線面平行、垂直的證明

陳忠

線面平行

在立體幾何中，常用下列兩種方法證明線面平行.

方法1：如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行；表示為符號語言：[a∥b，a?β，b?β?a∥β.]

方法2：如果兩個平面互相平行，那么其中一個平面內任意一條直線和另一個平面平行；表示為符號語言：[α∥β，a?α?a∥β.]

方法1就是我們常說的直接法，即在已知平面內找到一條直線和已知直線平行，這條直線通常是與已知直線相對應的成比例的線段（中位線居多），又或者是已知直線在已知平面內的射影. 而方法2為間接法，即找到并證明經過已知直線且平行于已知平面的平面，就可以證明相應的線面平行.

點評 利用間接法證明線面平行，關鍵是找到面面平行. 通常是過已知線段的兩端，作兩條相交的直線，且這兩條相交直線與已知直線圍成的三角形所對應的平面，與已知平面平行即可. 中間過渡證明面面平行時，一定要證得兩組線面平行，而非兩組線線平行. 為簡便表達，通?？梢栽谧C明出一組線面平行后，另一組用“同理”來簡化證明.

點評 在尋找兩組線線垂直時，必須是兩條相交的直線均和已知直線垂直. 除了使用相關垂直的性質證明線線垂直以外，不要忽略了最基本的證明垂直的辦法，即計算證明. 當題目所給的條件，以長度關系居多時，往往需要通過計算來證明垂直.endprint