常平座軸承與十字軸間隙對整機固有頻率的影響分析

潘 浩，王 慧，吳洋洲

（北京航天動力研究所，北京，100076）

常平座軸承與十字軸間隙對整機固有頻率的影響分析

潘 浩，王 慧，吳洋洲

（北京航天動力研究所，北京，100076）

考慮到火箭發動機常平座軸承與十字軸之間存在間隙，在仿真分析中，必須定義接觸來模擬這些非線性行為，而有限元軟件ABAQUS在進行模態分析時，會自動忽略非線性行為，如果用耦合約束代替接觸，計算得到的結果往往不理想。針對發動機存在的這種間隙結構，采用瞬態動力學方法，計算發動機在時域上的位移響應，通過傅里葉變換給出頻域內的頻響函數曲線，根據峰值頻率從而確定固有頻率，輸出整機結構的關鍵點，得到固有頻率相對應的振型。

火箭發動機；間隙結構；瞬態動力學分析；共振頻率

0 引 言

在防止發動機與箭體或與伺服機構發生耦合共振的設計過程中，發動機整機扭轉頻率是一個重要的指標參數。而在火箭發動機模態分析中，常平座軸承與十字軸之間的間隙將影響常平座的連接剛度，這對整機的扭轉頻率有著重要的影響，這種存在間隙的非線性結構，為發動機的模態分析帶來了困難。

目前的有限元軟件在模態分析、諧響應分析以及隨機振動分析中，只能進行線性計算，任何非線性行為，包括材料的非線性、連接方式的非線性等都將被忽略。因此，必須簡化處理，即用綁定、耦合等代替接觸，這一定程度上導致結構連接剛度偏大，出現偏差。

在以往的發動機建模中，通常是將常平座簡化為質量點，這種處理方式并不能正確模擬發動機整機的一階扭轉頻率?？紤]到常平座上下軸承與十字軸之間存在間隙，采用動力學方法來模擬振動中的接觸過程。本文對間隙結構定義接觸，用瞬態動力學法計算時域上的結構位移響應，經過傅里葉變換得到頻域內的頻響函數曲線，從而確定結構的共振頻率[1,2]。

1 瞬態動力學有限元法

瞬態動力學分析是應工程需要而產生的一種非線性動態求解方法，用于確定承受任意隨時間變化載荷的結構動力學響應，通過傅里葉變換將時域的結構響應轉換為頻域上的信號，找到峰值頻率，從而確定結構的固有頻率。相比傳統的線性模態分析法，此方法可以找到非線性結構的固有頻率，與模態試驗條件下的實際情況更為接近。

在ABAQUS中求解瞬態響應的計算方法有兩種：一種是直接瞬態響應分析法；另一種是模態瞬態響應分析法。直接瞬態響應分析法是通過求解整個模型的阻尼耦合方程，得出各時間對應的響應；而模態瞬態響應分析法則是采用模態疊加法得到各時間對應的響應。由于模態瞬態響應法需要先求解模態振型，要求系統為線性系統，而本文要分析的結構模型為存在接觸關系的非線性系統，故本文將采用直接瞬態響應法。

在直接瞬態響應分析中，通過直接數值積分方法求解耦合方程來計算結構響應。運動方程為

定義一個固定積分時間t?，通過中心差分法計算離散點處的速度和加速度

將外力用3個相鄰的時間點表示，則方程形式變形為

合并同類項，運動方程為

其中，

上述求解過程如同一系列靜力分析求解過程，每一個時間步以新的載荷向量執行一次，求解方程組，從而得到下一時刻的瞬態結果。

2 發動機整機模態分析

模態分析是將線性定常系統振動微分方程中的物理坐標變化為模態坐標，使方程組解耦為單自由度的獨立方程，從而求出系統的模態參數。本文采用ABAQUS有限元分析軟件，進行模態分析，其中對常平座的建模采用了以下3種簡化方式：

a）將常平座簡化成質量點，約束3個方向的平動自由度，放開3個轉動自由度；

b）將常平座簡化成質量點，約束3個方向的平動自由度和繞軸向的轉動自由度，放開另外兩個方向的轉動自由度；

c）建出常平座上下兩個軸承的實體模型，十字軸采用梁單元模擬，十字軸和軸承進行耦合約束，放開各自在伺服機構作動方向的轉動自由度，約束其它的自由度。

發動機整機有限元模型如圖1所示。

表1為3種方案計算結果以及模態試驗獲得的一階扭轉和一階彎曲頻率，其中一階彎曲方向為發動機搖擺部分垂直于氫氧渦輪泵連線方向，試驗值是采用錘擊法獲得。

表1 3種方案計算值與試驗值對比

由表1可以看出，一階彎曲頻率結果較為接近，說明常平座對一階彎曲頻率影響不大，近似認為發動機一階彎曲頻率真實值為16 Hz左右，而一階扭轉頻率各結果相差較大，其中方案一計算結果較小，方案二計算結果較大。分析原因，方案一沒有考慮常平座對發動機整機的軸向扭轉限制，導致整機扭轉頻率過低；方案二用剛性連接代替了常平座的變形協調作用，導致連接剛度增大，造成整機的扭轉頻率過大；方案三的模型更接近實際情況，但計算結果較試驗值偏大，這是因為實物裝配好后，十字軸與常平座上下軸承之間存在間隙，在進行模態試驗時，由于這些間隙的存在，降低了常平座自身剛度，而有限元模態分析在模擬十字軸與常平座上下軸承之間的連接關系時，采用的是耦合自由度法，其連接剛度相對實際情況也會增大。因此為了更好地模擬一階扭轉頻率，必須考慮間隙結構對扭轉頻率的影響。

3 瞬態動力學分析

3.1 含間隙結構的常平座模型

考慮常平座上下軸承與十字軸之間的間隙，即軸與軸承之間的間隙為0.2 mm，十字軸軸套與耳座的間隙為0.15 mm，其有限元模型如圖2所示。

3.2 激振力大小對整機固有頻率的影響

定義軸與軸承、軸套與耳座為接觸關系，切向摩擦系數為0.2，法向為硬接觸。在有限元軟件ABAQUS中設置3個分析步驟：a）對整體施加x負方向的重力，大小為10 N/t（設置此分析步的目的是因為直接加載大載荷會導致計算結果不收斂）；b）對整體施加x負方向的重力，大小為9 800 N/t；在模態試驗中，一般會選取多個點作為激勵點，以保證試驗測得的模態頻率和振型不會丟失，由于本文分析的振型為一階扭轉振型，將激勵點選在推力室身部，激振力的方向與推力室相切，且只對這一點施加載荷；c）在發動機推力室身部施加隨時間變化的z向載荷集中力，載荷大小分為4種工況：F1=5 000 N，F2=500 N，F3=50 N，F4=0.01 N，持續時間為0.2 s，幅值曲線定義如表2所示，計算4種工況下發動機的位移響應。

表2 激振力幅值曲線

以激振點位移輸出響應為例，圖3為4種工況下激振點Z向位移隨時間的變化曲線，圖4為各工況位移在0～20 Hz上的頻響函數曲線，且為了便于比較，將工況3幅值擴大15倍，工況4幅值擴大10倍，每條曲線的峰值頻率代表發動機結構的一階固有頻率。

由圖4可以看出，在0～20 Hz內，激振點有4個峰值，即4階固有頻率，將每種工況對應的峰值頻率見表3。

3.3 預緊力對整機固有頻率的影響分析

以第3.2節有限元計算模型為例，將b）中的重力大小改為98 N/t，方向不變，即初始預緊力縮小了100倍，c）中激振力大小為5 kN，重新計算，得到前3階固有頻率分別為4.76 Hz、9.52 Hz和14.28 Hz，其頻響函數曲線如圖5所示。

3.4 獲取固有頻率對應的模態振型

為了得到固有頻率對應的整機振型，以及減小誤差，采用單輸入多輸出的方法，輸出點結合發動機測點布局，輸出主要組件母線上的部分點（機架顯示十字梁，發動機搖擺部分顯示氫氧渦輪泵、推力室和噴管），其空間測點布局如圖6所示。

以第3.2節a）中激振 力為5 kN時的瞬態動力學仿真結果為例，輸出圖6中各點3個方向的位移響應，并進行傅里葉變換，得到各點各方向的頻響函數，在Dasp數據分析軟件中，將各點各方向的頻響函數作為約束條件，輸入到空間圖中，從而生成結構圖。將所有的頻響函數進行集總平均，得到一條平均后的模態指示函數曲線，如圖7所示（每一個峰值對應其中的一階固有頻率），對前3階頻率進行定階，用實模態多自由度法進行擬合，得到發動機前3階固有頻率、模態阻尼，以及相應的振型，見表4和圖8～圖10，其中一階彎曲方向為發動機垂直于氫氧渦輪泵連線方向。

表4 發動機前3階模態及阻尼比

4 對比分析

比較整機模態分析結果與瞬態動力學分析結果，后者頻響函數曲線在5.8 Hz附近有一響應峰值，對照振型圖，即瞬態動力學分析結果比模態分析多出了一階轉動頻率。觀察振型圖，在該頻率下，發動機搖擺部分整體繞軸向轉動，組件之間并沒有發生相對扭轉，分析原因，當發動機搖擺部分繞軸向有微小轉動時，由于常平座上下軸承與十字軸、十字軸軸套與耳座之間存在間隙，十字軸并不能與常平座軸承充分接觸，常平座對整機繞軸向的約束較小，剛度較低。但十字軸與常平座上下軸承之間存在摩擦力，相比模態分析中方案一，由于受摩擦力的限制，對繞軸向的剛度起到一定程度的增強作用，因此整機轉動頻率5.8 Hz介于模態分析方案一和方案三結果之間。當外激勵方向沿發動機切向，激勵頻率接近該階頻率時，系統同樣會發生共振[3]。從表4可以看出，一階轉動阻尼比較大，可以認為十字軸與上下軸承之間的摩擦力是產生阻尼的主要因素。

當發動機搖擺部分繞軸向轉角繼續增大時，十字軸與軸承充分接觸，常平座對整機的扭轉約束完全體現，從圖8所示的振型圖可以看出，推力室頭部存在變形，即發生相對扭轉，此振型對應模態分析的一階扭轉振型。表5給出了模態分析方案三結果、瞬態動力學分析結果和試驗結果以及與試驗值的對比。

表5 3種方法固有頻率/阻尼比對比

由表5可知，相比模態分析方案三，瞬態動力學分析結果與試驗值更為接近，且一階扭轉頻率比方案三小得多，說明間隙的存在會導致結構之間連接剛度降低[4,5]。而3種方法獲得的一階彎曲頻率相差不大，均與近似理論值16 Hz接近，說明間隙結構對發動機一階彎曲頻率影響不大，即間隙主要影響發動機一階扭轉頻率。

對比瞬態動力學 3種工況下的頻響函數曲線及表3可以看出，3種工況下峰值頻率基本相同，但在某些激振力下，發動機整機部分階次的峰值頻率不明顯，甚至不出現如工況4在17.58 Hz附近沒有峰值，說明用瞬態動力學求解間隙結構固有頻率時，激振力的大小會影響共振頻率，應選用不同的激振力進行加載，以免發生固有頻率缺失的情況。

根據文獻[6]，裝配結構存在間隙時，模態頻率隨載荷變化而明顯發生變化，激振力較小時頻率較低，激振力較大時頻率較大，且當載荷增大到一定程度時，頻率值趨于穩定。而本文4種工況激振力下，得到的頻率基本一致，這是由于在初始重力即預緊力作用下，常平座十字軸與軸承的接觸剛度已經確定，因此4種激振力作用下得到的模態頻率基本相同。

對比第3.2節與第3.3節計算結果，在重力減小，即初始預緊力減小的情況下，得到的固有頻率也都相應降低。分析認為，預緊力較小導致常平座軸承與十字軸接觸剛度相應減小，從而使扭轉和彎曲頻率降低。

在 Dasp分析軟件中定階擬合第 4階固有頻率（17.58 Hz左右）時，得到的模態頻率為22 Hz，與17.58 Hz相差較大，且振型依然為發動機搖擺部分沿垂直于氫氧渦輪泵連線方向的一階彎曲。結合線性模態分析結果，這是因為發動機沿氫/氧渦輪泵連線方向一階彎曲頻率以及垂直于連線方向的一階彎曲頻率較為接近，Dasp軟件在擬合模態時，各階模態參數之間的相互影響較大，會出現個別階的模態振型不協調。理論和試驗表明，單點共振法測模態頻率適用于各階固有頻率相隔較遠，不需要進行模態分離的結構，這種方法對各階固有頻率相互接近的情況，測得結果誤差較大[7]，甚至會丟失某階頻率。

5 結 論

本文對存在間隙結構的發動機整機模型進行了線性模態分析和瞬態動力學分析，并對這兩種方法得到的結果進行對比，結論如下：

a）發動機常平座軸承與十字軸之間的間隙對一階扭轉頻率影響較大，而對一階彎曲頻率影響較小，并且間隙的存在將導致結構連接剛度降低；

b）用瞬態動力學分析方法得到的固有頻率，由于考慮了結構的非線性，相比線性模態分析，其結果與試驗值會更加接近，但對于固有頻率相互接近的情況，得到的結果誤差較大；

c）用瞬態動力學分析方法求解間隙結構固有頻率時，應加載不同的激振力分別求解，保證不會丟失某階頻率，但激振力大小對模態頻率大小幾乎沒有影響；

d）對含間隙配合的非線性結構，預緊力會影響結構接觸剛度，并且預緊力較小時，接觸剛度較低；

e）線性模態分析求解方便快捷，但對于存在間隙的結構，其結果誤差可能較大，而瞬態動力學分析對計算機配置要求較高，計算時間長，且數據處理過程繁瑣，效率低，采用哪種方法應綜合考慮。

[1] 李承德. 錘擊振動試驗的模態分析法[J]. 汽車技術, 1981(02): 22-24, 36.

[2] 李承德. 錘擊振動試驗的模態分析法下[J]. 汽車技術, 1981(3): 27-30.

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[5] 白爭鋒. 考慮較間間隙的機構動力學特性研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業大學, 2011.

[6] 馬晨光, 劉昌洪. 含較大間隙結構頻率的影響機理研究[D]. 北京: 北京力學會第21屆學術年會暨北京振動工程學會第22屆學術年會, 2015.

[7] Bishop R E, Gladwell G M L. An investigation into the theory of resonance testing[D]. London: Philosophical Transactions of the Royal Society of London: Series A, 1963.

Impact Analysis of Clearances Between the Gimbal Mount Assembly and Cross Shaft on Natural Frequencies of the Rocket Engine

Pan Hao, Wang Hui, Wu Yang-zhou
(Beijing Arospace Propulsion Institute, Beijing, 100076)

Considering that there are clearances between the gimbal mount assembly and cross shaft of engine, contact must be defined to simulate these non-linear behaviors in the simulation analysis. However, these non-linear behaviors will be ignored automatically when modal analysis is performed with finite elements software ABAQUS. If the contact is replaced by coupling constraints, the calculated results are not always perfect. Transient dynamic analysis is used to compute the displacement response of engine in time domain about the structure of engine with clearances in this paper. Then we can find the natural frequencies based on the peak of frequency-response curves obtained by fourier transform. We can also find the modes of vibration corresponding to natural frequencies according to the output of key points of the rocked engine.

Clearances; Transient dynamic analysis; Resonant frequency

V43

A

1004-7182(2017)02-0035-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170208

2016-01-25；

2016-11-22

潘 浩（1990-），男，助理工程師，主要研究方向為液體火箭發動機總裝設計