理清困難 尋找突破
——以分數教學為例談數學思維的培養

◎劉妍霞

卷首語

理清困難 尋找突破
——以分數教學為例談數學思維的培養

◎劉妍霞

“數學是思維的體操”，它能開發學生的智力，培養學生的思維能力，有助于學會思考、學會學習、學會創造。

知識是思維的載體，學習數學的目的是為了促進智慧的生長。鄭毓信教授曾強調：分數是數學思維真正進入小學數學的地方。分數也是一些學生在數學學習中表現出真正困難的實際起點。

一、為什么困難

分數是學生數的概念的第一次擴展。在認識分數之前，學生認識的數都是萬以內的整數，比如：0、1、2、3、4……

數的產生來源于實際生活的需要。朱國榮老師認為，在分數意義拓展時，分數被用來表示一個量與另一個量的比的關系。比如，把一堆蘋果平均分成兩份，其中的一份是蘋果總數的蘋果總數的可能是1個，也可能是2個、3個……，當蘋果總數是1個時，蘋果總數的就是個。這個不再具體表示數量的多少，而表示部分和整體數量之間的關系。和學生認識自然數的經驗和過程不相一致，不符合學生認識數的邏輯順序。這也是學生在認識分數時普遍感到模糊、困難的根源。

二、困難在哪里

經過一段時間的分數教學，感觸頗深。蘇教版《義務教育教科書·數學》“分數”這部分知識分四次教學，安排如下：

三年級上冊第七單元“分數的初步認識（一）”，認識一個物體（或圖形）的幾分之一（幾分之幾），同分母分數的大小比較，同分母分數的加、減法。

三年級下冊第七單元“分數的初步認識（二）”，進一步豐富對分數的理解，把幾個物體組成整體，認識整體的幾分之一（幾），求整體的幾分之一（幾）是多少。

五年級下冊第四單元“分數的意義和性質”，教學分數的意義和分數單位，分數與除法的關系，求一個數是另一個數的幾分之幾，真分數與假分數，把假分數化成整數或帶分數，分數與小數的互化，分數的基本性質，約分通分。

六年級上冊第二單元“分數乘法”，分數與整數相乘，求一個數的幾分之幾是多少的實際問題，分數乘分數，分數連乘及其實際問題，認識倒數。

六年級上冊第三單元“分數除法”，分數除以整數，整數除以分數，分數除以分數，簡單的分數除法實際問題，分數連除和乘除混合運算。

六年級上冊第五單元“分數四則混合運算”，分數四則混合運算，稍復雜的分數實際問題。

經過梳理教材，有兩個知識點在學生的思維的提升方面起著至關重要的作用，可謂是兩次飛躍。

（一）第一次飛躍——分數的意義

學生對分數認識，首次感受到一個數不再單純的表示量，它是從感性走向理性的開始。分數的意義,在分數這部分知識中起引領作用，不論是分數的基本性質，分數大小的比較，約分、通分及四則計算,分數實際問題都建立在分數意義之上。從數學的角度來看，分數的引入是為了解決在整數集合里除法不是總能實施的矛盾。因此,讓學生認識到將一個物體、一個圖形、一個計量單位、一些物體作為整體平均分，抽象出單位“1”，在教學中引導學生理解和掌握分數的概念,分數中的其它知識也會迎刃而解。

（二）第二次飛躍——分數乘法

分數乘法的計算方法的推導和有關分數乘法的實際問題的解決，為學生對分數作為分率的理解提供了機會。從中可以認識到分數不僅可以表示一個具體的量，還可以表示部分與整體之間的關系。學生從具體的數的世界轉入到抽象的數的世界，認知上的一次跳躍，又是一次理性的提升。

三、如何突破困難

（一）讓數學思維在“說”中漸入佳境

數學語言是數學思維的工具，是數學思維的外殼。愛因斯坦曾說過：“一個人智力的發展和形成概念的方法，在很大程度上取決于語言?！毙W生語言區域狹窄，更缺乏數學語言。實踐證明：語言能力提高了，思維能力也得到很好的發展。因此，在分數教學中，發展學生的思維，就要加強說理訓練。

1.引導模仿，仿照著說

模仿是提供一種數學語言表達的范式，讓學生仿照著范式思考，從而培養學生思維的準確性。在進行分數實際問題教學中，解題的關鍵是找準題中的關鍵句、單位“1”和數量關系，而題中的關鍵句的呈現形式各不相同。如：“十月份用水量比九月份節約-“其中是第一天用的”“一袋米吃了”等等。在理解這些句子中分數意義時，可以讓學生試著這樣說：把哪個量看作單位“1”？誰的幾分之幾是多少？數量關系式是什么？通過多次訓練，學生不僅掌握了分析數量關系的方法，而且從兒童的自然語言，逐步過渡到規范、準確的數學語言，提高了學生數學語言表達能力，也促進了學生思維能力的提高。

2.引導聯想，變著法說

引導學生聯想，通過一個條件（關系）推出與其相關的條件（關系），培養學生的發散思維。在解決分數實際問題系時，關鍵句不僅可以表述成分數的形式，還可以表述成其他形式。如：根據“鹽是鹽水的啟發學生聯想：水是鹽水的鹽是水的鹽比水少鹽與鹽水的比是（）：（），鹽與水的比是（）：（），水是鹽的（）倍等等。

在教學中，教師創造數學語言訓練的機會，循循善誘，讓學生在“說”中“思”，在“思”中“說”，培養學生表達自己見解的習慣，鼓勵學生敢“想”，敢“說”，敢“與眾不同”，對提高學生的求異思維起到事半功倍的效果。

3.引導反思，有條理地說

由于學生自我意識的發展還不成熟，對自己的思維破綻、錯誤不易注意。當學生對所學的內容有了較全面的理解和掌握時，教師應及時引導學生反思，讓學生說解題思路、解題步驟。在說的過程中，不斷調整自己的思維，試著自我總結，自我評價，提煉思想方法并形成解題策略。因此，在解決分數實際問題的過程中，應著力培養學生“自我反省”的習慣，有條理的表述思維過程。

4.引導比較，自由地說

在分數教學中，有很多具體內容不同，但有著相似結構的實際問題，教師可以創造機會，讓學生仔細觀察，鼓勵學生獨立思考，比較其相同點和不同點，自由的發表自己的見解，從聯系中探索內在規律，這樣，不同于單純的就題講題，還可以形成“自由辯論”的學風。

如：梨有60千克，______。蘋果有多少千克？

通過各抒己見，探索結構之間的關系，把相同的思考過程提煉出來，進一步抽象化、符號化。這樣，在面對新的實際問題時，就能把已有的方法和策略，類推到新的情境中，迅速找到解決問題的方法。通過這樣的練習，可以豐富學生的聯想，增強思維活力，提高思維敏捷性。

（二）讓數學思維在“圖”中越飛越高

運用線段圖解決問題是一種數學技能。圍繞“解決分數實際問題”對我校六年級學生做了調查問卷。情況如下：

線段圖和算式都正確能讀懂題意但不會畫圖會畫線段圖但列不出算式會列式不會畫線段圖畫出的線段圖和算式不能對應占的百分比 4 0 . 9 % 3 4 . 3 % 1 1 . 4 % 7 . 8 % 5 . 6 %

我們總想學生把線段圖當做一種解題的策略，信手拈來。從上面的數據可以看出，對于大多數學生來說，成人看似簡單的線段圖，學生理解有一定的困難。

1.在具體情境中理解分數的意義

2.由“文”到“圖”

從兒童視角出發，將數學知識的過程、方法和結果用圖像進行表征，勾勒出數學知識的本質屬性。借助于學生能見到的或想到的幾何圖形、線段圖等，對數量關系的直接感知，幫助學生理清數量關系：哪個量作為單位“1”，哪部分是單位“1”的幾分之幾，抽象的數量關系變得直觀，有利于學生把握數學問題的本質。

3.圖式結合，強化訓練

教材中提供現成的線段圖，幫助學生理解題意，但學生并不理解畫線段圖的過程。教學中讓學生自己試著畫，還原圖形，然后與教材中的圖對照，發現錯誤及時糾正。學生會畫線段圖不是一朝一夕能解決的問題，教師還應多鼓勵。

用線段圖來表征數學問題，可以幫助學生輕松的解答復雜關系的實際問題，既培養了學生的能力，又促進了學生思維的發展。因此畫線段這樣的圖式意識是一種重要數學觀念，會用圖式表征是關鍵數學能力，圖式思維更是必備學習品質。

（作者單位：江蘇省南京市溧水區實驗小學）

（責任編輯：楊強）