且理論表達式簡單實用，有一定的工程實用價值。

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Study on In-plane Equivalent Shear Modulus of Complex Polygonal Honeycomb Core

Guo Yu-chao, Wang Li-kai, Duan Shi-hui
(Aircraft Strength Research Institute, Xi’an, 710065)

For a complex polygonal honeycomb core, the cell walls are simplified as beams, mainly considering the influence of bending moment, the analytic expression for equivalent shear modulus iss obtained using the virtual work principle. From this expression：under the condition of that cells had the same size, the shear modulus increases with increasing angle between the long bevel wall and the vertical direction, decreases with increasing angle between the short bevel wall and the vertical direction. Finally, the finite element model of cell is established, and error of numerical result and theoretical result is less than 2%, which verified the correctness of theoretical analysis method.

Polygon; Honeycomb core; Shear modulus; Euler beam; Virtual work principle

V414.7

A

1004-7182(2017)02-0025-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170206

2015-12-07；

2016-02-28

中航工業集團創新基金（2014A62340）

郭瑜超（1986-），男，工程師，主要研究方向為結構分析與軟件研發