基于改進譜修正迭代法的數值保角變換計算法

呂毅斌，賴富明，王櫻子，武德安

(1.昆明理工大學理學院，云南 昆明 650500； 2.昆明理工大學計算中心，云南 昆明 650500； 3.電子科技大學數學科學學院，四川 成都 611731)

基于改進譜修正迭代法的數值保角變換計算法

呂毅斌1，賴富明1，王櫻子2，武德安3

(1.昆明理工大學理學院，云南 昆明 650500； 2.昆明理工大學計算中心，云南 昆明 650500； 3.電子科技大學數學科學學院，四川 成都 611731)

通過改進的譜修正迭代法，計算基于模擬電荷法的雙連通區域數值保角變換的約束方程，得到了新的電荷點和變換半徑，構造了近似保角變換函數.進而提出了新算法，并通過數值實驗檢驗了新算法的有效性.

數值保角變換；雙連通區域；模擬電荷法；譜修正迭代法

0 引言

保角變換的理論來源于復變函數論，其在電磁理論、電場與熱場理論、流體力學等許多領域均有廣泛應用.[1-3]保角變換的主要求解方法有解析法和數值法.解析法的基礎是Riemann存在唯一性定理，它指出任意一個邊界多于一點的單連通區域總存在一個解析函數將其映射為單位圓盤.類似地，對于雙連通區域也存在一個解析函數將其映射成同心圓.Riemann存在唯一性定理證明了變換函數的存在性，但卻不能給出變換函數的具體表達式.相比于解析法，保角變換的數值法在解決實際工程問題的過程中具有獨特的優勢，因此吸引許多學者對其做了大量研究.目前，保角變換的數值法主要有積分方程式法[4-6]、正交多項式法[7]和模擬電荷法[8-10].基于模擬電荷法的數值保角變換計算法是由日本數學家Amano提出來的，它具有計算簡單、不用數值積分、計算精度高等優點.然而，Amano并沒有給出求解基于模擬電荷法的雙連通區域保角變換約束方程的具體算法.

本文針對以橢圓為邊界的雙連通區域，給出了模擬電荷點和約束點，進而構造了約束方程.對約束方程進行分析，發現其是病態非奇異的.針對這一特性，采用改進的譜修正迭代法[11-12]對其進行求解，計算得到新的電荷點和變換半徑，從而構造了高精度的近似保角變換函數.相比于條件預優法、投影法、剛性常微分方程法等求解方法，改進的譜修正迭代法能很好地改善方程組的病態性，且計算結果也是無偏的，適合于計算良態、病態和秩虧方程.最后，在改進的譜修正迭代法的基礎上，通過等高線模擬了雙連通區域數值保角變換的計算結果.

1 基于模擬電荷法的雙連通區域數值保角變換計算法[13-17]

設D為Z平面上由曲線C1和C2圍成的有限雙連通區域，通過基于模擬電荷法的保角變換將之映射為W平面的一個圓環μ<|w|<1，C1和C2分別是外部和內部邊界(見圖1).

(+表示模擬電荷點，·表示約束點)

不失一般性，假定f(0)=0.當f(z)滿足正規化條件f(∞)=∞，f′(∞)>0時，f(z)可以表示成

(1)

(2)

h(z)和g(z)為共軛調和函數，根據模擬電荷法，h(z)和g(z)可以分別由

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

聯立(5)—(7)式，得到以Qi(i=1，2，…，N)和logM為未知量的線性方程

(8)

其中系數矩陣中的一般項aij=log|zj-ζi|.

最后，利用zi，ζi，Qi，M計算雙連通區域的數值保角變換.

2 改進的譜修正迭代法在雙連通區域數值保角變換上的應用

方程(8)稱為基于模擬電荷法的雙連通區域數值保角變換的約束方程，簡稱為約束方程.將其寫成標準線性方程的形式

Ax=b，

(9)

其中A∈R(N+1)×(N+1)，x∈RN+1，b∈RN+1，N表示模擬電荷點數.由于cond(A)=‖A‖‖A‖-1較大且det(A)≠0，因此方程(9)是病態非奇異的，b的微小擾動會引起解x的很大變化，從而不能得到高精度的未知電荷Q1，Q2，…，QN和保角變換半徑M.

改進的譜修正迭代法[18]能夠很好地改善上述方程的病態性.對方程(9)進行預處理，兩邊同時乘以AT有

ATAx=ATb，

(10)

其中ATA是對稱正定的.顯然x=(ATA)-1ATb，但是cond(ATA)很大，因此對ATA求逆會不穩定.

為克服這一缺點，假定E是(N+1)×(N+1)的單位矩陣，在(10)式的兩邊同時加上μx，得到

(ATA+μE)x=ATb+μx，

(11)

其中μ為修正因子(0<μ<1).進一步得到改進的譜修正迭代法的迭代公式

xk=(ATA+μE)-1(ATb+μxk-1).

(12)

另一方面，迭代(12)式可以改寫成

xk=μ(ATA+μE)-1xk-1+(ATA+μE)-1ATb.

(13)

設x*為約束方程的精確解，那么x*=μ(ATA+μE)-1x*+(ATA+μE)-1ATb.根據(13)式，

(14)

表1 改進的譜修正迭代算法

表1中，MaxIter和SolRD分別表示最大迭代次數和相對誤差.ATA+μE為對稱正定矩陣，所以可以按LDLT分解，其中L為單位下三角矩陣，D為對角矩陣.LDLT分解大約需要n3/6次乘除法，大約是直接LU分解法計算量的一半.相比于LTL分解，LDLT分解不需要開方計算，使得結果精度更高.[19]

綜合前面的分析，基于改進的譜修正迭代法的雙連通數值保角變換計算法分為以下幾步：

步驟2 構造約束方程，利用改進的譜修正迭代法計算約束方程(見表1)，得到電荷Q1，Q2，…，QN和保角變換半徑M.

3 數值實驗

圖2 雙連通區域模擬電荷點分布

圖3 誤差曲線

根據前面求出的電荷和保角變換半徑，可構造近似保角變換函數f(z).取區域D的等高線，如圖4，其中粗實線代表邊界C1和C2，細線代表等高線.圖5表示由近似保角變換函數映射后得到的圖像，從中可以看出，邊界C1和C2變換后的圖像為同心圓，等高線與邊界組成的內部區域仍然對應同心圓圍成的內部區域.進一步證明了基于改進譜修正迭代法的雙連通區域數值保角變換計算法的有效性.

圖4 區域及其等高線

圖5 區域及其等高線的保角變換

4 結論

本文提出了一種求解雙連通區域數值保角變換約束方程的新算法，并通過數值實驗驗證了新算法的可行性.利用新方法得到的數值保角變換的精度比較高，且通過等高線模擬了雙連通區域數值保角變換的計算結果.這種方法同樣可考慮用于多連通區域的數值保角變換.

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(責任編輯：李亞軍)

Theimprovementofiterationmethodbycorrectingcharacteristicvaluesfornumericalconformalmapping

LU Yi-bin1，LAI Fu-ming1，WANG Ying-zi2，WU De-an3

(1.Faculty of Science，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China； 2.Computer Center，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China； 3.School of Mathematical Science，University of Electronic Science and Technology，Chengdu 611731，China)

A new method for numerical conformal mapping of doubly-connected domain is considered.This method calculates the constraint equations of numerical conformal mapping based on charge simulation method of doubly-connected domain using the improvement of iteration method by correcting characteristic values，and the approximate conformal mapping function is constructed using new charge points and conformal mapping radius.The efficiency of the proposed method is illustrated by some numerical results.

numerical conformal mapping；doubly-connected domain；charge simulation method；the iteration method by correcting characteristic values

1000-1832(2017)03-0042-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.010

2015-12-02

國家自然科學基金資助項目(11461037).

呂毅斌(1972—)，男，副教授，主要從事科學計算與圖像處理研究；通信作者：王櫻子(1972—)，女，碩士，講師，主要從事科學計算與數學應用軟件設計研究.

O 241 [學科代碼] 110·6199

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