基于ARMA—GARCH模型的黃金現貨價格預測

徐慶娟+楊彬彬

【摘要】本文以2009年1月5日至2017年1月3日期間上海黃金交易所的Au99.95的黃金現貨收盤價為研究對象，對數據進行描述性統計分析、平穩性檢驗和相關性檢驗。建立ARMA（2，1）模型，對其殘差序列進行ARCH效應檢驗，并通過建立GARCH模型消除其條件異方差性，從而建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型。比較t分布下和GED分布下的擬合模型，發現t分布下的更優。最后，預測在95%置信區間內黃金現貨日收益率序列在未來100天內走勢區間與條件標準差變化趨勢，并對預測結果進行了驗證。

【關鍵詞】黃金現貨價格 日收益率 ARMA-GARCH模型

一、引言

黃金作為一種具有金融屬性的產品，其價格變化直接決定了黃金投資者和生產者的價值行為。而國際政治局勢、利率政策、美元走勢、原油價格、通貨膨脹等因素相互交錯作用對黃金價格產生影響。由于人們對黃金價格的關注度不斷提高，對黃金價格的預測也成為眾多學者的研究熱點。如潘貴豪等利用ARMA-GARCH模型對黃金價格進行預測；許立平等利用ARIMA模型對黃金價格進行短期預測；羅禎利用ARIMA-ARCH模型對黃金價格動態走勢進行預測；李瑩等基于相空間重構處理的數據集，利用支持向量回歸機對黃金價格走勢進行短期預測。本文以2009年1月5日至2017年1月3日期間上海黃金交易所的Au99.95的黃金現貨收盤價為研究對象，利用時間序列分析相關理論建立了學生t分布下的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，并進行實證分析。

二、ARMA—GARCH模型

ARMA-GARCH模型的結構如下：

其中，（2.1）式表示自回歸滑動平均（ARMA）模型，m是自回歸（AR）的階數，n是滑動平均（MA）模型的階數，εt是殘差項，符合異方差的特征；（2.2）-（2.3）是階數為p和q的廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型，et～N（0，1）。

三、實證分析

（一）描述性統計

本文選取的樣本數據為2009年1月5日至2017年1月3日期間上海黃金交易所的Au99.95的黃金現貨收盤價（用p表示，單位為美元/盎司），共計1946個樣本數據，數據來源于銳思金融數據庫。通過對數差分r=lnpt-lnpt-1，其中pt表示黃金現貨在t時刻的收盤價，得到黃金現貨的日收益率。收益率的時間序列走勢圖如下：

從圖1可以看出，黃金現貨收益率序列的走勢是平穩的，波動呈現明顯的集聚特征，即每一次大的波動后會緊跟著另一次大的波動，可能存在條件異方差。

由圖2可知，黃金現貨收益率序列的偏度（Skewness）小于0，呈左偏分布；峰度（Kutosis）大于3，具有尖峰的特征；Jarp-Bera統計量顯著大于11，且對應的P值趨于0，說明該序列顯著地不服從正態分布。

（二）平穩性檢驗與相關性檢驗

采用單位根ADF檢驗黃金現貨收益率序列的平穩性。調用MATLAB的adftest函數可得，ADF檢驗統計量為-46.64546，均明顯小于顯著性水平1%，5%和10%下的臨界值，且對應的P值為0，故拒絕存在單位根的假設，即該序列是平穩的。

調用MATLAB中autocorr和parcorr函數繪制黃金現貨收益率序列滯后20期的自相關和偏自相關圖，見圖3所示：

從圖3（上）可看出，該序列除了在滯后1、16階具有較小的相關性之外，沒有顯著的前后相關性。而由圖3（下）可看出該序列沒有顯著的偏相關性.而這些相關函數都證實了黃金現貨收益率序列是弱平穩的。同理，通過黃金現貨收益率的平方序列的樣本自相關和偏自相關圖可知，平方序列具有顯著的序列相關性，而收益率平方序列的相關性恰好反映的是序列波動的集聚特征，故可認為該序列存在ARCH效應。

此外，調用MATLAB中的lbqtest函數進行黃金現貨收益率序列的LBQ檢驗，結果見表1所示。

表1 黃金現貨收益率序列LBQ統計量

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由表1可知，收益率序列的Ljung-Box Q統計量延遲16、80期的P值都小于顯著性水平0.05，且h為1，則拒絕原假設，認為該序列具有序列相關性。因此，需要對該序列進行自回歸擬合以充分提取序列中的水平相關信息。另一方面，收益率序列平方的Ljung-Box Q統計量在延遲8、16、20期的P值均為0，且h為1，則拒絕原假設，認為該平方序列具有序列相關性。綜上，黃金現貨日收益率序列既具有水平相關信息又具有波動相關信息，該序列的時序圖具有顯著的趨勢。于是，本文可建立ARMA模型，且需對其殘差進行ARCH效應檢驗。

（三）ARMA-GARCH模型

1.ARMA模型定階與殘差分析。本文ARMA模型的定階從兩個方面考慮：一是模型的數據特征，即自相關函數和偏自相關函數；二是模型的定階準則AIC和SIC.本文通過結合這兩方面來確定ARMA模型的階數。比較發現ARMA（2，1）模型AIC值-9.0655較小，具有較優的擬合效果。

通過運用ARMA（2，1）模型擬合黃金現貨日收益率序列后進行殘差分析，繪制其殘差序列波動圖，發現該波動具有集群特征。再對收益率序列自相關和偏相關檢驗，發現在滯后6階以內，殘差項基本呈現白噪聲，即收益率差序列不存在自相關。

2.ARCH效應檢驗與ARMA-GARCH模型建立。利用Matlab的arc htest函數檢驗上述模型殘差序列的ARCH效應，得到的結果為h=1，因此該日收益率殘差序列具有很強的ARCH效應，可通過建立GARCH模型來消除該ARCH效應。

在上述ARMA（2，1）模型的基礎上構造GARCH模型?？紤]常見的GARCH（1，0），GARCH（0，1）和GARCH（1，1）等，經調試發現GARCH（1，1）較為合適，從而建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型。

3.ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型估計與檢驗。利用Eviews8.0軟件來估計該序列的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，結果見表2。

由輸出結果，可得ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型方程如下：

模型參數在95%置信水平下都是顯著的，系數ARCH（1）和GARCH（1）均為正值，相加小于1且接近于1，說明過去的波動對未來的波動有正向長期的影響。

圖4 ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的條件標準差與殘差圖

圖4中ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型條件標準差與標準化后的殘差時序圖，說明該序列的波動很小，趨勢平穩。通過ARMA（2，1）-GARCH（1，1）標準化殘差的ACF圖和標準化殘差平方的PACF圖，對模型的殘差模型平方相關性進行檢驗，發現標準化的殘差不具有序列相關性。

此外，根據標準化殘差序列和其殘差平方序列的LBQ統計量結果可知，表明標準化的殘差為純隨機白噪聲序列。通過ARCH-LM檢驗知p值為0.8417明顯大于0.05，則接受原假設，表示標準化的殘差序列不具有ARCH效應。由此可認為建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型可充分描述日收益率序列的水平相關信息與條件異方差性。

4.t分布與GED分布下的模型比較。更進一步，利用AIC和SC準則來比較t分布與GED分布下擬合的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，并作出選擇.由Eviews軟件分析結果可知，t分布擬合的模型的AIC與SC值分別為-6.446257和-6.420437；GED分布擬合的模型的AIC與SC值分別為-6.442684和-6.416863。相比之下，t分布對應的AIC和SC值都較小，因此可以說明t分布擬合的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）比GED分布擬合的模型更好一些。

5.ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的波動率預測與水平相關信息預測。最后，本文通過MATLAB中的GARCH工具箱中的garchset和garchfit函數，并用MMSE預測方法預測在95%置信區間內日收益率序列在未來100天內走勢區間與條件標準差變化趨勢如圖5，為黃金投資者或生產者做經濟決策提供依據。

圖5 ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的波動率信息與水平相關信息的預測

為驗證模型預測的有效性，本文選取2017年1月4日至2017年4月10日的數據進行測試。利用上述模型預測黃金現貨日收益率的95%的置信區間和實際日收益率如表5所示。

從表5可知，2017年1月4日至4月10日黃金現貨實際日收益率走勢平穩，本文預測的95%置信區間變動幅度較小，以及圖9中的條件標準差小幅度的遞增趨勢與實際均基本吻合。

參考文獻

[1]潘貴豪，胡乃聯，劉煥中，李國清.基于ARMA-GARCH模型的黃金價格實證分析[J].黃金，2010，31（1）：5-8.

[2]許立平，羅明志.基于ARIMA模型的黃金價格短期分析預測[J].財經科學，2011，2011（1）：26-34.

[3]羅禎.基于ARIMA-GARCH模型的黃金價格走勢研究[J].中國外資，2013（6）：31-32.

[4]李瑩，高巖，范麗亞，等.基于支持向量回歸機的黃金價格短期預測[J].數學的實踐與認識，2011.12，41（24）：1-6.

[5]高鐵梅.計量經濟分析方法與建模.北京：清華大學出版社，2006.

基金項目：混合與缺失數據統計分析廣西高校重點實驗室科學基金開放項目（GXMMSL201407）。

作者簡介：徐慶娟（1979-），女，山東成武人，廣西師范學院數學與統計科學學院副教授，博士，研究方向：最優化方法與統計計算；楊彬彬（1991-），女，廣西玉林人，廣西師范學院概率論與數理統計專業在讀研究生，研究方向：統計建模與優化。