靜磁場交界面條件應用教學研究

謝寶昌

(上海交通大學 電子信息與電氣工程學院， 上海 200240)

靜磁場交界面條件應用教學研究

謝寶昌

(上海交通大學 電子信息與電氣工程學院， 上海 200240)

交界面條件是“電磁場”教材的重要內容。本文針對靜磁場交界面條件應用教學過程中發現的具有非光滑邊界同軸問題，深入探討交界面上磁介質產生的磁化面電流分布，提出交界面條件只適用于交界面光滑的場合。非光滑交界面問題需要全面檢驗交界面條件，只有滿足麥克斯韋方程組和邊界條件時才能利用矢量場唯一性定理說明解是正確的。

靜磁場; 交界面條件; 磁化電流

0 引言

交界面條件是“電磁場”課程的重要內容之一，主要是應用場矢量的積分方程推導出交界面兩側場矢量應滿足的關系，即用場矢量閉合回路線積分方程確定其切向分量的連續性，用場矢量閉合曲面積分方程確定其法向分量的連續性。

本文針對靜磁場矢量交界面條件應用教學過程中出現的問題，深入探討磁介質中的磁化電流，提出交界面條件只適用于光滑邊界(單位法矢量函數連續)，對于非光滑邊界則需要仔細檢驗解的正確性。

1 靜磁場交界面條件應用一題[1-3]

設同軸電纜內導體半徑為a，外導體是內、外半徑分別為b和c的圓筒。內、外導體間填充磁導率分別為μ1和μ2的兩種不同磁介質，如圖1所示，計算同軸電纜電流為I時的磁場和單位長度電感。

2 典型解法[2,3]

典型解法假設磁感應線是同軸圓，兩種磁介質交界面上磁感應強度連續，根據安培環路定律同軸電纜外部磁場為零，內部各區域內同軸圓環上的磁感應強度連續。

圖1 同軸電纜

在圓柱坐標系中表示為

(1)

式中，B為磁感應強度矢量，μ0為真空磁導率，aφ為周向單位矢量。

利用能量法可以進一步計算單位長度的電感

(2)

3 典型解法存在的問題與原因分析

兩種介質交界面上傳導電流面密度Js由交界面兩側的磁場強度H1和H2的切向分量確定：

Js=an×(H1-H2)

(3)

其中，交界面單位法矢量an由介質2指向介質1。

在r=a的交界面上，由式(1)和式(3)得到傳導電流面密度Js1：

(4a)

類似地，在r=b的交界面上，傳導電流面密度Js2：

(4b)

其中，J01=I/2πa，J02=I/2πb，sgn(·)為符號函數。

在φ=0和φ=π的交界面上，因假設磁感應強度只有法向分量，既沒有傳導電流面密度也沒有磁化電流面密度。對于常規導體，恒定電流密度均勻分布，同軸電纜導體表面不可能存在傳導面電流。如果式(4a)和式(4b)成立，那么在φ=0和φ=π的交界面上將產生切向磁場。這與假設磁場只有法向分量是矛盾的。

盡管各交界面上磁感應強度的法向分量都連續，但典型解法存在的主要問題是在r=a和r=b的圓柱交界面上磁場強度切向分量不連續。

同軸電纜內、外導體電流密度均勻分布，具有軸對稱性，外導體電流在磁介質和內導體空間不產生磁場，因此使磁介質磁化的外部磁場由內導體電流產生。磁介質被磁化過程中，磁化電流在空間還會產生一個附加磁場，該附加磁場對磁介質進一步起磁化作用。內導體電流在磁介質中產生的磁場強度為

H=aφJ01a/r, a

(5)

圓柱交界面上磁介質不均勻，式(5)磁場引起的交界面r=a和r=b上磁化面電流密度Jms分別為

Jms11=az(μr1-1)J01，r=a，0<φ<π；

(6a)

Jms12=az(μr2-1)J01，r=a，0<φ<2π；

(6b)

Jms21=az(1-μr1)J02，r=b，0<φ<π；

(6c)

Jms22=az(1-μr2)J02，r=b，π<φ<2π；

(6d)

利用疊加原理可以計算磁化面電流引起的附加磁場，同一圓柱面上的磁化面電流因磁介質相對磁導率不同而不同，因此磁化電流不僅在磁介質中產生附加磁場，而且引起交界面φ=0和φ=π上產生切向磁場分量并形成磁化面電流，同時圓柱面上又附加新的磁化電流面密度的分布，這個耦合磁化過程很復雜。

4 磁介質中磁化電流分布

由于傳導電流位于非磁性材料區域，因此相對磁導率為常數的磁性材料中磁化電流體密度為零，只有各磁介質交界面上存在平行z軸方向的磁化電流面密度。設半徑為a的圓柱面上磁化電流面密度為Jms1(φ)，其中上、下半圓柱面分別為Jms11(φ)和Jms12(φ)；半徑為b的圓柱面上磁化電流面密度為Jms2(φ)，其中上、下半圓柱面分別為Jms21(φ)和Jms22(φ)；兩種磁介質的兩個交界面φ=0和φ=π上磁化面電流密度分別為Jms3(r)和Jms4(r)?？臻g矢量磁位以軸線r=0處為零，可以用垂直軸線平面內的傳導電流面積分和磁化電流線積分表示空間任意點的矢量磁位[4]：

(7)

其中，S為平面內傳導電流體密度J所在面域，l為平面內磁化電流面密度Jms所在線域，r和s分別為空間場點和源點矢量。

磁感應強度等于矢量磁位的旋度，而矢量磁位只有z軸分量且僅僅與圓柱坐標變量r和φ有關，于是：

(8)

將矢量磁位表達式(7)代入式(8)后得到

(9)

同軸電纜外導體電流在磁介質內部不產生磁場，磁化面電流與外導體電流密度無關，當a

(10)

由于任意兩種介質交界面上只有磁化電流面密度而沒有傳導電流面密度，因此交界面兩側的磁場強度切向分量和磁感應強度的法向分量連續，磁感應強度切向分量滿足

an×(B1-B2)=μ0Jms

(11)

另一方面，交界面上磁化電流面密度可由磁化強度矢量M計算，磁化強度與磁感應強度滿足

M=(μr-1)B/μ

(12)

磁性與非磁性介質交界面上的磁化電流面密度為

Jms=M×an

(13)

其中，交界面單位法矢量an由磁介質指向外部非磁性介質。

設圖1中相對磁導率為μr1和μr2磁介質中的磁感應強度分別為B1和B2，在r=a和r=b的交界面上由式(12)和式(13)分別得到

Jms11=ar×(μr1-1)(B1/μ1)|r=a，0<φ<π；

(14a)

Jms12=ar×(μr2-1)(B2/μ2)|r=a，π<φ<2π；

(14b)

Jms21=ar×(1-μr1)(B1/μ1)|r=b，0<φ<π；

(14c)

Jms22=ar×(1-μr2)(B2/μ2)|r=a，π<φ<2π；

(14d)

在φ=0和φ=π的交界面上，由式(11)分別得到

Jms3=aφ×(B1|φ=0-B2|φ=0)/μ0，a

(14e)

Jms4=aφ×(B2|φ=π-B1|φ=π)/μ0，a

(14f)

將式(10)分別代入(14a)～(14f)后得到各交界面磁化電流面密度滿足的強耦合積分方程：

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

(15e)

(15f)(謝寶昌文)

由式(15a)～(15f)可知，只有當兩種磁介質的相對磁導率滿足μr1=μr2時，交界面上的磁化面電流Jms3和Jms4為零，圓柱面r=a和r=b上的磁化面電流均勻分布且滿足式(6a)～(6d) ，磁感應強度由式(1)確定。

由于無法獲得磁化電流面密度的簡單解析解，也不能利用分離變量法獲得無窮級數解，為此利用數值積分方法進行離散化求解。計算參數如下μr1=2，μr2=10，b/a=2，結果如圖2所示，縱坐標磁化面電流密度經過歸一化處理，其中實線Jms1/J01，點線Jms2/J02，橫坐標1代表2 ；虛線Jms3/J01和Jms4/J01的橫坐標0.5代表r=a而1代表r=b。歸一化處理后磁介質內、外兩個圓柱面上相同角度 處磁化面電流密度的大小相同，方向相反，但非均勻分布，在磁介質分界面φ=0和π處發生突變。在磁介質分界面φ=0和 處的磁化面電流分布不僅大小而且方向也發生變化。

圖2 歸一化磁化面電流密度分布

進一步研究發現，當兩種磁介質(μr-1)/(μr+1)的值越接近，圓柱面上磁化面電流分布越均勻，μr的值越大則歸一化幅值越大；當兩種磁介質(μr1-μr2)/(μr1+μr2)的值越接近零，則分界面φ=0和π處的磁化面電流分布越接近零。

5 結語

本文根據靜磁場交界面條件應用教學過程中發現的問題，深入探討了磁介質中磁化電流的分布，提出了應用交界面條件的前提條件是交界面必須是光滑的。存在非光滑交界面時，需要全面檢驗交界面條件，只有場量滿足場方程和邊界條件時才能利用矢量場唯一性定理說明解是正確的。

[1] 周希朗. 電磁場與波基礎教程[M]. 北京：機械工業出版社，2014年

[2] 馬西奎. 電磁場要點與解題[M]. 西安: 西安交通大學出版社，2006.

[3] 海欣. 電磁場與電磁波學習及考研輔導[M]. 北京: 國防工業出版社，2008.

[4] 謝寶昌. 電磁能量[M]. 北京：機械工業出版社，2016年

Research on Boundary Condition Application Teaching of Magneto-Static Field

XIE Bao-chang

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240,China)

Boundary conditions are significant content of Electromagnetic Field. The problem of coaxial cable is found when boundary conditions are applied to solve magneto-static field with unsmooth boundary. Therefore, further investigation is made to find the magnetized current distribution in magnetic media. Premise of smooth boundary is proposed to properly use boundary conditions. All boundary conditions must be checked in solving problems with unsmooth boundary. Only when the solution satisfies the Maxwell equations and the boundary conditions, could it be validated by the theorem of uniqueness of vector field.

magneto-static field; boundary conditions; magnetized current

2016-06-23;

2016-12-20

謝寶昌(1965-)，男，博士，副教授，主要從事電機與電器的教學與研究工作，E-mail：bcxie@sjtu.edu.cn

TM153

A

1008-0686(2017)03-0021-04