基于菲涅耳變換的圖像加密算法

郭緒坤,康顯桂

(1.廣州體育學院，廣州 510500；2.中山大學 數據科學與計算機學院，廣州 510006)

基于菲涅耳變換的圖像加密算法

郭緒坤1,康顯桂2

(1.廣州體育學院，廣州 510500；2.中山大學 數據科學與計算機學院，廣州 510006)

針對相位截斷加密算法無法抵御信息泄露問題，文章提出了一種基于相位截斷菲涅耳變換與隨機振幅掩模的加密算法，以抵御信息泄露問題；算法首先將原彩色圖像分為3個獨立的顏色通道，在對其進行菲涅耳變換后加入隨機振幅掩模通道，將4個通道分別進行菲涅耳衍射截斷處理；算法通過級聯處理不僅提高了秘鑰與密文間的關聯性，還消除了信息泄露的風險；通過仿真試驗與結果分析可知，本算法不僅在波長與自由空間傳播錯誤距離參數、密文噪聲、遮擋污染、密文泄露以及不同攻擊等情況下有較好的魯棒性，還解決了信息泄露問題。

相位截斷；菲涅耳變換；圖像加解密；彩色圖像

0 引言

隨著計算機和網絡技術的快速發展，數字圖像的處理日益便捷，這種便捷也給圖像的信息安全造成了一定的負面影響，因此對圖像進行加密處理是防止圖像被截獲篡改的有效方法。近年來，光學加密技術具有高速并行處理能力和靈活的加密自由度特性，相較于數字加密有著特殊的優勢。光學加密相關算法成為當前研究的熱點，其中大多數算法都是基于REFREGIER和JAVIDI提出的雙隨機相位編碼加密技術[1-2]，比如分數傅里葉變換加密系統、擴展分數傅里葉變換加密系統以及菲涅耳變換加密系統等，這些加密系統的加密密鑰和解密密鑰是相同的，屬于對稱加密系統。而對稱加密系統在遭受攻擊時容易產生安全問題[3-5]。針對于此，大量文獻對對稱加密系統進行了改進，如文獻[6]提出一種基于球面波照射的非對稱光學圖像加密算法，算法采用球面波的自帶因子擾亂輸入圖像空間信息的方法實現圖像的加解密；文獻[7]提出一種基于衍射光學偏振選擇與相位掩模的圖像加密算法，克服了相位截斷加密的魯棒性缺失等；文獻[8]提出了一種提出基于相位截斷傅里葉變換的非對稱加密系統，利用相位截斷和兩個公開的隨機相位掩模產生具有實值并夾雜白噪聲的密文，以克服對稱加密系統中的安全問題。但大多數改進算法并沒有解決加密系統中的信息泄露問題。菲涅耳變換是一種光學變換，最大的特點是有兩個變換參數，與其他變換域相比具有更高的安全性，并且菲涅耳變換不需要光學透鏡，兩塊相位板可以作為密鑰，變換衍射的距離和波長也可以成為密鑰，可控性強，操作簡單。針對此，本文基于相位截斷菲涅耳變換與隨機振幅掩模，提出了一種新的非對稱加解密系統。

1 菲涅耳衍射

衍射是指光波在傳播的過程中，遇到狹縫、小孔或圓盤之類的障礙物后發生不同程度彎散傳播的現象。而菲涅耳衍射指的是光波在近場區域的衍射。假設衍射擋板上有一點S′(x′,y′)發出的光波衍射到平面S(x,y)點(見圖1)。衍射面到平面的距離為d，S′與S之間的距離為r。

圖1 基于相位截斷菲涅耳變換的彩色圖像加密過程

根據瑞利-索末菲衍射公式[9]得出S(x,y)處光波的復振幅為：

(1)

式中，cosθ=d/r表示傾斜因子，∑表示入射光波面上的一部分，θ為衍射角度，當θ較小忽略不計時，則可將k=2π/δ，則式(1)可改寫為：

(2)

S′與S之間的距離為:

(3)

用二項式將距離r展開可得：

(4)

(5)

將式(5)代入式(2)中可得：

g(x,y)=FrT[f(x,y)]≈

(6)

2 基于相位截斷菲涅耳變換的加解密算法

2.1 彩色圖像加密算法

彩色圖像由紅、綠、藍3個顏色通道組成，設f(x,y)代表原彩色圖像，其中紅、綠、藍3個顏色通道分別用fR(x,y)、fG(x,y)、fB(x,y)表示。一幅彩色圖像中高頻部分和低頻部分分布是不均勻的，若是直接進行圖像變換加密，當加密圖像一旦被攻擊解密后容易造成信息的泄露。為了擾亂原彩色圖像的圖譜信息，提高加密圖像的信息安全，本文對原彩色圖像進行菲涅耳變換后加入隨機振幅掩模通道(RAM通道)。由此加密算法需要對4個通道進行菲涅耳變換(PTFrT)并加密。假設原彩色圖像的紅、綠、藍與隨機振幅掩模4個通道的波長分別用λ1、λ2、λ3、λ4表示，為簡化分析，本文僅對單通道作詳細分析，基于相位截斷菲涅耳變換的彩色圖像加密過程如圖2所示。

圖2 基于相位截斷菲涅耳變換的彩色圖像加密過程

以圖2為例，平行的一組光波照射圖像，設光波長為λ1。函數G1(x,y)位于輸入平面，函數G2(u,v)位于菲涅耳平面，兩個函數為統計獨立的隨機相位掩模。設菲涅耳衍射的自由空間傳播距離為d1，對菲涅耳衍射進行相位截斷，則在G2之前獲得的衍射振幅可表示為：

(7)

?f(x,y)×

(8)

經過第二次距離為d2自由空間傳播之后，CCD平面記錄下加密密文CR(δ,σ)，可表示為：

(8)

設紅色通道的解密秘鑰為D2(u,v)和D1(δ,σ)，對其計算如下：

(9)

(10)

式中,PR{}為相位保持操作，可看出解密秘鑰D2(u,v)、D1(δ,σ)與解密秘鑰G1(x,y)與G2(u,v)有所差異。紅色通道的解密圖像可表示為：

(11)

(12)

綠、藍、隨機振幅掩模RAM通道的加密過程與紅色通道類似，對G1(x,y)和G2(u,v)進行調制，可生成對應的加密秘鑰。波長為λ2的綠色通道加密秘鑰為：

EG1(x,y)=D1(δ,σ)·G1(x,y)EG2(x,y)=

D2(δ,σ)·G2(u,v) (13)

波長為λ3藍色通道加密秘鑰為：

EB1(x,y)=D3(δ,σ)·G1(x,y)EB2(x,y)=

D4(δ,σ)·G2(u,v)

(14)

波長為λ4的RAM通道加密秘鑰為：

EM1(x,y)=D5(δ,σ)·G1(x,y)EM2(x,y)=

D6(δ,σ)·G2(u,v)

(15)

綠、藍和隨機振幅掩模RAM三個通道的加密過程見圖2(b)～(d)。為了簡化分析，設紅、綠、藍和隨機振幅掩模通道4個通道的傳播距離相等，在加密程序的最后，生成了兩個解密秘鑰K1(x,y)與K2(x,y) (見圖2(d))。圖3詳細介紹了4個通道的加密流程。

圖3 四通道加密流程圖

如圖3所示在加密過程中生成4個加密的密文分別為：CR(δ,σ)、CG(δ,σ)、CB(δ,σ)、CRAM(δ,σ)，其中紅色密鑰(D1,D2)、綠色密鑰(D3,D4)和藍色解密秘鑰(D5,D6)不會公開。經過一系列的加密過程最終將各密文的解密秘鑰K1(δ,σ)和K2(δ,σ)傳輸到最后，并將其記錄下來。

2.2 彩色圖像解密

彩色加密算法從紅色通道開始加密，到隨機振幅掩模RAM結束，而解密流程與之相反。圖4為彩色圖像解密算法的流程圖。

圖4 彩色圖像解密算法流程

首先使用解密秘鑰K1(δ,σ)和K2(u,v)對隨機振幅掩模RAM進行解密，解密過程中分別生成加密秘鑰EM1(x,y)和EM2(u,v)：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

利用解密秘鑰D5(δ,σ)和D6(u,v)對藍色通道進行解密得到解密秘鑰依次對綠色、紅色通道分別解密，解密流程如上圖4所示。

(21)

3 仿真試驗與結果分析

本文PC機 (Intel(R)Corei3-3240CPU@3.4GHz4G內存) 在MATLAB7上仿真試驗，對仿真實驗中的參數設置如下：菲涅耳衍射的自由空間傳播距離d1為65mm，第二次自由空間傳播距離d2為95mm，原彩色圖像的紅、綠、藍與隨機振幅掩模4個通道的波長λ1、λ2、λ3、λ4分別為：633.2nm、536.9nm、442.6nm、598nm。

仿真實驗選擇lenna彩色圖像(大小為512×512)，利用本文算法對其進行加解密處理，lenna彩色圖像各通道加密密文如圖5所示。

圖5 lenna原圖像各通道加密密文

上圖5(b)～(e)分別為本算法對lenna圖像處理所得的紅色、綠色、藍色和隨機振幅掩模RAM通道的密文，密文中完全看不出圖像信息。圖5(f)為解密秘鑰K1(δ,σ)的生成，圖5(g)為解密秘鑰K2(u,v)的結果，使用K1(δ,σ)和K2(u,v)兩個正確秘鑰后解密圖像如圖5(h)所示。此外，為了檢驗本算法的魯棒性，使用RPM(G1(x,y),G2(u,v))與隨機相位兩個錯誤的解密秘鑰來解密圖像，圖5(i)與(j)分別顯示了解密圖像結果，即使用錯誤秘鑰無法獲得原圖像的任何信息。為了比較解密圖像和原圖像的相關性，本文將lenna原圖像與解密得到的圖(h)進行相關性計算，原圖像與解密圖像的相關系數值為1，由此可見，通過本算法可獲得與原圖像一致的解密圖像。

3.1 本文算法對不同錯誤參數的魯棒性

為了驗證本算法對不同錯誤參數的魯棒性，本算法利用不同波長與自由空間傳播距離等參數對圖像進行解密，結果如下圖6所示。

圖6 不同波長與自由空間傳播距離誤差解密結果

圖6(

a

)為

RAM

通道10

nm

波長誤差解密結果，其

RGB

三色通道的

MSE

值分別為(0.1552,0.0848,0.0588)從圖中可圖看出解密圖像中無原圖像任何信息；圖6(

b

)為紅色通道10

nm

波長誤差的解密結果，其

RGB

三色通道的

MSE

值為(0.1292,1.9997×10

-25

,9.1979×10

-26

)，解密圖像也沒有原圖像的顏色信息。圖6(

a

)與(

b

)的紅、綠、藍三色相關系數值分別為(0.0006,0.0007,0.0062)與(0.2669,1.0,1.0)。出現上述結果是由于本算法為級聯加密算法，

RAM

通道為第一解密通道，當

RAM

通道波長錯誤后三色通道的解密也受之影響。而紅色通道是最后一個解密通道，錯誤的波長僅會影響自身。

圖6(c)為RAM通道3毫米誤差傳播距離d1的解密圖像，其RGB三色MSE值為(0.1356,0.0832,0.0314)，紅、綠、藍三色通道的相關系數值為(0.1202,0.0156,0.4282)。圖6(d)為紅色通道3毫米誤差傳播距離d1的解密圖像，其紅、綠、藍三色通道的相關系數值為(0.3645,1.0,1.0)。圖6(e) 為RAM通道3毫米誤差傳播距離d2的解密圖像，其RGB三色MSE值為(0.1554,0.0716,0.0582)，對應的紅綠藍通道相關系數值為(0.0049,0.1526,0.0172)；圖6 (f) 為紅色通道3毫米誤差傳播距離d2的解密圖像，其RGB三色MSE值為(0.0871,2.4756×10-26,5.5818×10-28)，對應的紅綠藍通道相關系數值為(0.3686,1.0,1.0)?？煽闯鰝鞑ゾ嚯xd1與d2的誤差也會對解密圖像造成明顯的影響，傳播距離誤差對解密圖像的影響與波長誤差的影響接近。

3.2 本文算法對密文噪聲和遮擋污染的魯棒性

在圖像的實際傳輸和存儲等處理應用中，密文可能遭到破壞，健壯的加解密算法可以有效處理殘缺的密文得到原加密圖像。本文對密文噪聲作魯棒性測試，首先將零均值、不同標準偏差的高斯白噪聲加入密文中。

圖7(a)為相關系數為0.7162的解密圖像效果，其高斯噪聲的標準偏差為0.05，密文雖受到噪聲污染但本文算法所得到的解密圖像能顯示出原圖像的大部分信息。圖7(c)為不同標準偏差下相關系數值的統計結果，由曲線可看出，解密圖像的相關系數值隨著噪聲的下降而增加。

圖7 本文算法對密文噪聲和遮擋污染的魯棒性結果

實驗還測試了本算法對遮擋污染處理的魯棒性。圖7(b)顯示的是相關系數值為0.3735、遮擋10%的解密圖像。圖7(d)為不同遮擋百分比下相關系數值的統計結果。通過曲線可以看出，解密圖像的質量與遮擋范圍成反相關。

3.3 本文算法對信息泄露的有效性

加密算法將原圖像進行加密后，將信息隱藏到對應的密文和相位掩模秘鑰中，一般情況下使用非密文或相位掩膜秘鑰無法還原原圖像，然而有些加密算法會發生信息泄露問題。下面驗證本算法對信息泄露的有效性。

文獻[10]算法分別對圖像的紅綠藍三色通道進行獨立加密，設3個通道的密文為T(δ,σ)，相位秘鑰為PC(u,v)、PT(δ,σ)。圖8(a)為文獻[10]算法只對紅色通道采用相位秘鑰PC(u,v)進行解密的結果；圖8(b)為文獻[10]算法對三色通道僅使用相位秘鑰PC(u,v)進行解密的結果；圖8(c)為文獻[10]算法對紅色通道使用密文T(δ,σ)與相位秘鑰PC(u,v)進行解密的結果；圖8(d)為文獻[10]算法對三色通道使用密文T(δ,σ)與相位秘鑰PC(u,v)進行解密的結果；圖8(e)為文獻[10]算法對紅色通道使用相位秘鑰PC(u,v)與PT(δ,σ)，但不使用任何密文進行解密的結果；圖8(f)為文獻[10]算法對紅綠藍三色通道使用相位秘鑰PC(u,v)與PT(δ,σ)，但不使用任何密文進行解密的結果。從圖8(a)～(f)可看出，文獻[10]算法即便使用不完整密文或相位掩膜秘鑰也能獲得原圖像的部分信息，有信息泄露的風險，對信息泄露抵御性和有效性較低。而本算法紅、綠、藍三色通道的相位秘鑰隱藏于級聯系統之中，僅將K1(δ,σ)和K2(u,v)作為解密秘鑰。圖8(g)為本算法使用K2(u,v)進行解密的結果；圖8(h)為本算法使用密文CRAM(δ,σ)與相位秘鑰K2(u,v)進行解密的結果;圖8(i)為本算法使用使用相位秘鑰K1(δ,σ)與K2(u,v)進行解密的結果。由實驗結果可知本算法在僅獲悉部分秘鑰與密文的情況下，無法獲得原圖像的任何信息。說明了本算法對信息泄露有很強的抵御性。

圖8 兩算法對對信息泄露的魯棒性試驗結果

3.4 本文算法對不同攻擊的魯棒性

仿真實驗測試了本文算法在波長與自由空間傳播距離不同錯誤參數、密文噪聲和遮擋污染以及密文泄露不同情況下的魯棒性。為了更充分的證明本文算法的健壯性，實驗測試本算法對不同攻擊的魯棒性。

本文算法采用相位截斷操作，使得輸出與輸入并無線性關系,因此本算法可抵御選擇密文攻擊、已知明文攻擊、選擇明文攻擊等此類攻擊。試驗采用已知明文攻擊與選擇明文攻擊對本算法進行測試，結果如圖9所示。

圖9 本文算法對不同攻擊的魯棒性結果

圖9(a)為本算法對已知明文攻擊的實驗結果，圖9(b)為本算法對選擇明文攻擊的實驗結果，兩種攻擊的結果并沒有獲取到原圖像的任何信息，算法抵御攻擊的能力較強，說明本算法對部分常見攻擊的魯棒性較好。

4 總結

本文基于相位截斷菲涅耳變換與隨機振幅掩模，提出了一種新的非對稱加解密算法，算法將原彩色圖像分為三個獨立的顏色通道，在對其進行菲涅耳變換后加入隨機振幅掩模通道，將四個通道分別進行菲涅耳衍射截斷處理，通過級聯處理不僅提高了秘鑰與密文間的關聯性還消除了信息泄露的風險。用不完整解密秘鑰無法獲得原圖像的任何信息，經過仿真驗證本算法對波長與自由空間傳播錯誤距離參數、密文噪聲、遮擋污染、密文泄露以及不同攻擊等情況下有較好的魯棒性。

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Image Encryption Algorithm Based on Fresnel Transform

Guo Xukun1, Kang Xiangui2

(1.Guang Zhou Sport University, Guangzhou 510500,China; 2.School of Date and Computer Science Sun Yan-Sen University, Guangzhou 510006,China)

As the phase truncation encryption algorithm can not resist the problem of information leakage, this paper proposes an encryption algorithm of phase truncation Fresnel transform and random amplitude mask in order to resist information disclosure. Firstly, the original image is divided into three separate color channels in the Fresnel transform after adding random amplitude mask channel, and then the four channels were Fresnel diffraction truncation. The algorithm not only improves the relevance between the secret key and the ciphertext also eliminates the risk of information leakage through the cascade process. Through simulation experiment and result analysis, this algorithm not only has good robustness against the error distance parameter, the noise of the cipher, the pollution of the block, the leakage of the cipher and the different attack,but also solves the problem of information leakage.

phase truncate; Fresnel transform; Image encryption and decryption; color image

2016-10-12；

2017-01-05。

國家自然科學基金(61379155)；廣東省教育廳2015重大科研立項青年項目(2015KQNCX078)。

郭緒坤(1981-)，男，碩士，講師，主要從事多媒體信號處理、信息安全與圖像加密方向的研究。

康顯桂(1969-)，男，博士，教授，主要從事多媒體信息處理與圖像處理方向的研究。

1671-4598(2017)05-0150-05DOI：10.16526/j.cnki.11-4762/tp

TP309.7;TN

A