用統一的代換證明兩個著名的幾何不等式

浙江省開化縣第二中學 (郵編：324300)

初數研究

用統一的代換證明兩個著名的幾何不等式

浙江省開化縣第二中學曹嘉興(郵編：324300)

a2-(b-c)2=(a+b-c)(a-b+c)=(2p-2c)(2p-2b)=4(p-b)(p-c)=4y，

同理可得

b2-(c-a)2=4(p-c)(p-a)=4z，

c2-(a-b)2=4(p-a)(p-b)=4x.

由海倫公式可得

下面就用統一的代換(p-a)(p-b)=x，(p-b)(p-c)=y，(p-c)(p-a)=z，給出兩個著名的幾何不等式的新證法.

?(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx)

?x2+y2+z2≥xy+yz+zx

故原不等式成立.

由最后的不等式不難看出當且僅當x=y=z，也就是p-a=p-b=p-c,即a=b=c時，等號成立，故當且僅當△ABC為正三角形時等號成立.

?(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx)

?x2+y2+z2≥xy+yz+zx

故原不等式成立.

由最后的不等式不難看出當且僅當x=y=z，也就是p-a=p-b=p-c,即a=b=c時，等號成立，故當且僅當△ABC為正三角形時等號成立.

2017-03-19)