在深度教學中培養學生的數學核心素養

◇夏海蓮 吳登文

在深度教學中培養學生的數學核心素養

◇夏海蓮 吳登文

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養?！蓖瑫r明確提出了十個關鍵詞（馬云鵬教授認為就是數學學科的核心素養），即數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識。數學核心素養是在學習數學知識過程中形成的數學的思想與方法，具有重要的現實意義。培養學生的數學核心素養，顯然靠淺層次的課堂教學是無法順利完成的，只有教師深度地教，學生深度地學，不斷提升課堂教學的品質，豐富課堂教學的思想內涵，真正形成有效的數學活動，才有可能在提升學生的數學核心素養方面逐步獲得進展。

如何在深度教學中培養學生的數學核心素養呢？我們認為需要聚焦以下幾方面。

一 關注學生的認知起點，為理解而教

“人類被看作由目標指引、積極搜尋信息的行動者，他們帶著豐富的先前知識、技能、信仰和概念進入正規教育，而這些已有知識極大地影響著人們對周圍環境的關注，以及組織環境和解釋環境的方式。反過來，這也影響著他們記憶、推理、解決問題、獲取新知識的能力?！盵1]這清楚地表明，如果忽視了學生的初始觀念，一味地按照教師的想法教學，那么學生的理解可能就會和教師的預期大相徑庭。

比如，我們經常會看到學生學習了“面積”這一概念后，與之前所學的“周長”這一概念混淆。這時，教師不能簡單地認為學生沒有理解相關概念，換句話說，簡單的概念對比并不能促進學生的深度理解?！爸荛L”這個概念深深地影響著學生對“面積”概念的認識，我們認為的“面積”往往并不是學生認為的“面積”。教師需要仔細分析“周長”這個概念對學生“面積”認知的影響因素，理解兩者的區別和關系等。在學生的認知中,“面積”概念往往還帶著“周長”概念的影子。反過來，學習了“面積”的概念以后，也會對學生理解“周長”造成負面影響，學生在某些時候會錯誤地認為 “面積越大，周長越長”。在互為背景的這對概念中，教師是否善于尋找它們的聯系、區別，善于設計促進學生進一步理解的教學序列，為學生的深度理解搭建腳手架，并通過設置問題序列，在概念辨析和實踐應用的雙重背景中發展學生的空間觀念，尤為重要。我們嘗試采用下面幾個步驟揭示概念的本質。

1.學生在“印章”游戲（將不同立體圖形的底面拓印在紙上）中初步感知面積這一概念。

2.在“撕紙”游戲（將一張長方形紙撕成規則或不規則的形狀）中，用不同的手勢（對于周長，用手指畫一圈；對于面積，用手掌摸一摸）區分周長和面積概念，指出周長是封閉圖形一周的長短，面積是一個面的大小。

3.讓學生選擇合適的方法比較平面圖形或物體表面積的大小，并指出正方形作為統一的面積單位的優勢。

4.區分周長單位和面積單位，并給出兩個“凹凸”形狀的平面圖形，讓學生測量周長和面積，并說說發現了什么。

5.小組玩“俄羅斯方塊”游戲：說說周長和面積各是多少。

又如，在教學三年級下冊“簡單的小數加減法”時，教師提出一個用加法解決的問題：“買一塊橡皮（0.6元）和一支鉛筆（0.8元）一共多少錢？”學生給出了三種不同的解決方法。

第一種方法 ：0.6+0.8= 1.4（元）。

第二種方法：6角+8角= 1元4角=1.4元。

第三種方法：因為6+8=14，所以0.6+0.8=1.4（元）。

接下來的教學中，教師緊緊抓住第一種解決方法，一直強調“小數點為什么對齊”，而完全忽略了其他兩種方法所蘊含的學生對知識理解的價值。到了學習小數減法的時候，又按照教學小數加法的方式教學，不斷強調“小數點要對齊，數位要對齊”。教師對知識理解的窄化，可見一斑。這些不需要教就能學會的知識并不能引起學生的興趣。本節課是在學生初步認識小數之后，讓學生學習簡單的一位小數加減一位小數。在沒有學習小數數位及順序的情況下，如何揭示小數加減法的算理呢？從學生給出的三種不同解法不難看出，學生對小數加法是有“感覺”的，學生對小數加法和減法的豎式計算也并不陌生，教師需要做的不僅是教學生如何計算，更重要的是利用學生頭腦中的“前概念”，通過對三種解法的對比來溝通聯系，促進學生理解算理，發展學生的數學觀念。顯然，教師沒有引領和提升學生對計算方式的這些新的“感覺”，錯過了通過多種算法深化學生對新算法闡釋、理解、運用的一個好機會，沒有達到最基本的知識教學要求，也就不能說是內涵比較飽滿的深度教學了。

深度教學提倡用各種方式了解學生已有的知識經驗，再根據這些“前概念”對所學知識進行整理和加工，尋找學生學會、會學、易學的學習路徑，提高學生的應用意識。只有知道學生是怎么想的，才會知道教什么、怎么教。

二 深度加工所學知識，為思維發展而教

學生在學習中，既是問題的解決者，又是問題的生成者，他們不僅希望解決別人的問題，還想尋求和創造新的挑戰。教師要為學生提供探索、理解的機會和利用挑戰獲得成功的機會，這是促進學習動機發展的重要支點。因此，在教學中，我們要善于橫向拓展知識間的聯系，縱向延伸知識的生長，構建網絡，對所教的知識進行深度加工。

比如，在一年級教學“關于0的加減法”時，教師提供“蘋果圖”讓學生提數學問題，學生說：“第一個盤子里有2個蘋果，第二個盤子里沒有蘋果，合起來一共有幾個蘋果？”教師隨后讓學生列算式，并板書在黑板上。教師又出示 3＋0、4＋0、5＋0等算式，至此學生已經初步感知了一個數加0的計算方法。這時教師并不急著總結，而是讓學生舉出類似的數學算式。有的學生嘗試說6＋0=6，膽大的孩子說100＋0=100，更有學生說 1000+0= 1000……讓學生通過大量的例子進一步感受加數是0的算式的計算方法。接著教師讓學生觀察這些算式，并讓他們說說發現了什么。有的說 “算式里都有0”，這是從加數的特征去看的；有的說“都是加法”，這是從運算的特征去看的；一個學生說“因為加了0，就相當于沒有加，所以第一個加數加0，得數和第一個加數一樣”，這是從結果的角度去看的，有相當高的概括水平，不錯！隨后教師神秘地說：“老師再寫一個特別難的題，看看誰能想出來?！贝藭r班里鴉雀無聲，教師把“Δ+0”寫下來，許多學生回答是“Δ”，教師繼續板書 “a+0”（教師指出a是數學中常用的字母），學生興奮地搶答。教師適時總結：“0加任何數都得這個數?！睆拇鷶邓季S發展的角度看，學生在一年級就可以思考代數問題，這就是早期代數思維滲透的一種重要形態。通過課堂交流，學生從2+0=2、3+0=3、5+0=5、100+0=100等算式中可以概括出“得數和第一個加數一樣”，這相當于學生已經從中發現了a+0=a這個重要的計算模型，學生的數學思維并不是簡單的從算術思維直接到達代數思維，而是早期代數思維在他們的認知過程中發揮著重要的理解作用。等到教師最后概括得出比較抽象的一般性結論“0加任何數都得這個數”時，學生已經經歷了一個完整的算術思維、早期代數思維和規范的代數思維的小循環過程。這個例子，對我們認識通過早期代數思維觀念的培養可以促進學生的深度學習，具有一定的啟示。深度教學并不是額外增加課程的難度或者問題的深度，而是要善于巧妙地引導學生理解知識的本質，使學生從繁雜的現象中尋找規律，探索本質屬性，提高學生在知識學習過程中的思維含量。學生后來學習 “兩個相同的數相減”時，有了更加精彩的表現，這說明我們的認識有一定的道理。

又如，現行小學教材對“面積”是這樣定義的：“物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫作它們的面積?！睂W生比較熟悉“地球儀模型”，他們看到一個國家的面積是用邊界線在地球這一球形“物體的表面”“圍成”的具有一定大小的一個圖形的大小，但它不是“平面”的；學生發現一個圓柱體的側面只有當展開時才是“平面”，其自身狀態則是曲面。由此可見，面積是“用以度量平面或曲面上一塊區域大小”的量，它并不僅僅局限于“平面圖形”。在學生開始接觸小學課本中比較規范的 “平面圖形的面積”之前，他們的經驗世界中就有這樣的“曲面面積圖式”。如何處理好這兩種不同圖形的 “面積”？如何不提高知識的難度又恰到好處地基于學生的經驗展開教學？這需要教師認真思考。教師的深度思考，正是為了深度教學的有效展開?；凇皟煞N圖形面積”的分析，在教學時教師拿出一個橘子，問學生：“橘子的表面有面積嗎？”一個學生認為切開之后就有面積，很顯然，學生認為物體的面是平的才有面積。教師追問：“切開以后的面并不是一個橘子的表面的面積，橘子的表面的面積到底是什么？”學生的認識漸漸清晰起來。教師伺機將橘子剝開，用橘子皮近似展示了一個不規則的平面圖形，學生模糊地認識到一個完整的橘子皮的大小就是整個橘子表面的面積。這里的重點并不是計算的方法問題，而是學生對面積概念逐步深入理解的過程。當然，為了計算這種復雜圖形的面積，我們需要從簡單的平面圖形開始。這樣的教學，為學生留下了具有數學味兒的“大問題”。眾所周知，曲面圖形“球”的表面積問題，只有到了高中才能解決。但對這個“大問題”持續思考的意識，有可能引導學生深入思考幾何圖形的一些基本問題。這從另一個角度說明，深度教學要盡可能為學生提供大量豐富的素材，激發學生的數學思考，培養他們的問題意識和思考習慣，為他們的數學思維發展提出恰當的本源性的問題。

三 力求讓知識結構化，為學得簡單且系統而教

過度的情境化設計，并不利于知識的學習和遷移，而知識的抽象表征卻能夠促進知識的遷移。深度學習要力求讓知識的學習和能力的培養達到結構化，讓學生學得簡單、學得比較系統。

如何讓知識的學習結構化？我們需要設計一些數學活動，使學生對學習任務感興趣；我們需要盡可能減少教學流程的繁雜，圍繞核心概念和概念的核心展開教學，讓教學結構變得簡單而清晰，并給予學生加工、處理問題的時間。

比如，在“認識乘法”的教學中，教師緊緊抓住概念的核心，讓學生根據一幅座位圖進行課前研究，課堂對話如下：

生：我用數一數的辦法知道了圖中一共有 15個座位。

生：3+3+3+3+3=15（個）。

生：5+5+5=15（個）。

生：3×5=15（個）。

隨后教師組織學生各自發表見解。

生：每一排都有5個座位，有3排，就是5+5+5,是3個5相加，得15。

生：每一列有3個座位，有5列，就是5個3相加，得15。

師：橫著看是3個5相加，豎著看是5個3相加，都可以。

生：還可以用乘法，3個5相加就可以用3乘5，就是15。

師：3個5相加能不能用 5乘3計算呢？

生：也可以，因為得數都是15。

師：看來，像這樣求幾個相同加數的和，不僅可以用加法計算，還可以用乘法計算。

生：我發現每個乘法算式里都有 3和 5，只不過交換了位置，得數還是15。

生：無論是3個5相加還是5個3相加，都可以用3×5或者5×3這樣的乘法來計算。

生：我發現乘法算式和這里的3和5有關系，有幾個幾，就用幾乘幾。

師：如果是3個6相加怎么算？10個100相加呢？a個b相加呢？

學生回答出這些問題后，顯得異常興奮，思維越來越活躍。

生：我知道用加法算式可以算出乘法算式的得數，因為5+ 5+5=15,所以3乘5就等于15。

生：靠數數數出來有點兒麻煩了，如果座位特別多，難道還要數嗎？

生：我發現如果加數都相同，用乘法計算比較簡便。

師：如果加數不相同呢？

生：只能用加法。

師：大家覺得呢？

生：我反對，比如2+3+5，也可以用5乘2計算呀。

師：當我們用2乘5計算的時候，就相當于把2和3的和看作一個加數了。也就是說當加數不相同的時候一般用加法，但如果我們有辦法將它們改寫為加數相同的形式，也可以用乘法進行簡便計算，可見加法和乘法具有緊密的聯系。

用深度教學的行動去實現小學數學核心素養的培養，需要教師對兒童學習方式的進一步理解、對知識結構化的深度思考、對學習過程合乎邏輯的設計，還需要教師從兒童的認知規律出發，構建有數學味兒和兒童味兒的數學課堂和教學體系。

[1]約翰·D·布蘭思福特，等.人是如何學習的——大腦、心理、經驗及學校）[M].程可拉，等，譯.上海：華東師范大學出版社，2012：8~11。

【本文系人民教育出版社“十三五”規劃課題“小學數學深度學習策略開發及實踐探索性研究”的研究成果之一?！?/p>

（作者單位：青海西寧市城中區南川東路第二小學，青海省中小學教學研究室）