云南省大理市大理大學 (郵編:671003)
撲克牌為背景的條件概率
云南省大理市大理大學王雨佳王彭德(郵編:671003)
條件概率是高中人教新課標 A 版選修2-3 上的知識點,內容簡單,但學生理解困難.縱觀全國和各省份的近幾年高考數學試卷,條件概率越來越受到命題者的青睞.諸如2012年安徽數學(理)17題,2015年北京數學(文)17題都直接或間接考查條件概率,所以條件概率在平時的教學中是一個值得研究的課題.統計與概率是一門源于生活,又用于生活的應用學科,生活中諸如拋硬幣、擲骰子、抽取撲克牌的游戲,其中蘊含著豐富的概率問題,以撲克牌為背景來研究條件概率,有助于學生進一步了解條件概率.下面以撲克牌中的問題來說明條件概率的計算.
問題1從一副撲克牌中(52張,去掉大小王),每次從中抽取一張,作不放回抽取,求第一次取到紅桃的條件下,第二次取到非紅桃的概率.解設Ai={第i次抽到紅桃},i=1,2.
公式法,樣本空間Ω中共有52個樣本點,其中39張非紅桃,13張紅桃,
由條件概率公式得
在求條件概率時,通過條件縮減樣本空間,利用定義求解,可比公式法更為簡捷.
通過條件概率的計算公式,我們可得到積事件概率的公式,即乘法公式,
問題2從一副撲克牌中(52張,去掉大小王),每次抽取一張進行不放回抽取,
(1)接連取兩次,求第一次取到紅桃,第二次取到非紅桃的概率;
(2)接連取3次,求第三次才取到非紅桃的概率.
解記Ai={第i次抽到的是紅桃},i=1,2,3
(1)事實上這是一個積事件的概率,而不是條件概率.
而
由乘法公式得,
(2)“第三次才取到非紅桃”可表示為“第1、2次取到紅桃,第3次取到非紅桃”.
在實際中有時計算一個事件的概率較為復雜,我們可將一個復雜事件的概率計算問題轉化為在不同情況、不同原因或不同途徑下發生的簡單事件概率求和問題.
問題3從一副撲克牌(52張)中,每次取一張撲克牌,接連取兩次,作不放回抽取.
(1)求第2次取到紅桃的概率.
(2)已知第二次取到的是紅桃,求第一次取到非紅桃的概率.
解設Ai={第i次抽到紅桃},i=1,2,
(1)事實上,第2次取到紅桃的可能性受到第1次取牌結果的影響,第1次可能取到紅桃,也可能取到非紅桃,因此第2次取到紅桃可表示為兩個互斥的積事件的和,則
以上計算方法是大學概率論與數理統計中全概率公式的體現,它提供了計算復雜事件概率的一種有效途徑,使一個復雜事件的概率計算問題化繁為簡.
離散型隨機變量的概率分布列、數學期望、方差是高考數學命題的熱點和重點,其中有的題型(2012年安徽數學(理)17題)也涉及到條件概率和乘法公式的應用.
問題4一副撲克牌共有13張紅桃,其中3張有人頭像,10張有數字,假定3張有人頭像的牌是相同的,10張有數字的牌也是相同的,每次從紅桃中一張一張地取牌,X表示直到取得數字牌為止所需的取牌次數,
(1)作不放回抽取,求隨機變量X的分布律.
(2)每次取出一張牌后,總以一張有數字的撲克牌放回,求隨機變量X的分布律.
解設Ai={第i次抽到的是有人頭像的牌},i=1,2,3,4.
(1)顯然隨機變量X的可能取值是1、2、3、4.
因此隨機變量X的分布律為
X1234P101352651431286
(2) 隨機變量X的可能取值是1、2、3、4,
因此隨機變量X的分布律為
X1234P10133316972219762197
1 王彭德.撲克牌中的概率[J].中學生數學,2003(11)
2 陳玄令.談條件概率與積事件概率的區別[J].渤海大學學報,2004(1)
3 楊明正.對一道高考概率題的解析[J].中學數學教學,2013(1)
2017-04-12)