湖北省巴東一中(444300) 張世林●
湖北省恩施高中(445000) 譚 斌●
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三視圖的一個重要應用
——多面體的外接(內切)球半徑的求法舉要
湖北省巴東一中(444300)
張世林●
湖北省恩施高中(445000)
譚 斌●
求三視圖還原而成的幾何體的外接(內切)球的表面積或體積的問題在2016屆各地的高考模擬題中大量出現,這是高考的重點,也是學生學習的難點.困難表現在兩個方面:一是根據三視圖如何準確還原幾何體;二是依據畫出的幾何體的特征如何采用適當的方法求外接(內切)球的半徑.現就此類問題的常見求法舉例分析如下.
例1 已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為( ).
解析 如圖,還原的多面體就是三棱錐A-BCD,其外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球.注意:DC,
①當幾何體中出現兩個垂直關系,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半,球心為直角三角形斜邊中點(即直角三角形的外心).
② 因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓,截面圓上的點與圓心、球心構成直角三角形,運用公式R2=r2+d2求半徑.
例3 已知三棱錐S-ABC的頂點都在球O的球面上,且SC⊥平面ABC,若SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,則球O的表面積為____.
變式 一幾何體的三視圖如左圖,則它的外接球的表面積為( ).
A.12πB.16πC.20πD.24π
通過尋找外接球的一個軸截面圓,把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究.
例4 已知一幾何體的三視圖如右圖所示,則此幾何體的外接球的體積為____.
例5 如右下圖所示為某幾何體形狀的紙盒的三視圖,在此紙盒內放一個小正四面體,若小正四面體在紙盒內可以任意轉動,則小正四面體的棱長的最大值為( ).
鞏固練習1.如圖1,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為____.
3.如圖2是某幾何體的三視圖,求該幾何體的體積.
4. 如圖3,網格紙上小正方形的邊長為2,粗線畫出的是某幾何體的三視圖則該幾何體的體積是____.
5. 如圖4,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為____.
答案:1. 41π;2.16π;3. 8/3 4.14π5.41π/4
G
B
1008-0333(2017)10-0013-02