張曉燕
[摘 要]一元二次方程在初中教學內容中,站著舉足輕重的地位,學好一元二次方程,是學好二次函數不可或缺的捷徑,也是學好高中數學的奠基工程。因此,本文將從函數入手,著重探討一下一元二次方程的概念、形式、解法以及應用,以求對于一元二次方程有個深入的解析。
[關鍵詞]一元二次方程;應用
一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基礎之上學習的,它也是一種數學建模的方法。學好一元二次方程,是學好二次函數不可或缺的捷徑,也是學好高中數學的奠基工程。應該說,一元二次方程是初中教學的重點內容。
一、一元二次方程的概念
等號兩邊都是整式,只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的方程,叫做一元二次方程.
二、一元二次方程的一般式
(其中a, b, c為常數,且a≠0),則稱y為x的二次函數.頂點坐標為(,).
經過適當變形,繼而我們可以得到:
1.頂點式:().
2.交點式(x軸):.
3.兩根式:,其中x1, x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程的兩個根.
注意:
(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式,拋物線的頂點坐標是,h=0時,拋物線的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線的頂點在x軸上;當h,k=0時,拋物線的頂點在原點.
(2)當拋物線與x軸有交點時,即對應二次方程有實數根x1和x2存在時,根據二次三項式的分解公式, 二次函數可轉化為兩根式.
三、一元二次方程的解法
一元二次方程的求解和應用是初中數學的重點內容,方程思想也是學習數學的一種重要思想.一元二次方程的解法以一元一次方程為基礎,解一元二次方程的基本思想就是降次,把二次變為兩個一元一次方程再求解.一元二次方程的一般形式為,特點是只含有一個未知數,未知數的最高次數是2,且是整式方程.如果不是整式方程,需要先把它整理成整式方程再進行判斷.一元二次方程的基本解法有四種:1、直接開平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法.下面我們將舉例分析這四種方法的運用:
例1 用直接開方法解下面的一元二次方程.
直接兩邊開方,得:或.
由得x1=3,由得x2=,
∴原方程的解為:x1=3,x2=.
說明:用直接開方法解一元二次方程,一般不用把方程轉化為一般形式,再兩邊同時開方的時候應注意方程只需在一邊取正負號,還應注意不要丟解.
四、一元二次方程根的判別式的應用
一元二次方程根的判別式,是初中數學的一個重點,中考必考知識點,它是解答數學問題的重要工具和方法,應用十分廣泛,不僅用于方程的解和根的差別,而且作為一種解題方法,在代數、方程(組)、不等式、函數、幾何等都有非常廣泛的應用 .
1.判別拋物線與x軸的交點. 若Δ>0,則該拋物線與x軸有兩個交點;若Δ=0,則該拋物線與x有一個交點;若Δ<0,則該拋物線與x軸無交點.
2.判別拋物線與直線的位置. 將兩式組成方程組,消去y得關于x的一元二次方程. 當Δ>0時,拋物線與直線相交;當Δ=0時,拋物線與直線相切;當Δ<0時,拋物線與直線相離.
只要我們潛心研究,還可發現一元二次方程判別式在更多領域的應用. 在教學中,教師只要對學生認真引導,培養學生自主學習、合作學習、探究學習的學習精神,學生就會掌握更多解決數學問題的方法,感受學習成果的愉悅,提高數學興起,也為學生終身學習數學、研究數學打下良好基礎.
一元二次方程作為最基本的初等函數,它既簡單又具有豐富的內涵和外延??梢砸运鼮樗夭膩硌芯亢瘮档膯握{性、奇偶性、最值等性質,還可建立起函數、方程、不等式之間的有機聯系;作為拋物線,可以聯系其它平面曲線討論相互之間的關系。這些縱橫聯系,使得圍繞二次函數可以編制出層出不窮、靈活多變的數學問題。同時,有關二次函數的內容,與近現代數學發展緊密聯系,是學生進入高校繼續深造的重要知識基礎。