互相關分析中有偏估計與無偏估計的比較

舒張平， 徐科軍

(合肥工業大學 電氣與自動化工程學院， 安徽 合肥 230009)

互相關分析中有偏估計與無偏估計的比較

舒張平， 徐科軍

(合肥工業大學 電氣與自動化工程學院， 安徽 合肥 230009)

本文通過理論分析和Matlab仿真得出。周期信號需采用有偏估計，且要求延遲時間小于信號周期；非周期信號中，對于局部峰值點和周期變化較小的一類準周期信號，有偏估計要求延遲時間小于信號近似周期，無偏估計對延遲時間的大小沒有要求，但抗干擾能力較差。對于沖擊信號，有偏估計和無偏估計均能滿足要求，且對延遲時間的大小沒有限制。

互相關；延遲時間；有偏估計；無偏估計

0 引言

互相關分析可以計算兩信號之間的延遲時間T[1-3]。 但是，在實際應用中，我們發現互相關分析的兩種估計方式具有不同的特點，導致其在延遲時間T的計算上具有不同的適用范圍。而這些知識在一般教材上并沒有介紹，教材中僅僅介紹了互相關分析的原理，對兩種估計方式的特點以及如何根據信號特征來選擇互相關分析的估計方式沒有闡述。

為此，本文針對互相關分析的兩種估計方式在實際應用中的關鍵問題進行研究，并給出解決方案。

1 有偏估計和無偏估計的特點

互相關分析的估計方式有兩種：有偏估計和無偏估計。

設進行互相關分析的兩信號序列分別為xa(n)和xb(n)，則其有偏估計和無偏估計的計算公式分別為式(1)和式(2)。

m=-(N-1),-(N-2),…,0,…,N-2,N-1

(1)

m=-(N-1),-(N-2),…,0,…,N-2,N-1

(2)

式(1)和式(2)表明，隨著|m|的增加，互相關分析中的相乘相加的數據量逐漸減少。但是，在有偏估計中，分母N保持不變；而在無偏估計中，分母N-|m|也在同步的減小。因此，互相關分析的有偏估計和無偏估計存在明顯的差異，即互相關分析的有偏估計中，隨著|m|的增加，理論上互相關分析結果的幅值會衰減，且|m|越大，衰減越大。而互相關分析的無偏估計中，并不會對互相關分析結果的幅值進行衰減?；ハ嚓P分析的有偏估計和無偏估計的這一特點，使得其應用在延遲時間T的計算中具有不同的適用范圍。

2 有偏估計和無偏估計的適用范圍

2.1 周期信號

當進行互相關分析的信號為周期信號時，互相關分析的有偏估計中，隨著|m|的增加，理論上互相關分析結果的幅值會衰減，且|m|越大，衰減越大。此外，周期信號的互相關分析結果，理論上為同周期的周期信號。因此，周期信號的互相關分析采用有偏估計的結果中，存在多個相距Tm(Tm為信號周期)的局部峰值點，且局部峰值點的幅值逐漸衰減。這樣，第一個局部峰值點即為互相關分析結果的峰值點(由于延遲時間T為正數，因此，本文只考慮互相關分析結果的正半軸部分)。因此，想要通過找到互相關分析結果的峰值點所對應的時間，來計算兩個周期信號之間的延遲時間T，就必須保證T小于Tm，以保證T所對應的局部峰值點為第一個局部峰值點，即互相關分析結果的峰值點；而互相關分析的無偏估計理論上并不會使互相關分析結果的幅值產生衰減。因此，周期信號的互相關分析結果仍為同周期的周期信號，其各局部峰值點的幅值相等，沒有單個的峰值點，從而無法通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T。例如，采用標準的正弦波周期信號，利用Matlab軟件，對比分析采用有偏估計和無偏估計的互相關分析結果如圖1所示。其中，信號周期Tm等于0.1 s，延遲時間T等于0.016667 s，其小于信號周期Tm。

圖1(a)表明對周期信號進行有偏估計的互相關分析結果中，各相鄰局部峰值點間相距為Tm，且第一個局部峰值點即為互相關分析結果的峰值點。因此，只有當T

圖1(b)表明對周期信號進行無偏估計的互相關分析結果中，各局部峰值點的幅值相等。因此，無法通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T。

圖1 有偏和無偏估計用于周期信號

2.2 非周期信號

1)準周期信號

實際應用中傳感器輸出信號大多為局部峰值點和周期變化較小的一類準周期信號，如圖2(a)所示。這一類準周期信號與周期信號非常相似，只是局部峰值點和周期存在較小的變化。因此，與采用有偏估計計算周期信號的互相關的結果一樣，采用有偏估計計算這一類準周期信號的互相關的結果中，存在多個局部峰值點，且理論上會使局部峰值點的幅值產生衰減，|m|越大，衰減越大。因此，為了能夠通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T，需保證延遲時間T小于信號的近似周期Tm，以保證第一個局部峰值點所對應的時間即為延遲時間T。

對于互相關分析的無偏估計，由于這一類準周期信號的周期不完全相等，各局部峰值點也不完全相同。因此，與周期信號不同，其互相關分析結果中各局部峰值點的幅值不完全相等。因此，無論延遲時間T是否小于信號的近似周期Tm，只要當|m|的取值所對應的時間等于延遲時間T時，互相關分析結果的幅值最大。從而可以通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T。但是，該方法要求兩信號是完全相似的，即兩信號間除了存在一定的相位差外，只有幅值上的比例衰減。這是因為無偏估計不對互相關分析結果的幅值進行衰減，導致互相關分析結果中雖然峰值點所對應的時間為延遲時間T，但各局部峰值點的幅值基本相同。當由于干擾的存在，導致其中一路信號受到干擾時，就有可能造成互相關分析結果中某個局部峰值點的幅值變大，超過延遲時間T所對應的峰值點的幅值。此時，通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T，就會造成較大的計算誤差。例如，采用兩組完全相似的渦街流量信號，如圖2(a)所示，互相關分析采用無偏估計的結果如圖2(b)所示。其中，T的理論值為0.2 s。然后，對其中一路信號的一部分數據做指數型衰減，來模擬受到干擾的情況，如圖2(c)所示，此時采用無偏估計的互相關分析結果如圖2(d)所示。

圖2(a)和(b)表明，對于局部峰值點和周期變化較小的一類準周期信號，當兩信號完全相似時，采用無偏估計的互相關分析結果中，各局部峰值點的幅值基本相同，但峰值點所對應的時間為延遲時間T，從而可以通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算T，且對T與Tm的大小關系沒有要求。

圖2(c)和(d)表明，當進行互相關分析的某一路信號受到很小干擾，導致兩信號間的相似性被破壞時，就有可能造成某個局部峰值點的幅值變大，被誤認為是峰值點。而實際應用中，很難保證兩傳感器的輸出信號完全相似。因此，該方法的抗干擾能力較差。

圖2 無偏估計用于準周期信號

2)沖擊信號

當進行互相關分析的信號為沖擊信號時，由于沖擊信號在大部分時間內幅值為零(或白噪聲)，其有用信號僅占其中小部分時間。從而只有當|m|的

取值所對應的時間等于兩信號間的延遲時間T時，非零點的相乘相加量最多，互相關分析結果取最大值。因此，無論互相關分析采用有偏估計還是無偏估計，均可以通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T，且對延遲時間T的大小沒有要求。利用Matlab軟件仿真，采用互相關分析的有偏估計和無偏估計來計算兩沖擊信號間的延遲時間T，結果如圖3所示。其中，采樣頻率Fs等于3 KHz，兩沖擊信號間延遲1000點，即理論延遲時間為0.33333 s。

圖3(a)和(b)的對比分析表明，當進行互相關分析的兩信號為沖擊信號時，雖然采用有偏估計和無偏估計的互相關分析結果中，峰值點的幅值大小不等，但是，峰值點所對應的時間均為延遲時間T。因此，對于沖擊信號，互相關分析采用有偏估計和無偏估計均能通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T，且對延遲時間T的大小沒有要求。

圖3 有偏和無偏估計用于沖擊信號

3 結語

通過以上對互相關分析的有偏估計和無偏估計所進行的研究，可以得出以下結論：

(1)對于周期信號間延遲時間T的計算，互相關分析需采用有偏估計，且要求兩信號間的延遲時間T小于信號周期Tm；

(2)非周期信號中，對于局部峰值點和周期變化較小的一類準周期信號間延遲時間T的計算，互相關分析采用有偏估計要求兩信號間的延遲時間T小于信號的近似周期Tm，此時其抗干擾能力較好?；ハ嚓P分析采用無偏估計對延遲時間T與信號近似周期Tm的大小關系沒有要求，但抗干擾能力較差；對于沖擊信號間延遲時間T的計算，互相關分析采用有偏估計和無偏估計均可以通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T，且對延遲時間T的大小沒有要求。

(舒張平等文)

(3)在實際應用中，當傳感器輸出信號為周期信號或局部峰值點和周期變化較小的一類準周期信號時，可以通過合理設計兩傳感器間的距離，保證進行互相關分析的兩信號間的延遲時間T小于信號周期Tm。然后，互相關分析采用有偏估計，并通過找互相關分析結果峰值點的方法來計算延遲時間T；當傳感器輸出信號為沖擊信號或類似沖擊信號的非周期信號時，互相關分析采用有偏估計和無偏估計均能滿足要求。

[1] 徐科軍.信號處理技術[M].武漢:武漢理工大學出版社,2001

[2] 徐科軍 主編.信號分析與處理[M].北京:清華大學出版社,2006

[3] 張玉超,徐科軍,葉旭.互相關運算中的兩個關鍵問題研究[J],電氣電子教學學報,2011,33(1):27-34

The Comparison of Biased Estimate and Unbiased Estimate on Cross-Correlation Analysis

SHU Zhang-ping, XU Ke-jun

(HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)

This paper studies by theoretical analysis and Matlab simulation. Periodic signals requires use of biased estimate, and the delay time is less than the signal period; In non-periodic signal, for the quasi-periodic signal of local peak point and the cycle change small, biased estimate requires the delay time is less than the approximate signal cycle, and unbiased estimated does not requires the length of the delay time ,but its anti-interference ability is poor. For the impact signal, biased estimate and unbiased estimate can meet the requirements, and there is no limit on the length of the delay time.

cross-correlation; delay time; biased estimate; unbiased estimation

2016-07-11;

2019-09- 02

安徽省教學名師獎(2013jxms009)，安徽省精品資源共享課“傳感器與檢測技術”(2014gxk003)

舒張平(1991-)，男，碩士研究生，研究方向為檢測技術與自動化裝置，E-mail：hfutdsp@mail.hfut.edu.cn 徐科軍(1956-)，男，博士，教授，主要從事傳感器、自動化儀表和數字信號處理的教學和科研工作，E-mail：dsplab@ hfut.edu.cn

G420

A

1008-0686(2017)03-0032-04