關于(α,m)凸函數的幾個積分不等式及其應用

雙 葉,尹紅萍

(內蒙古民族大學 數學學院,內蒙古 通遼 028043)

關于(α,m)凸函數的幾個積分不等式及其應用

雙 葉,尹紅萍

(內蒙古民族大學 數學學院,內蒙古 通遼 028043)

研究了(α,m)-凸函數的一些性質,并利用H?lder不等式得到了一些新的(α,m)-凸函數的Hermite-Hadamard型不等式,最后給出了這些不等式在特殊平均值中的應用.

(α,m)-凸函數；Hermite-Hadamard型不等式；H?lder不等式

凸函數的研究非?；钴S,并且它的研究具有重要的理論意義,它的應用也非常廣泛.本文研究了(α,m)-凸函數的Hermite-Hadamard型不等,得到了幾個結果,并給出特殊平均值中的應用.首先介紹一些與之相關的基本知識和基本概念.

設f∶I?R→R是定義在I上的凸函數.a,b∈I,a

(1)

下面引入凸函數的定義:

定義1[1]設f∶I?R→R是I上的函數,若對任意的x,y∈I,λ∈[0，1]，不等式：

f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),

(2)

成立,則稱f是I上的凸函數.

1985年G.Toader首先提出了m凸函數的定義.

定義2[2]設f∶[0，b]→R(b>0),m∈(0,1],若對任意的x,y∈(0,b],λ∈[0，1]，有:

f(λx+m(1-λ)y)≤λf(x)+m(1-λ)f(y),

(3)

則稱f(x)為[0，b]上的m-凸函數.

1993年,V.G.Mihesan給出了(α,m)-凸函數的定義.

定義3[3]設f∶[0，b]→R(b>0),(α，m∈(0,1]2,若對任意的x,y∈(0,b],λ∈[0,1]，有:

f(λx+m(1-λ)y)≤λαf(x)+m(1-λα)f(y)

(4)

則稱f(x)為[0，b]上的(α,m)凸函數.

文獻[4-9]得到了上面凸函數的相關定理.

定理1[4]設f∶I°?R→R為I°上的可微映射,a,b∈I°,a

(5)

定理2[5]設f∶I→R為I上的可微函數,f′∈L[a,b],0≤a

(6)

定理3[6]設f∶I→R為I上的可微函數,f′∈L[a,b],0≤a

(7)

為了證明定理需要下面的引理.

1 有關引理

引理1[7]設f∶I?R→R是I°上的可微映射,a,b∈I且a

2 (α,m)-凸函數的Hermite-Hadamard型不等式

現在建立幾個(α,m)-凸函數的Hermite-Hadamard型不等式.

證畢．

推論1 在定理4的條件下,若時α=m=1,則有下面不等式成立:

證明 由引理1和H?lder不等式,有:

和

因此有:

證畢．

推論2 在定理5的條件下,若α=m=1時,則有下面不等式成立:

證明 由引理1和H?lder不等式,有:

因此,有:

證畢.

推論3 在定理6的條件下,若q=1時,則有下面不等式成立:

推論4 在定理6的條件下,若α=m=1時,則有下面不等式成立:

推論5 在定理6的條件下,若α=m=q=1時,則有下面不等式成立:

3 特殊平均值的應用

下面利用第2節的結果給出(α,m)-凸函數的Hermite-Hadamard型不等式在特殊平均值中的一些應用.

設b>a>0,定義加權平均和廣義平均值分別為:

令f(x)=xs,x>0,s>1,q≥1且q(s-1)≥1,則有：|f′(x)|q=sxq(s-1)是(0,∞)上的凸函數.

由推論2,有:

定理7 設b>a>0,s>1,q>1,q(s-1)≥1,λ∈[0,1],則:

由推論3,有:

定理8 設b>a>0,s>1,q≥1,q(s-1)≥1,λ∈[0,1],則:

此外若s≥2時,則有:

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責任編輯：時 凌

Some Integral Inequalities of (α,m)-Convex Function and the Application

SHUANG Ye,YIN Hongping

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

The paper studied some properties of (α,m)-convex function,and got some new Hermite-Hadamard inequalities of (α,m)-convex function by the H?lder inequality.Finally,the applications of the inequalities on the particular mean were given.

(α,m)-convex function; Hermite-Hadamard inequalities; H?lder inequality

2017-04-17.

內蒙古自治區高等學?？茖W研究項目(NJZY16185).

雙葉(1974-),女(蒙古族),碩士,副教授,主要從事凸分析理論的研究.

1008-8423(2017)03-0292-05

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.09.011

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