帶漂移布朗運動的一個局部時的Laplace變換

吳嬋,陳曄

(1.長沙理工大學 數學與統計學院,湖南 長沙,410114;2.湖南文理學院 數學與計算科學學院,湖南 常德,415000)

帶漂移布朗運動的一個局部時的Laplace變換

吳嬋1,陳曄2

(1.長沙理工大學 數學與統計學院,湖南 長沙,410114;2.湖南文理學院 數學與計算科學學院,湖南 常德,415000)

在Borodin和Salminen(2002)文獻中有關帶漂移布朗運動占位時的Laplace變換結果的基礎上,運用Li等(2014)計算局部時的方法,推出了帶漂移布朗運動在獨立指數時間eq前,及停留在0處的局部時的Laplace變換表達式。當μ=0時,本文結果與標準布朗運動的結果吻合。

局部時;Laplace變換;帶漂移的布朗運動

局部時和占位時是隨機過程理論研究的2個熱點問題,它們在風險理論和金融模型中有廣泛應用。占位時是隨機過程在一個特定區間內逗留的時間總和,而局部時是其相關的占位密度。計算占位時的Laplace變換的表達式主要有3種方法,經典的方法是通過Feynman-Kac公式[1-2]得到過程對應的隨機微分方程,從而得到相應的占位時的Laplace變換的表達式[3]。Landriault等[4-5]采用了逼近占位時的方法并結合游弋理論,得到了譜負Lévy過程的占位時Laplace變換[6]。為了克服隨機過程路徑的無變差性,Li和Zhou[7]首次運用泊松過程的性質,將計算譜負Lévy過程的聯合占位時的Laplace變換問題轉化為求某個隨機事件的概率問題[8]。目前,對隨機過程的局部時的Laplace變換的研究還比較少。

本文在文獻[9]的有關帶漂移布朗運動在隨機指數時間eq之前,停留在區間(0,a)上的占位時表達式的基礎上,運用文獻[10]中求局部時的方法,通過對過程占位時的 Laplace變換求極限,得到過程停留在0處的局部時的Laplace變換表達式。本文得到了局部時的Laplace變換表達式。

1 預備知識

設Xt=μt+Wt是帶漂移布朗運動[9],其中漂移系數μ∈ R,Wt是一維標準布朗運動。帶漂移布朗運動在獨立指數時間eq之前,停留在區間(0,a)上占位時的Laplace變換表達式[9]為

其中,eq是強度為q的指數隨機變量,與過程X獨立,且

2 主要結果

運用文獻[10]中求局部時的方法,通過對帶漂移布朗運動占位時的 Laplace變換表達式取極限,得到局部時的Laplace變換表達式。

[1]Pitman J,Yor M.Laplace transforms related to excursions of a one-dimensional diffusion [J].Bernoulli,1999:249-255.

[2]Pitman J,Yor M.Hitting,occupation and inverse local times of one-dimensional diffusions:martingale and excursion approaches [J].Bernoulli,2003,9:1-24.

[3]Cai N,Chen N,Wan X.Occupation times of jump-diffusion processes with double exponential jumps and the pricing of options [J].Math Oper Res,2010,35:412-437.

[4]Asmussen S,Taksar M.Controlled diffusion models for optimal dividend payout [J].Insur Math Econ,1997,20:1-15.

[5]Landriault D,Renaud J F,Zhou X.Occupation times of spectrally negative Lévy processes with applications [J].Stochastic Process Appl,2011,121:2 629-2 641.

[6]Li Y,Wang S,Zhou X,et al.Diffusion occupation time before exiting [J].Front Math China,2014,9:843-861.

[7]Li Y,Zhou X.On pre-exit joint occupation times for spectrally negative Lévy processes [J].Stat Probab Lett,2014,94:48-55.

[8]Chen Y,Yang X,Li Y,et al.A joint Laplace transforms for diffusion for pre-exit diffusion of occupation times [J].Acta Math,2016:1-17.

[9]Borodin,A N,Salminen P.Handbook of Brownian Motion-Facts and Formulae [M].2nd edition.Basel:Birkh?user Verlag,2002:261-262.

[10]Li Y,Zhou X,Zhu N.Two-sided discounted potential measures for spectrally negative Lévy processes [J].Stat Probab Lett,2015,100:67-76.

(責任編校:劉剛毅)

Laplace transform of one local time on brownian motion with drift

Wu Chan1,Chen Ye2
(1.College of Mathematics and Statistics,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410114,China;2.College of Mathematics and Computational Science,Hunan University of Arts and Science,Changde 415000,China)

On the basis of the results in Borodin and Salminen(2002),the approach in Li et al.(2014)is adopted to consider the local time at 0 before independent exponential timeeq,and the Laplace transform of local time on Brownian motion with drift is obtained.The result is.Whenμ=0,the result consists with classical result of Brownian motion.

local time;Laplace transform;brownian motion with drift

O 211.6

A

1672-6146(2017)02-0009-03

吳嬋,1003011369@qq.com。

2017-01-20

國家自然科學基金(11571052,11171044);湖南省自然科學基金(2016JJ4061);湖南省研究生科研創新項目(CX2016B417);湖南文理學院科學研究項目(15ZD05)。

10.3969/j.issn.1672-6146.2017.02.003