簡諧激勵作用下強非線性吸振器的能量轉移效能

陳建恩，劉 軍，葛為民，孫 敏

（1.天津理工大學 天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，天津 300384；2.天津城建大學 理學院，天津 300384）

簡諧激勵作用下強非線性吸振器的能量轉移效能

陳建恩1，劉 軍1，葛為民1，孫 敏2

（1.天津理工大學 天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，天津 300384；2.天津城建大學 理學院，天津 300384）

以單自由度主結構承受簡諧激勵作用時強非線性吸振器的減振能力作為研究對象，運用復變量平均法獲得系統的慢變方程，并進一步得到描述穩態響應的非線性方程組。通過對比復變量平均法和龍格庫塔獲得的解，驗證推導過程的正確性。利用復變量平均法分析吸振器的能量轉移效能及其恒定性。研究結果顯示，不同激勵幅值下系統的頻率響應存在較大差異。當激勵幅值相對較小時，吸振器的減振效果明顯。隨著簡諧激勵幅值的增加，吸振器的能量轉移效能無法保持恒定，系統在一定頻帶內出現高低兩個穩定響應分支，并且兩個響應分支會隨著激勵幅值的進一步增加而合并。

振動與波；強非線性吸振器；復變量平均法；能量轉移；恒定性

靶向能量轉移，或稱為定向能量傳遞，是一種從主結構將能量單向不可逆地傳遞至非線性振子的能量轉移方式，由此而衍生出的強非線性吸振器具有純非線性剛度(彈簧回復力不具有線性部分)以保證能量傳遞的實現[1–2]。傳統的調諧質量阻尼器除利用阻尼耗散振動能量外，還需依靠自身慣性力抵消主結構的振動，因此需要具有較大的質量。另外，調諧質量阻尼器需要與主結構的某一階模態發生共振以對該模態實現減振，因此，其減振頻帶較窄。強非線性吸振器是通過非線性彈簧完成能量轉移并利用阻尼對能量加以消耗，它具有兩大顯著優點，一是其質量可以遠小于主結構，二是可以在寬頻帶內實現減振。一些學者對調諧質量阻尼器和強非線性吸振器的性能進行了對比[3–4]，研究表明，除上述兩個優點之外，在合理優化吸振器參數的前提下，強非線性吸振器具有較強的減振能力。

過去十余年時間內，對于強非線性吸振器的研究主要集中在兩個方面，一方面是將吸振器應用于承受不同形式激勵的各種結構或裝置，另一方面是優化強非線性吸振器的結構以提高其能量轉移效能(吸能百分比)。Kerschen等研究了強非線性吸振器對兩自由度主結構的減振能力，研究表明吸振器可同時從主結構的兩個自由度吸收能量[5]。Georgiades和Vakais將強非線性吸振器應用于簡支梁和懸臂板并對吸振器參數進行了優化[6–7]。Ahmadabadi和Khadem研究了接地與不接地強非線性吸振器對于沖擊載荷作用下的懸臂梁的減振效能[8]。Tumkur等利用強非線性吸振器抑制圓柱體的渦激振動[9]。Luo等研究了強非線性吸振器對六層建筑模型的減振效能[10]。Guo等將強非線性吸振器用于抑制轉子在臨界速度時的回轉振動[11]。Izzi等利用強非線性吸振器抑制斜拉索的振動[12]。Lee等利用強非線性吸振器抑制兩自由度機翼模型的氣動失穩[13]。陳勇利用強非線性吸振器對高聳結構進行了振動抑制[14]。Zhang等研究了風載作用下軸向運動弦線在強非線性吸振器作用下的動態特性[15]。

Zhang等利用具有并聯雙振子的強非線性吸振器對軸向運動梁進行了振動抑制[16]。Tsakirtzis等研究了具有多自由度振子的強非線性吸振器的能量轉移效能[17]。Lamarque等研究了具有非光滑部件的強非線性吸振器在沖擊載荷和簡諧載荷下的減振能力[18]。Gendelman和Starosvetsk等研究了簡諧激勵作用下含強非線性吸振器的系統的響應，并利用分段二次阻尼消除特定情況下的高響應分支[19–20]。Manevitch等研究了具有雙穩態部件的強非線性吸振器的能量轉移[21]。Shudeifat等研究了具有負剛度線性彈簧和非線性彈簧的吸振器的性能[22]。Benarous等分析了具有內嵌轉子的強非線性吸振器的性能[23]。張也弛等分別研究了單、雙自由度強非線性吸振器的減振性能[24–25]。Mattei等利用雙穩態強非線性吸振器抑制雙梁系統的振動[26]。熊懷等通過研究非保守系統和對應保守系統的能量耗散關系，提出了一種剛度設計方法[27]。

目前，對于沖擊載荷作用下強非線性吸振器效能的研究較多，而對于其他形式激勵作用下吸振器性能的研究偏少，并且，對于較大載荷作用下吸振器性能的研究更加缺乏。本文主要研究單自由度主結構承受簡諧激勵作用時強非線性吸振器的能量轉移效能以及較大簡諧載荷作用下能量轉移效能的恒定性，總結了系統響應隨著激勵幅值增加而呈現出的演化規律。

1 動力學系統

單自由度主結構和單自由度強非線性吸振器所構成的系統如圖1所示，其動力學方程可表述如下

其中w和v分別表示主結構和非線性振子的位移，ω為主結構固有頻率，ε為吸振器與主結構質量比，并滿足0＜ε＜＜1，A表示激勵幅值，Ω表示激勵頻率，強非線性吸振器具有立方非線性剛度。方便起見，令Μ=1。

圖1 連接強非線性吸振器的單自由度線性主結構

運用復變量平均法獲得系統的慢變方程，首先引入如下變換

將式(3)代入方程(1)，并保留慢變部分，可得

其中a1、b1、a2、b2均為t的函數。將上式代入方程(4)，分離實部和虛部，可得

求解非線性代數方程組式(6)，可以獲得主結構的振幅以及主結構與非線性振子之間的相對運動幅值，其表達式分別為

為了判斷系統穩態響應的穩定性，令

其中a10、b10、a20、b20是方程(5)的穩態解，δn(n=1、2、3、4)表示穩態解的小擾動，將式(8)代入方程組(5)并且僅保留關于擾動的線性部分，可得

方程(9)的系數矩陣如下，可運用其特征根判斷穩態解的穩定性，當穩態解的所有特征根均具有負實部時，該解為穩定解。

2 數值驗證

為了驗證推導過程的正確性，將復變量平均法和龍格庫塔獲得的結果進行對比，如圖2、圖3所示。為了獲得具有普適性的結果，仿真中的所有參數均采用無量綱量。通過調節主結構系數，可使ω=15。圖2為激勵幅值A=1時主結構與非線性振子間的相對運動，通常用該相對運動描述兩振子間的能量轉移效能[1]，其中，圖2(a)為相對運動的頻率響應。通過系數矩陣(10)的特征值可以判斷，Ω=15時系統運動是穩定的，而Ω=15.3時系統運動是不穩定的。圖2(b)和圖2(c)分別為Ω=15和Ω=15.3時的波形圖，兩圖由龍格庫塔法獲得，波形圖顯示的結果與復變量平均法判斷的結果相符，Ω=15.3時的波形圖呈現出強調制響應。仿真過程中，系統的參數選取如下：γ1=0.1、ε=0.1、γ2=0.2、k=500。

圖3給出了主結構的頻率響應以及在兩個不同激勵頻率下的波形圖，同樣，復變量平均法和龍格庫塔獲得的結果吻合較好。

圖4為未連接和已連接強非線性吸振器的主結構的振動情況對比，結果顯示，強非線性吸振器在該激勵幅值下可以大量耗散主結構的振動能量，取得良好的減振效果。

3 能量轉移效能及其恒定性

本節主要分析不同激勵幅值下主結構與非線性振子間的能量轉移效能以及轉移效能的恒定性。圖5為A=0.5時的系統響應，在整個響應頻帶內，穩態解都是穩定的，從圖5(b)可以看出，強非線性吸振器對主結構產生良好的減振效果。

圖2 A=1時主結構與非線性振子間的相對運動

圖3 A=1時主結構的振動

圖4 A=1時連接與不連接強非線性吸振器的主結構振動

圖5 A=0.5時系統的響應

圖6為A=2時的系統響應，當激勵頻帶處于12.6～14范圍內時，系統在每個激勵頻率下均存在三個解，其中包括兩個穩定解，即系統存在高、低兩個響應分支。當激勵頻帶處于14.6～15.8范圍內時，系統僅存在一個不穩定解，系統呈現出強調制響應。當激勵頻帶處于15.9～16.4范圍內時，系統存在三個解，其中僅有一個穩定解，主結構將始終處于較低的幅值。

圖7為A=5時的系統響應，當激勵頻帶處于8.3～12.9范圍內時，系統存在兩個穩定解，兩個解對應的兩個振子間相對運動相差較大，而對應的主結構的兩個不同振動幅值在這一頻帶內相差較小。當激勵頻帶處于15.2～16.7范圍內時，系統僅存在一個不穩定解。在圖中的其余頻帶內，系統僅存在一個穩定解，部分頻帶內有兩個不穩定解與穩定解共存。

如圖7(a)所示，高低兩個響應分支發生了合并，可參照圖6(a)觀察，然而這種合并并未使減振效果有所改善。當激勵頻帶處于12.9～14.2范圍內時，主結構的振幅較大，強非線性吸振器的減振效果并不明顯，吸振器主要使主結構的共振頻率發生了變化，如圖7(b)所示。

圖8為A=8時的系統響應，當激勵頻帶處于5.9～10.8范圍內時，系統存在兩個穩定解，然而這一頻帶并不在共振頻帶內，主結構的振幅一直較低。在圖中的其余頻帶內，系統僅存在一個穩定解。在該激勵幅值下，主結構的共振幅值較大，強非線性吸振器基本未顯示減振效果。

通過上述分析可知，強非線性吸振器與主結構間的能量轉移隨著激勵幅值的增加發生較大變化。激勵幅值相對較小時，吸振器減振效果明顯，隨著激勵的增大，在共振帶內出現不穩定的強調制響應，強調制響應有利于能量的轉移[1,2]，即有利于減振，但是該響應的發生也標志著主結構的高響應分支即將出現。繼續加大激勵，高響應分支出現，其對應的頻帶內，強非線性吸振器減振效果明顯降低。進一步加大激勵，高響應分支將會與低響應分支在局部合并，高響應分支對應的頻帶變寬。繼續增加激勵幅值，高低兩個響應分支幾乎完全合并。

圖6 A=2時系統的響應

圖7 A=5時系統的響應

圖8 A=8時系統的響應

通常以線性與非線性振子之間的相對運動衡量穩態能量轉移效能[1]，本文以整個頻帶內兩振子之間的最大相對運動衡量強非線性吸振器的最大吸能能力。當激勵幅值增大到一定值后，強非線性吸振器對主結構的減振效果明顯降低乃至于失效。圖9 (a)為最大相對運動隨激勵幅值的變化情況。當激勵幅值從0.1增加至0.7的過程中，系統在整個激勵頻帶內均僅存在一個穩定解，其頻率響應與圖5相似。兩個振子的相對運動隨激勵幅值的增加而增加，然而，相對運動的增幅逐漸減小。激勵幅值從0.8增加至1.2的過程中，系統出現不穩定解，其頻率響應與圖2相似。并且，隨著激勵幅值的增加，不穩定解所對應的頻帶逐漸變寬。激勵幅值從1.3增加至4的過程中，系統在一定頻帶內存在兩個穩定解，其頻率響應與圖6相似，在圖9中，由高響應分支的最大相對運動反映吸振器的最大吸能能力，低響應分支的信息未在圖中給出。隨著激勵幅值的繼續增加，系統的頻率響應分別與圖7和圖8類似。

圖9 能量轉移效能隨激勵幅值的變化情況

在激勵幅值由1.3增加至8過程中，線性和非線性振子間的相對運動逐漸增加，然而，相對運動的增幅明顯減小。結合圖7(b)與圖8(b)可知，隨著輸入能量的增加，吸振器無法始終以相同比例消耗能量，導致減振能力逐漸減弱。圖9(b)為圖9(a)的局部放大圖。

本文僅給出了強非線性吸振器在一組參數下的仿真數據，任意改變吸振器參數，利用方程(6)和矩陣(10)即可獲得相應結果，結果均與本文結果在定性上保持一致，鑒于篇幅限制，在此不再一一給出。

4 結語

利用復變量平均法研究了單自由度主結構承受不同幅值簡諧激勵作用時強非線性吸振器的能量轉移效能。給出了能量轉移方式和主結構響應隨著激勵幅值的增加而呈現出的演化規律。當激勵幅值較小時，吸振器的吸振效果明顯。然而，隨著輸入能量的增加，吸振器無法始終以相同比例消耗能量，導致減振能力逐漸減弱。其中，系統高響應分支的出現及其與低響應分支的合并是強非線性吸振器失效的主要原因。

本文研究了結構最為簡單的強非線性吸振器，其缺點在大幅激勵作用下較為明顯，已有文獻中未見有關于這一方面的系統性研究?？梢詮膬蓚€方面對這一缺點進行彌補，一是使用多個吸振器對主結構進行減振，在吸振器安裝位置合理的前提下，這一方法可以成倍增強對主結構的吸振能力，然而在實際工程中，這種設置需要更多的安裝空間并在一定程度上增加額外質量。二是改進強非線性吸振器結構，如引言所述，一些學者對強非線性吸振器結構進行了改進，然而，目前的改進主要關注吸振器在特定激勵下的能量轉移效能，關于消除高響應分支的方法非常缺乏。當主結構處于大幅不確定載荷作用下時，提高能量轉移效能固然重要，加強能量轉移效能的恒定性亦不可忽視。利用非線性控制理論探索消除高響應分支的方法，尤其是探索響應分支發生合并后，提高強非線性吸振器效能的方法，是應當進一步研究的重點。

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Energy Transfer Efficiency of Nonlinear VibrationAbsorbers under Harmonic Excitations

CHEN Jian-en1,LIU Jun1,GE Wei-min1,SUN Min2
(1.Tianjin Key Laboratory of the Design and Intelligent Control of theAdvanced Mechatronical System, Tianjin University of Technology,Tianjin 300384,China; 2.School of Science,Tianjin Chengjian University,Tianjin 300384,China)

The efficiency of energy transfer from a single DOF primary structure subjected to harmonic excitation to a nonlinear vibration absorber is investigated.The slow flow equations of the system are derived by using complexificationaveraging method,and the nonlinear equations which describe the steady-state response are obtained.The resulting equations are verified by comparing the results which respectively obatined from complexification-averaging method and Runge-Kutta method.The energy transfer efficiency and constancy of the absorber are analyzed by using complexificationaveraging method.The results indicate that the frequency responses of the system are quite different under the excitation with different amplitudes.The vibration suppression effect of the absorber is excellent when the excitation amplitude is relatively small.With the increasing of the excitation amplitude,the energy transfer efficiency of the absorber cannot remain constant.The system will yield a lower stable branch and a higher stable branch,and the two branches will get closer and finally merge with the further increase of the excitation amplitude.

vibration and wave;strongly nonlinear vibration absorber;complexification-averaging method;energy transfer;constancy

O322；O328

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.005

1006-1355(2017)03-0024-07

2016-12-19

國家自然科學基金資助項目(11402170，11402165)

陳建恩（1984－），男，山東省菏澤市人，講師，主要研究方向為非線性動力學。Email:vchenje@163.com