何直觀 建立模型思想
——《兩積之和》拓展課案例分析

吳玉蘭

【課前思考】

浙教版四年級的應用問題單元，出現了這樣的應用問題：“一個籃球95元，一個足球75元。買5個籃球與2個足球共需要多少元？”“如果籃球的單價是95元，買5個籃球和2個足球共用去625元。1個足球多少元？”這兩題用算術方法解決，分別是“95×5+75×2”“（625-95×5）÷2”。僅從這兩個算式上看，似乎沒有什么聯系，但實際上，這兩題的基本結構都是“a×b+c×d=f”，我們把這樣的應用問題稱為“兩積之和”。它們的區別在于前一題是f未知，我們稱之為正向題；后一題是等式左邊的一個量未知，為前一題的逆向題。對于這一類題，結合數量關系來進行分析與解答，在解決逆向問題時很難建立總量與部分量之間的關系，無法感知正向與逆向題之間的基本結構是一致的。尤其在情境變得復雜以后（如雞兔同籠），更難分析量與量之間的關系。

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，有助于學生提高學習數學的興趣與應用意識。對于“兩積之和”這一內容，可以借助圖形讓學生直觀感知各個量之間的關系，并通過觀察比較，發現正向與逆向兩種題型的基本結構其實是一樣的，建立“a×b+c×d=f”的基本模型，理解雖然情境在變、已知與未知量在變，但基本結構不變，并能用這樣的模型來解決實際問題。同時，在這一過程中體會模型的建立能幫助我們解決一類問題，培養幾何直觀，建立模型思想。

【教學過程】

一、圖形引入，初步感知

1.看圖求面積（單位：厘米）。

師：這兒有一個圖形，你能求出它的總面積嗎？

（學生口頭列式，教師板書：6×4+7×10=94）

出示第二個圖形，在學生回答的基礎上板書：10×5+8×4=82。

出示第三個圖形，在學生回答的基礎上板書：10×5+（13-5）×4=82。

2.觀察比較。

師：通過觀察發現了什么？

生：都是左邊長方形的面積+右邊長方形的面積=總面積。

生：都是先用乘法求出兩個長方形的面積，再把兩部分的積加起來求和。

生：我還發現第三題和第二題其實是一樣的，只是第二題右邊長方形的長是已知的，第三題右邊長方形的長需要我們先求出來。

3.揭示課題：像這樣先分別求積，再求兩部分的和，我們可以把它稱為“兩積之和”。

（板書：a×b+c×d=f兩積之和）

【設計意圖：對于學生來說，圖形比較直觀，利于模型的建立。因此，本環節從求組合圖形的總面積引入，通過觀察、對比，發現三道題的圖形在變化，已知量在變化，但求面積的基本方法不變，都是“左邊長方形的面積+右邊長方形的面積=總面積”。從計算方法上來看，都是先求積，再求出兩部分的和，從而得出“兩積之和”的基本模型“a×b+c×d=f”。同時，題組中第三題的呈現，又可以讓學生體會到雖然其中的一個量沒有直接告知，需要先求，但基本結構仍然不變。這樣的設計，使兩積之和”模型的建立經歷了從圖形模型到代數模型的過程，借助幾何直觀把復雜的數學問題變得簡明、形象，使模型的建立也有了依托，更利于學生理解?！?/p>

二、變化溝通，尋找聯系

1.變化圖形。

（將上面的三幅圖變化為下面的圖）

師：哪里變了？

生：原來是求總面積，現在總面積已知，求的是其中一條邊的長度。

師：現在你還能寫出像這樣的兩積之和的等式嗎？

2.獨立研究。

（1）寫一寫：看圖寫出兩積之和的等式。

（2）想一想：為什么這么列式？

（3）找一找：這三題有什么相同與不同？

3．集體交流。

（1）交流第一題。

生：（94-4×6）÷10。

生：4×6+10×▲=94。

師：你支持哪一種？為什么？

生：第二種。因為第二種還是 a×b+c×d=f，是兩積之和。

師：那這兩種方法之間有聯系嗎？

生：94就是面積和，去掉4×6可以得到右邊長方形的面積，再除以寬就是要求的長。

生:其實第一種方法就是來求第二種方法里的▲。也就是（f-a×b）÷d=c。

師：你們真會觀察?？磥?，只要列出了兩積之和的等式，我們就可以用第一種方法來求出圖形代表的數。

（2）交流剩下兩題。

生：第二題是10×▲+8×4=82，10×▲是左邊長方形的面積，8×4是右邊長方形的面積，合起來就是總面積82。

生：第三題我們是10×▲+（13-▲）×4=82，可以在這里加一條虛線，就把這個圖形分成了兩個長方形，左邊是10×△，右邊長是（13-▲），寬是 4，分別求出面積后再加起來就可以了。

生：我們有不一樣的方法，13×4+（10-4）×△。

師：這種方法可以嗎？他又是怎么分這個圖形的？你可以手勢表示一下嗎？

（課件演示虛線分割）

師：是這樣嗎？現在你能解釋這個等式的意思嗎？說給同桌聽一聽。

生：我還有不一樣的方法。我是 13×10-（10-4）×（13-▲）=82。

師：這又是怎么得到的？你能想象出圖嗎？

（在學生表述的基礎上課件演示補的過程，并請學生解釋等式的意思）

師：這種方法與前兩種有什么區別？

生：前面都是分割后求面積和，現在是補上一塊，用大面積減去補的部分的面積。

生：前面都是兩積之和，最后一種方法不是了。

師：如果我們也給這類等式取個名字，你打算叫它什么？

生：兩積之差。

4.前后比較，尋找異同。

（1）將兩個題組一起呈現，進行比較。

師：這是我們剛才研究的兩組題，請你仔細觀察一下，有沒有發現什么？

生：第一組題是總面積不知道；第二組題總面積告訴我們了，是一條長或一條寬不知道。

生：這兩組題都是a×b+c×d=f，只是未知數的位置在變化。

師：看來，不管要求的是誰，這兩組題的基本結構都是兩積之和，我們都可以列出兩積之和的等式來解決。

【設計意圖：本環節將上一組題進行了已知與未知的變換，以列兩積之和的等式。并通過這一題組與前一題組的對比，發現變化中的不變——基本結構仍然是“a×b+c×d=f”。體會到雖然問題在變復雜，但是結構不變，根據兩積之和列出等式就能解決這樣的問題，化難為易。同時，借助圖形的直觀性特點將抽象的數量關系與直觀的圖形有機結合，充分展現問題的本質，再次體會兩積之和的基本模型“a×b+c×d=f”，感知模型的建立使問題的解決更為方便。這樣的處理，幫助學生打開了數學的大門，突破了理解的難點?！?/p>

三、實際應用，體會價值

1.結合活動要求獨立研究。

（1）★兩種昆蟲飛行速度和時間如下表，B昆蟲飛行了多少分鐘？

昆蟲 速度（米/分） 時間（分）A 20 ？B 10 15飛行路程和（米） 390

（2）超市賣出一些雞蛋和鴨蛋，共收入390元。其中雞蛋每千克20元，鴨蛋每千克10元。鴨蛋賣了15千克，雞蛋賣了多少千克？

（3）★★松鼠媽媽采松果，晴天每天可采20個，雨天每天只能采12個。松鼠媽媽一連采了8天，共采112個松果。這幾天中下雨的有多少天？

①根據題中的信息，在圖中標上數據。

②列出兩積之和的等式。

（4）★★★根據上圖，你還能編出怎樣的應用題？試一試。

2.全班交流一星級題。

（1）匯報一星級兩題。

（2）觀察一星級兩題，尋找聯系與區別。

生：這兩題用到的數都是一樣的。

生：第一題中昆蟲的速度相當于第二題雞蛋與鴨蛋的單價；第一題中昆蟲的飛行時間相當于第二題雞蛋與鴨蛋的質量；第一題飛行的總路程等于第二題的總收入。

生：其實這兩題的基本結構是一樣的，都是兩積之和。

師：那有不一樣的地方嗎？

生：每個數表示的意義不一樣。比如20，第一題表示A昆蟲的速度，第二題表示雞蛋的單價。

（3）將一星級第二題的圖變為下圖：你能根據圖編道應用題嗎？現在兩積之和的等式又可以怎么列？

3.分析二星級題。

生：原來雞兔同籠也是兩積之和。

師：是的，原來我們一直認為很難的“雞兔同籠”問題也可以用兩積之和來解決。

4.出示三星級題中標上數據以后的圖。

師：根據這幅圖，我們還能編出怎樣的應用題呢？

【設計意圖：從與圖形相關的一個數學問題引入，基本模型建立后還需要與現實生活建立聯系，體會到實際中的許多數學問題都可以用兩積之和的模型來解決。因此本環節設計了分層的練習，通過比較，體會到雖然情境在變，求的量在變，但基本結構不變，題與題之間存在一定的相關性。同時，借助能見到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知，使抽象的數量關系形象化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，互相滲透，進一步體會現實世界中存在的許多數學問題都可以抽象成某種數學模型。對于學習能力比較好的學生，也安排了編題的練習，在變化中進一步體會基本結構的穩定性?！?/p>