權力指數的MATLAB求解探討

陶曉靜+楊雄

摘 要：在高職數學建模的教學中，會遇到一些博弈問題，稍簡單的問題尚可用理論推斷，手動計算，一旦數據量增加，就對MATLAB等軟件的使用提出了更高的要求。文章從一個經典的博弈問題出發，探討了MATLAB循環語句的使用實踐，對數學建模教學起到了良好的促進作用，也增強了高職學生學習數學軟件的興趣與信心。通過軟件處理含有復雜數據的數學問題，實現了從課堂走向實踐的可能。

我們知道博弈論對現代社會的深遠影響，并且了解它在現代數學中的重要地位。它是連接數學與現代社會的紐帶與橋梁。而其中權力指數是我們常見的博弈論問題，也十分重要。在實際研究中人們不但要進行定性分析，也要對相關問題進行定量分析，而大量的數據阻礙了很多人對大數據問題的研究。MATLAB在教學過程中打開了一種新的局面，培養了學生處理數據的能力。

本文從權力指數這個問題入手，通過一個例題展示數學建模課程中使用MATLAB軟件的一些技巧與心得。

一、博弈問題的描述

1.博弈論概述

博弈論也稱為對策論（Game Theory），是現代數學的一個重要分支，屬于運籌學的一部分。博弈論研究公式化的激勵結構之間的相互作用，是研究斗爭或競爭性現象的數學理論與方法?？煽紤]個體的預測行為和實際表現，進一步研究個體的改進策略，為個體決策提供理論依據與量化指標。

2.權力指數的概念

公司在做出決策的時候，需按股權分量進行表決。在通常情況下，大股東的意志對決策有著巨大影響。具體來說，設一共有n個股東，C1，C2，…Cn，股權分量不一，某決議的通過表決時有以下幾種可能。

（1）若C1離場，C2，C3…Cn能否直接做出決定？

（2）若C2離場，C1，C3…Cn能否直接做出決定？

（3）同理，若 Ci，i>2，離場，情況會怎樣？

否定其他股東預決議的能力稱為他的權力指數。

二、權力指數在投票表決中的應用

表決時，為了體現己方的表決意志，必須獲得足夠多的票數。通過權力指數，我們可以方便地了解某人在表決過程中的重要程度，并由此做出相應的決策。

案例1 某公司有A、B、C、D、E五個股東，決策原則遵循“一股一票”。他們的股份分別為：A擁有36股，B擁有16股，C擁有16股，D擁有16股，E擁有16股。

若A暫時離場，由B、C、D、E對于某項決議進行初步的表決，我們稱之為預決策。預決策時，共有24=16種情形。

解：%ABCDEF的權力指數計算語句

a=input（'please input a'）；

b=input（'please input b'）；

c=input（'please input c'）；

d=input（'please input d'）；

e=input（'please input e'）；

f=input（'please input f'）；

A=a+b+c+d+e+f；%計算票數的和

k=0；

%如果要計算其他人的權力指數只需在這里將a與其他變量進行一個交換。

%其交換語句如交換a與b，以計算b的權力指數為：a=m；a=b；b=m；

forC2=0∶1

for C3=0∶1

for C4=0∶1

for C5=0∶1

for C6=0∶1

sum=C2*b+C3*c+C4*d+C5*e+C6*f；

if sum>b+c+d+e+f-sum

if sum

k=k+1； end

elseif sum+a>b+c+d+e+f-sum

k=k+1；

end end end end end end

fprintf（'quanlizhishuwei %6.2f'，k）

輸入36 16 16 16 16，得a 的權力指數為14，如此進行替換后，可計算得b、c、d、e權力指數都為2。

案例2 議員名額的分配

某國家有人口數量不等的六個地區。國家議員人數按地區分配如表1所示：

議員的總人數是31。雖然地區a地區、b地區、c議員都不足以單獨左右議會決議，但這三個地區中任何兩個地區的票數之和都已經超過了議會的半數。有人動議將議員人數變更為12、10、8、3、3、2，請分析權力指數與比重的變化以及為各個地區給出決策。對上例程序稍微修改就能得到如下解：

解：a=input（‘please input a）；

A=a（1）+a（2）+a（3）+a（4）+a（5）+a（6）；

k=0；M=[0 0 0 0 0 0]；n=1；

for C2=0∶1

for C3=0∶1

for C4=0∶1

for C5=0∶1

for C6=0∶1

sum= C2*a（2）+ C3*a（3）+ C4*a（4）+ C5*a（5）+ C6*a（6）；

if sum>a（2）+a（3）+a（4）

+a（5）+a（6）-sum

if sum

k=k+1； end

elseif sum+a（1）>a（2）+a（3）+a（4）+a（5）+a（6）-sum

k=k+1；

end