《6.3余角、補角》教學實錄與評析

彭艷++卜以樓

【教材的地位與作用】

余角與補角是在學習了角的度量與角的比較與運算的基礎上，對角的數量關系做進一步的探究，而余角與補角的性質也是后面學習對頂角相等和平行線的判斷和性質的重要依據，另外教材已開始對學生提出“說點理”，為以后推理證明題做準備，也為培養和發展學生的邏輯思維能力和觀察?分析?歸納能力打下了良好的基礎。

余角與補角這節課的內容知識點少，內容簡單，往往被老師視為沒有什么可講的，枯燥的章節，所以在處理上大多是交代完教材，反復練習便達到了教學目的，但如果我們細心觀察注意練習總結會發現，互補和互余在生活中并不少見，而且這部分知識在今后解決綜合性問題時也常常充當紐帶和橋梁，所以在設計時充分考慮實踐性和操作性。

【學生分析】學生智力水平參差不齊，基礎和發展均不平衡。因此比較適合用小組參與探究活動的學習方法在教師的指導下主動探索，分組討論發現歸納數學知識。

【設計理念】針對教材的內容和學生實際，組織學生實踐感悟出互余互補的概念，引導學生分析解決問題，使學生在自己動手的基礎上，發現互余互補的性質，使學生成為探求知識的主體。同時利用問題探究式的方法及競賽法對新課加以鞏固理解。在生生、師生交流的過程中，體現對弱勢學生更多的關心。

【學習目標】

（1）理解余角、補角的概念。理解掌握余角和補角的性質。

（2）求某角的度數，使學生初步會用簡單的代數思想一方程來處理。了解角在解決實際簡單問題中的一些簡單應用。

（3）學生初步接觸和體會歸納演繹推理的方法和表述，經歷觀察、推理、交流等活動，發展學生的空間觀念培養學生的推理能力和有條理的表達能力。

【學習重、難 點】

重點：余角和補角的概念及其性質

難點：余角和補角的性質應用，培養學生的推理能力和有條理的表達能力。

【教學過程】

（一）余角的概念教學

1.自學課本

2. 實驗操作

拿出一張用硬紙板做的直角，然后將其任意剪成兩個角，分別標上∠1，∠2，問這兩個角的和為多少度。

（∠1+∠2=90°，我們把具有這種關系的∠1、∠2稱為互余）

這一環節的目的是初步感知余角的定義以及余角與角的位置無關

3.互余的概念：（首先讓學生用自己的語言表達然后老師在強調說明）

如果兩個銳角的和是一個直角，我們就說這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個角是另一個角的余角。

∠ 1與 ∠ 2互為余角，

∠ 1是 ∠ 2的余角， ∠ 2也是∠ 1的余角。

互余的數量關系：∠1+∠2=90 °

思考：如果∠1+∠2+∠3=90 °那么∠1，∠2，∠3是互為余角嗎？

強調說明：余角是兩個角之間的關系，不能擴大到三個角，余角與角的位置無關。

∠1的余角 =90 °—∠1

（二）補角概念教學

1.自學課本

設計的目的是讓學生初步感知補角的定義。

2.實驗探究：拿出一張用硬紙板做的平角，然后將其任意剪成兩個角，分別標上∠1，∠2，問這兩個角的和為多少度。

（∠1+∠2=180°，我們把具有這種關系的∠1、∠2稱為互補）

3.自主探究：以同桌為一個小組，類比兩角互余的概念，一起探討兩角互補的概念及特點。

互補的概念：如果兩個角的和是一個平角，我們就說這兩個角互為補角，簡稱互補，也可以說其中一個角是另一個角的補角。

如果， ∠1與∠2互為補角，∠1是∠2的補角，∠2也是∠1的補角。

互補的數量關系：∠1+∠2=180°，∠1的補角 =180°—∠1

4.注意要點：（1）互補是兩個角之間的關系。

（2）與角的位置無關。

5.設計游戲，并提出問題（幻燈片展示）。

游戲規則如下： （1）其中一個同學任意說出一個0°— 180°之間的角，并說明你想知道的是它的余角或補角，其他同學搶答。

提出問題：（1）你能變換提問的方式嗎？

（2）觀察一個角的余角和補角之間的關系？

（設計意圖：通過輕松愉快的游戲過程拉近師生之間的距離，并讓學生學會熟練地求解一個角的余角和補角?；A練習見課件）

（3）例1講解：例1：∠α與∠β互為補角，且∠β比∠α大30 °， 求∠α、∠β的度數。

分析：提示學生利用一元一次方程的方法，用代數式的方法來表示余角和補角

練習：一個角比它的余角小20°，它的補角是多少度？（學生獨立完成）

6. 結合今天所學的知識，提一個與余角、補角有關的問題。

（三）余角補角的性質

1.同角的余角相等

如果∠1是∠3的余角，∠2也是∠3的余角，那么∠1與∠2有什么關系呢？

（同角的余角相等）

變式：如果∠1是∠3的余角，∠2也是∠4的余角，∠3=∠4，那么∠1與∠2有什么關系呢？

（等角的余角相等）

2. 同角或等角的補角相等

（四）拓展慧悟

1. 認真觀察下面的圖形，回答下列問題：

（1）圖中有哪幾對互余的角？

（2）∠1、∠A相等嗎？請說明理由。

（3）圖中哪幾對角是相等的角（直角除外）？

2. 如圖，O是直線AB上的一點，OC是∠AOB的角平分線?？磮D回答：

（1）圖中互余的角是______________________

（2）圖中互補的角是______________________

（3）圖中相等的角是______________________

3. 變式：如右上圖，在上題的基礎上添加一條射線OE，使得∠DOE是一個直角，回答下列問題：

（1）圖中∠DOC的余角有______________________

（2）圖中∠ AOD的余角有______________________

（3）∠AOD和∠COE的補角分別是__________________

（4）請選擇一對相等角，并證明。

（設計意圖：本探究及其配套練習題主要目的是拓展學生思維，讓學生在合作交流中完成由特殊到一般的探究和演繹推理）

【課堂小結】

請你選擇下面一個或幾個關鍵詞談談本節課的體會：知識、方法、思想、收獲、喜悅、困惑、成功……

【學習反饋】

1. 47°的余角是 ，補角是 。

2. ∠α（0<∠α<90°）的余角是 ，∠β（0<∠β< 180°）的補角是 。

3. 已知一個角的余角比這個角的補角的還小12°，求這個角余角和補角的度數。

（設計意圖：本節課的學習反饋為復習鞏固、綜合運用和拓廣探索三組分層練習，目的在于使每個學生都得到最佳鞏固發展。）

【總評】

讓“悟學”在課堂教學中流淌

學之道在于悟。

彭老師這節課的教學設計及教學活動，堅持以“悟學”理念為指導，堅持“教以生為本，學以悟為根”為出發點，堅持“教是為了不教，學是為了活學 ”為落腳點，在課堂活動中，讓學生感悟“互余、互補”的概念，領悟“互余、互補”的性質、慧悟“互余、互補”的價值，并通過探究活動讓學生進一步掌握學習方法、認清學習的本質，形成良好的學習習慣，積累數學核心素養。

從整體上說，本節課從以下三個方面來實現“悟學”價值。

1. 通過自學活動，感悟數學概念

彭老師通過設計自學與實驗這一活動，讓學生初步感知余角、補角的概念，并在實驗操作中，讓學生感悟余角與補角它們只與角的數量有關，與角的位置無關這一數學本質。這個過程是讓學生“做數學”的過程，是學生通過自我獲取知識的過程。自學是一個人終生需求的能力之一，也是學習的核心素養之一。如何踐行？我們可以從彭老師的教學設計中得到啟發。

2. 通過探究活動，領悟數學性質

學習活動的價值往往體現在探究活動的質量。在研究互余、互補性質時，彭老師通過設計問題情境，讓學生在情境中發現問題、提出問題、分析問題和解決問題。這樣的教學不是直接告訴學生性質的結果，而是通過探究過程，讓學生錘煉思維，領悟探究的真諦，提升學生的學力。這樣就抓住了數學活動的牛鼻子，也只有讓學生在這樣的數學活動中，才能念領悟到學習的力量。

3. 通過拓展活動，慧悟數學價值

一切教學活動必須回歸到教學的價值，為此，教學活動必須指向數學教學價值。彭老師通過學生運用互余、互補的相關知識解決數學內部和數學外部的問題，就是讓學生在這樣的活動中慧悟數學的價值。在課堂小結過程中，通過“請你選擇下面一個或幾個關鍵詞談談本節課的學習體會：知識、方法、思想、收獲、喜悅、困惑、成功……”這一活動，將人本思想推向了高潮，有力地實現了通過數學助力學生生命成長的教育終極價值。

作者簡介：

彭艷，江蘇省揚州美琪學校教師，獲江蘇省第十二屆“藍天杯”初中數學教師課堂大賽一等獎。本節是她在江蘇省“藍天杯”優課送培——走進鎮江京口中學的展示課。

卜以樓，江蘇省數學特級教師，正高級教師。江蘇省優秀教育工作者，全國青少年科技教育先進個人。國家、省教師培訓專家庫成員。南京師范大學碩士研究生實踐指導導師。江蘇省特級教師后備指導導師。南京市首批名師工作站主持人，鼓樓區初中數學名師工作室主持人?！吨袑W數學教學參考》（中旬）、《中學數學》（初中）、《數學教學研究》等雜志特約編輯、編委。是“生長數學”的倡導者、探索者、實踐者。主張把學生生命成長的誘因、過程、規律作為數學教育的價值訴求、基本內容和主要方法。主張數學教育必須與學生生命成長相得益彰，讓數學教學適合學生的生長、助力學生生命成長。主張要在營造思維必然中訓練學生的數學思維品質，讓學生學到有生長力的數學。