福建省泉州實驗中學(362000) 李仲青●
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2015年高考福建理科卷壓軸試題解法探究
——洛必達法則在壓軸題中的解題應用
福建省泉州實驗中學(362000)
李仲青●
解析 (Ⅰ)(Ⅱ)略.
由洛必達法則得,
故k≤1.
由①②可得,k=1.
筆者在近年的全國卷的高考試題中尋得數例,有興趣的讀者可以動手驗證,嘗試用此方法進行求解.
(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍.
解析 (Ⅰ)略.
(Ⅱ)由x(ex-1)-ax2≥0,可得ax2≤x(ex-1).
(ⅰ)當x=0時,不等式恒成立.
又由洛必達法則得,
>1,因此a≤1.
綜上述:a≤1.
(Ⅰ)求a、b的值;
解析 (Ⅰ)易得a=1,b=1.
當0
所以當0
由洛必達法得,
點評 巧妙地構造和差對偶式解題,達到了化繁為簡、化難為易的效果.
解 設M=cos1°+cos2°+…+cos44°,
構造對偶式N=sin1°+sin2°+…+sin44°.
則M+N=(cos1°+sin1°)+(cos2°+sin2°)+…+(cos44°+sin44°)
點評 充分利用式子的特征,巧妙地構造出對偶式,利用解方程的思想解決未知數,從而使問題得以順利解決.
例5 求證:cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β)
證明 設M=cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β).
構造對偶式N=sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β)
則M+N=2-2cos2(α+β)=2sin2(α+β). (1)
M-N=cos2α+cos2β-2cos(α+β)cos(α-β)
=cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]-2cos(α+β)cos(α-β)=0. (2)
由(1)+(2)得 2M=2sin2(α+β),
即M=sin2(α+β),
原式得證.
例6 在三角形ABC中,求證:cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.
證明 設M=cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC,
構造對偶式N=sin2A+sin2B+sin2C+2sinAsinBcosC
則M+N=3+2cosC(sinAsinB+cosAcosB)=3+2cosCcos(A-B)
M-N=cos2A+cos2B+cos2C+2cosCcos(A+B)
=cos2A+cos2B+(2cos2C-1)-2cos2C=cos2A+cos2B-1. (2)
由(1)+(2)得 2M=2,即M=1,
原式得證.
點評 例5與例6都是構造異名對偶式,將sinα與cosα互換,充分運用三角公式進行運算和化簡,從而達到了簡捷、高效的解題目的.
例7 求證:2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.
證明 設M=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x,
構造對偶式N=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x.
則M+N=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x=7(sin2x+cos2x)2-8sin2xcos2x
=7-2sin22x=5+2cos22x, (1)
M-N=3(cos4x-sin4x)=3(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=3cos2x. (2)
原式得證.
點評 此題若采用降冪或化同名三角函數的思路證明就非常困難,而根據對稱的思想構造了一組對偶式來進行證明,解題過程就顯得簡潔明了.
構造對偶式,N=(1-sinA+sinB)+(1-sinB+sinC)+(1-sinC+sinA).
(當且僅當 sinA=sinB=sinC即A=B=C時等號成立)
又因為N=3,所以M≥3.故
點評 巧妙地構造出與之匹配的倒數對偶結構式,合理、妥善地運用基本不等式獲得了較為簡捷的解答.
解 設M=cos2x+cos22x+cos23x,
構造對偶式,N=sin2x+sin22x+sin23x.
則M+N=3, (1)
M-N=cos2x+cos4x+cos6x=cos(3x-x)+cos(3x+x)+(2cos23x-1)
=2cos3xcosx+(2cos23x-1)
=2cos3x(cosx+cos3x)-1
=4cosxcos2xcos3x-1. (2)
由(1)+(2)得 2M=4cosxcos2xcos3x+2.又M=1
點評 通過構造對偶式,把原方程轉化為cosxcos2xcos3x=0這一美妙而又簡單的有利條件,使問題得到了圓滿解決.
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