試論小學數學的必備品格

【摘要】數學自有其必備品格，但就“小學數學”而言，其必備品格必須既具有數學的特性，又必須擁有教育的品格。也就是說，她應該能夠培養學生“關聯地想象”，以促進其學習；引導學生“數學地思維”，以發展其思維；幫助教師開展“基于三重聯系”的教學，以改善其教學。

【關鍵詞】小學數學；必備品格；關聯地想象；數學地思維；基于三重聯系

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）33-0016-03

【作者簡介】徐文彬，南京師范大學課程與教學研究所（南京，210097）常務副所長，教授，博士生導師。

數學自有其必備品格，譬如，數學的高度抽象、數學的邏輯嚴謹和數學的廣泛應用，抑或數學的理想化、形式化與符號化等。但是，就“小學數學”而言，由于它是一個教育范疇，因此，其必備品格必須既具有數學的必備品格，又必須擁有教育的必備品格。具體而言，我們認為小學數學的必備品格應該能夠：培養學生“關聯地想象”，以促進其學習；引導學生“數學地思維”，以發展其思維；幫助教師開展“基于三重聯系”的教學，以改善其教學。

一、促進學生學習：關聯地想象

我們所生活的世界，不論是自然、社會、歷史、文化、政治、經濟、軍事、娛樂等，還是我們的生理、心理、精神等，都是普遍聯系與永恒發展的。而人類所發現與揭示的一切“客觀規律”都是其基于這個世界普遍聯系與永恒發展的想象，而其所發明與創造的一切“主觀事實”則都是基于這一想象的創造。因此，學習就是學會“關聯地想象”、甚至基于這一想象的創造。小學生的數學學習或小學數學的學習概莫能外。

數學哪怕就是小學數學，它也是我們人類的想象之產物，即人類大腦的思想產物。因此，小學數學就不僅應該告之小學生數與代數、圖形與幾何、概率與統計等其中的基本的數學事實，而且更應該通過這些基本的數學事實來幫助小學生“重溫”其背后的想象過程及其基于何種關聯。唯有如此，才能夠真正發展小學生“關聯地想象”，并促進其學習。

譬如，僅就小學數學中的加、減、乘、除四則運算的學習而言，我們教師通常都會在實際情境中或在學生已有數學知識基礎上導入“運算的必要性”，展開教學，并引導學生自主編制有實際意義或數學意義的問題情景：這里存在著無限的可能，但實際教學的結果卻是有限的選擇。但是，如果我們還能夠在此基礎上更進一步，即引導學生就某個或某些具體的算式，來設想其盡可能多的實際背景或數學意義，也許更能有效地發展學生“關聯地想象”，因為這里還存在著另一種無限的可能：一對多或者有限對無限。

再譬如，僅就小學數學中的“可能性及其大小”的學習而言，我們教師通常都會以“摸球試驗”來展開教學活動，并從大量的實驗結果來推測：球袋中各種球的顏色、各種顏色球的多寡等。但是，當球袋打開時，其中各種顏色的球及其多寡并不一定與我們的推測一致！這其實正是我們概率推理之實質：我們只能根據我們的觀察或試驗結果來推測（其實就是“關聯地想象”）事物發展的真實情況。因為，很多情況下“球袋”我們是根本打不開的或者不能打開的（譬如，微觀世界、宏觀世界，社會現象、經濟現象、政治現象，個性、個人心理、人類大腦等）。問題是，我們的實際教學果真如此嗎？還只是作者個人的設想？

又譬如，僅就“特殊四邊形的關系”的學習而言，為什么我們只能規定“只有一組對邊平行的四邊形是梯形”，而不能想象“有一組對邊平行的四邊形是梯形”？其實，前者可能是基于現實的抽象（當然也是想象）（譬如，水渠的橫截面、堤壩的橫截面等），而后者則是基于邏輯的想象（譬如，與其他特殊四邊形內在屬性的一致性，如面積公式的統一性）。前者可謂常規的學習與教學，而后者則是數學探究學習的上佳案例。

二、發展學生思維：數學地思維

“數學地思維”不僅包括從各種“客觀現實”中抽象出數學概念、原理、法則等，以及把這些數學概念、原理、法則等運用于各種“客觀實際”以解決問題，而且還包括其中的“數學概念、原理、法則等之間的純粹邏輯演繹關系”。就其實質而言，“數學地思維”就是“首先要在大腦中解決問題”。

僅就小學數學的學習而言，我們教師也應該促使小學生逐步明了數學對象的人類大腦建構之特點（而非現實世界的模仿），漸漸感悟數學特征的邏輯演繹之特性（而非實際的經驗事實之概括），初步把握數學思想方法的建模之屬性（而非現實模型的實際建構），點滴體悟數學追求的邏輯一致性之目標（而非客觀的現實矛盾之解決）。

譬如，僅就小學生所學習的各類數學對象：數字或數（如自然數、整數，分數、小數等）、四則運算（加、減、乘、除）、幾何對象（如點、線、面，三角形、四邊形、圓形，平移、旋轉、對稱等）、概率（人類經驗中只有頻率而無概率，概率只是人類大腦對頻率“背后依據”的推測或預設，所以，這里存在著主觀概率與客觀概率之爭）等，都不是我們對現實世界的模仿，它們都是我們人類大腦的主觀建構。

再譬如，僅就小學一年級數學中的“十加幾等于十幾”的學習而言，教師們通常都會“聯系實際”，以強化其記憶或運用：一位老師帶領十位同學去公園游玩，請問要買幾張門票？參考答案是11張（10+1=11）。如果小學生有其他回答，我們教師一般都會判錯，甚至認為該學生可能缺乏“數學地思維”。其實，真實的情況可能要復雜得多，而該學生就極有可能擁有這些復雜的經驗事實之一二：教師無須買票、全票與半票問題、公園免費問題、不知公園為何物等。由此亦可見，數學確實不是客觀的現實矛盾的解決之道，它極有可能僅僅只是其實際解決之前在大腦中的一種可能的解決。

又譬如，僅就小學數學中的運算律的學習而言，我們教師通常都會在“加法交換律與結合律”的學習基礎上，引導小學生去猜想其他運算可能存在的運算律：這里存在“乘法交換律”和“乘法結合律”的可能，但幾乎不存在減法交換律或減法結合律的可能。因為除了“a=b時，a-b=b-a”之外，沒有其他可能，而且除了“c=0時，（a-b）-c=a-（b-c）”之外，也沒有其他可能。但是，教學中就有不少學生也有不少教師就給出了“減法交換律”或“減法結合律”的數學猜想。殊不知，盡管數學猜想需要正面的實例，但已知的大量數學事實中卻不能有反例（譬如，不夠減、兩步加法運算、兩步減法運算等）。更為重要的是，學習中的學生與教學中的教師均在沒有給出“正面的實例”情況就給出了上述關于減法的運算律之數學猜想。由此我們可以推測：師生此時缺乏必要的數學猜想之思維——大量數學事實，且目前沒有反例之基礎上的數學想象。

如果在學生“機械模仿”時，我們教師能夠適時引導學生思考諸如：“有實例嗎？具體說說、寫寫好嗎？”“存在反例嗎？具體說說、寫寫好嗎？”“我們提出數學猜想時，應該考慮哪兩點？”“再想一想：我們是如何提出‘加法交換律和‘加法結合律這兩個猜想的？我們又是如何進一步確信這兩個猜想的？”這些問題，那么，學生“數學地思維”就會得到逐步改善與不斷提升。

三、改善教師教學：基于三重聯系

“基于三重聯系”就是我國“義務教育數學課程標準”所強調的，數學教育教學應該注重數學知識之間的聯系、數學與其他學科之間的聯系、數學與兒童生活和社會經驗之間的聯系，以幫助學生獲取“數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，并引導學生“運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。唯有如此，我們教師才有可能真正不斷地改進甚至改善自己的數學教學。

就小學數學知識之間的聯系而言，不僅存在著數與代數、圖形與幾何、統計與概率等各領域知識內容間的聯系，而且還存在著其中任何兩者以及三者之間的聯系。譬如，僅就“數與代數”中的算術與代數之間的聯系而言，我們教師不僅應該明了“算術只是數字的代數即特殊的代數，而代數則是字母的算術即一般的算術”，而且還應該在算術的教學中滲透代數之變換思維，以培養學生靈活運用算術之程序思維。而準變量及其表達式可能就是一個很好的教學設想：在算術運算教學中引入“準變量”和“準變量表達式”這兩個概念，并加以有效運用。如“37-29=（37-30）+1”中的“37”和“29”就是準變量，而它本身就是一個準變量表達式，因為它蘊含著這樣一個代數式：a-b=a-（b+1）+1（涵蓋了我們通常所說的“湊整十數”）。

就小學數學與其他學科之間的聯系而言，數學與科學的聯系最為緊密，尤其是在“數與量的關系”當中，這種聯系則顯得更為明顯。譬如，在“分數的初步認識”當中就蘊含著“數與量的關系”，因而也就隱含了“數學與科學的聯系”。不僅如此，這里其實還存在著更多的數學與科學的聯系與區別：“科學中的平均分”似乎都是會有誤差的，而“數學中的平均分”是絕對不容許有任何誤差的。那么，如何進行“數學中的平均分”呢？其實，沒有任何具體現實的辦法——這是科學的問題；只有在大腦中理想化、抽象化、形式化地平均分——這是數學思考的方式方法。

就小學數學與兒童生活和社會經驗之間的聯系而言，盡管近現代數學的發展給人以“越來越遠離我們的生活”之印象，但是，數學的起源與發展無時無刻不與我們的生活緊密相連。小學數學基本上都屬于“初等數學”的范疇，幾乎毫無例外地都與兒童生活和社會經驗聯系緊密。因此，在小學數學教學中聯系兒童生活和社會經驗來展開學習活動是極其自然的事情。但是，實際教學中卻時常會出現“把成人過時的經驗當成當下兒童的經驗”等問題。譬如，上述“十加幾等于十幾”的案例便是。由此可見，“體會數學與生活的聯系”這句話雖然簡單，但是要把它運用得恰到好處往往卻并不是一件很容易的事情，它需要我們真心地對待兒童、數學與我們自己。

如果小學數學能夠做到上述三點，我們就認為她具備了其應具備的必備品格。但這僅是作者個人關于“小學數學的必備品格”所做出的初步思考，僅供參考與批判。

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