具有密度制約的HIV動力系統最優控制

薛威娜

【摘要】針對具有密度制約的HIV動力系統，討論其最優控制問題.通過引入藥物的有效性，建立目標泛函且分析最優控制的存在性.結合龐大利亞金最大值原理和漢密爾頓函數，建立最優控制策略，從而，對具有年齡結構的HIV動力系統進行有效控制.

【關鍵詞】HIV；動力系統；最優控制；懲罰因子；最大值原理

針對HIV病毒，目前還沒有研發出根治藥物.結合動力學數學模型和性能指標，學者們提出了艾滋病毒感染的最優控制問題.針對HIV病毒感染問題，基于狀態依賴的Riccati方程，H.T.Banks等人考慮了最優反饋控制問題和狀態估計問題.

許多數學模型主要針對CD4+T細胞和HIV病毒交互作用進行闡述.在這些模型中，HIV感染模型可以采用最優控制原理分析這類系統.基于帶有密度制約的年齡結構HIV動力系統模型的最優控制理論還沒有被深入研究.

一、HIV動力系統模型

考慮如下具有密度制約的HIV動力系統數學模型

如果a≥d1，其中β代表到達飽和量的速率，否則，為概率密度函數.T（t）為在t時刻未感染CD4+T細胞數.T*（a，t）為在年齡為a時感染CD4+病毒數量.V（t）為在t時刻病毒數量.Tmax為人體內CD4+病毒的最大容納量.s為未感染CD4+病毒的細胞增長常數速率.d為未感染細胞的感染過程.KV（t）T（t）為未感染細胞的感染過程.δ（a）為感染CD4+病毒細胞的死亡速率.c為病毒數量是常數速率.

二、最優控制問題

目標泛函為J（ε）=∫t f0[RV（t）+Qε（t）2]dt，其中Q和R分別為病毒量和控制權重，ε（t）為藥物的有效性，滿足0≤εmin≤ε（t）≤εmax<1.ε（t）在[0，tf]上是可測函數.因此，（1）轉化為如下最優控制問題：

因此，

dT*dt（aj，t）=-T*（aj，t）-T*（aj-1，t）Δaj-δ（aJ）T*（aj，t），

dvdt=∑nj=1p（aj）T*（aj，t）·Δaj-cv（t）.（5）

令x=（T，T*1，T*2，…T*N，v）T，其中T*j=T*（aj，t），則（5）轉化為

x=TT*1T*2T*nv=s-dT+rT1-T+ITmax-（1-ε）kvT-T*1-k（1-ε）vTΔa1-δ（a1）T*1∑nj=1p（aj）T*jΔaj-cv .（6）

其中，初始條件為X（0）=[T（0），T*0（a1），T*0（a2），…，T*0（an），v（0）]T.

結合目標泛函和約束條件以及懲罰因子，構造如下形式的拉格朗日函數：

L=[Rv（t）+αε2（t）]

+ρs-dT+rT1-T+ITmax-（1-ε）kvT

+λ1-T*-k（1-ε）vTΔa1-δ（a1）T*1

+∑nj=Lλj·-T*j-T*j-1Δaj-δ（aj）·T*j

+η·∑nj=1P（aj）·T*jΔaj-cv-w1（ε-εmin）

-w2（εmax-ε）.

其中，wi（t）≥0，i=1，2是罰算子.在ε=ε*時，有w1（t）（ε-εmin）=w2（t）·（εmax-ε）=0.

定理2假設存在一個最優控制ε*和（6）式滿足目標泛函，則必存在向量[ρ…η]滿足

Y=ξλ1λ2λnη=

--dρ+kξ-rTTmax-（1-ε）kv+k（1-ε）vΔa1·λ1-λ1Δa1-δ（a1）·λ1+λ2Δa2+P（a1）·Δa1η-λnΔan-δ（an）·λn+P（an）·ΔanηR-ρ·（1-ε）kT-cη+λ1·k（1-ε）TΔa1 .

且終端條件Y（tf）=[0，0，…，0]T.最優控制函數ε*滿足

ε*=maxεmin，minεmax，12Q·kΔa1vTλ1-kTρ.

證明利用龐大利亞金最大值原理和拉格朗日函數得到如下等式：

Y=-LX

=-dρ+kξ-rTTmax-（1-ε）kv+k（1-ε）vΔa1·λ1-λ1Δa1-δ（a1）·λ1+λ2Δa2+P（a1）·Δa1η-λnΔan-δ（an）·λn+P（an）·Δan·ηR-ρ·（1-ε）kT-cη+λ1·k（1-ε）TΔa1 .

為了求解最優控制ε*，根據必要條件可以得到

Lε=2Qε（t）+kvTξ-λ1·kvTΔa1-w1+w2=0，

2Qε（t）=λkvTΔa1+w1-w2-kvTρ，

因此，ε*（t）=12QλkvTΔa1+w1-w2-kvTρ.