高等數學在中學數學教學的一些應用

金春

[摘 要]近年來“高觀點”下進行的中學數學教學研究層出不窮，在高等數學的指導下，可以進行一系列的命題研究、教學研究以及解題研究。本文從具體實例出發，首先給出了目前“高觀中數”的形勢，然后指出了在“高觀點”下進行教學實踐存在的困難，并提出了自己對“高觀中數”的理解，最后給出了高等數學在中學數學教學的一些具體應用。

[關鍵詞]高等數學；中學數學

高等數學與中學數學在知識的連續性以及思想方法的一貫性上十分顯著.新一輪的課程改革越來越注重中學數學與高等數學內容的銜接，在中學數學中逐漸滲透了高等數學的元素、思想.例如更加注重數學符號的應用，在習題中融入了任意小量 ，在立體幾何中利用集合與元素的符號表示空間中點、線、面的關系等等.此外，增加了高等數學中一些較初步的內容，如算法初步、微積分基礎等.為形成學生完整的知識體系提供了基礎.

盡管如此，中學數學與高等數學畢竟在知識結構和思維水平上處于不同層面，中學數學常直接給出簡潔的定理、法則等作為已知條件進行技巧性的解題訓練，而高等數學常研究脫離具體實例的抽象問題，借助數學符號進行邏輯證明.在這樣的斷層下，高等數學對中學數學指導的實踐難以實現.

在筆者看來，“高觀中數”可以解決學生在學而未滿的情況下對某一知識點提出的疑慮，激發學生探索問題的興趣；或是在解題中提供多種思路提高學生解題水平，甚至借以開拓學生視野培養審美情操.任勇在他的著作《任勇的中學數學主張》中提到：“我在中學數學中，根據學生的特點，注意加強高等數學的內容、思想、觀點、方法和中學數學的聯系，使教學活動生動活潑，取得了較好效果.”基于任勇的中學教學主張，筆者將從具體實例出發，論述在教學實踐中如何實現高等數學對中學數學的指導.

一、培養問題意識，引導教學

高等數學可以解決中學數學不易解決的問題.例如，特殊角的三角函數值是中學數學的重要內容.對于一般角的三角函數而言，只能通過查表或借助計算工具加以計算.在學習導函數后，可以介紹泰勒展式，方便學生計算一般的三角函數值.再如，在學習了保守力做功問題之后，學生自然會提出變力做功問題，可拓展講解第二型曲線積分在求變力做功以及求磁通量、流量方面的應用，解決學生的疑慮，作為學生可以理解但不要求掌握的內容，拓展學生視野.

高等數學可以幫助學生打破思維定勢，跳出中學知識框架.在數系從有理數擴充到實數后，學生會提出有理數多還是無理數多的問題，無限集元素多少的問題等等，盡管學生可能無法理解這部分內容，但高等數學對學生的疑慮給予了解答.

二、滲透思想，深化教學內容

高等數學可以幫助學生掌握教材內容.人教版必修一《函數的基本性質》一節給出了函數最值的定義.以最大值為例：設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足

定義中蘊含兩層內容：體現最大、最小以及最值能夠取到.此處可擴展講解有界性定理與最大最小值定理，幫助學生掌握這部分內容；再如函數的零點教學可結合高等數學的介值性定理和根的存在性定理深刻說明.

高等數學可以幫助學生了解知識點的地位和作用.例如笛卡爾引進坐標系建立了代數與幾何的內在聯系，變量的概念就此進入了數學，引進了動點的軌跡這一數學概念，建立起了方程與曲線之間的聯系，由此，才有了直線、圓、雙曲線的方程，刻畫了變量間相互依賴的函數概念.這是中學大量使用“數形結合”思想的基礎.

三、運用高等數學觀點，幫助理解教材

解：觀察方程組易得滿足，該方程同解于，即上述方程的根為.根據三次多項式的韋達定理，易得系數分別為.

五、貫穿思想方法，挖掘本質

窮竭法是中學數學的常用方法，起源于幾何學中的“化圓為方”問題，它提出了尋求曲邊形面積的一般方法，即先合理地將未知的曲邊形的面積問題轉化為已知的正多邊形求解問題，再用一系列內接多邊形的面積近似所求的曲邊形面積.例如，定積分的教學是從一個具體問題——曲邊梯形的面積提出的，在分割、近似求和、取極限的求解過程當中，滲透了化曲為直，以直代曲、化歸、歸納、代換、窮竭法等眾多思想方法，為將來學習不定積分、反常積分等奠定了基礎.

在高等數學視角下進行中學數學教學研究是必然的教育形態，以上從五個方面淺述了在教學實踐中如何實現“高觀中數”.在教學過程中，教師當不斷反思如何實踐的問題，補充中學數學存在的空白，解決教學中存在的問題，更好的實現學科知識整合.

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