關于函數項級數一致收斂性的研究

李海燕

（陽泉師范高等?？茖W校 山西·陽泉 045200）

關于函數項級數一致收斂性的研究

李海燕

（陽泉師范高等?？茖W校 山西·陽泉 045200）

函數項級數是對初等函數進行表達的一種工具，級數的和也就是該函數的核心問題，被稱為收斂性，包含收斂與一致收斂。本文以函數項級數一致收斂性預備知識入手，探究其判別方法，并著手于其推廣定義的研究。并利用MATLAB軟件,結合當代應用實例對函數項級數一致收斂性進行實驗與編程，對函數序列收斂性的動態過程進行探討，表明出一致收斂性的實質。

函數項級數；一致收斂性；MATLAB軟件；研究

初等函數是高等數學中主要討論內容之一，且初等函數可針對眾多自然現象以及相關技術的規律進行解答。但初等函數并不能滿足客觀規律所需求的定義與本質，因此只有初等函數知識無法廣泛應用于科學技術以及相關理論之中，而級數是表示初等函數本質的一種重要工具。為了有效解決這一問題，眾多學者利用微分、極限、積分等科學知識表達初等函數之外的內容，本文針對函數項級數一致收斂性的研究，為使函數的運用能夠更加方便，從而得到更為廣泛的應用。

一、函數項級數一致收斂性預備知識

為了保障函數項級數一致收斂性判定的順利進行，同時得到MATLAB軟件編程應用的方法與程序，對其預備知識的探討與制定是十分必要的。

理論5：如果函數項級數在區間中與理論4中所提到的公共函數不符合或不存在，那么收斂性則為非一致收斂性，相反則為一致收斂性。當函數項級數一致收斂時，在區間I中將滿足、、對于時，函數。而當函數項級數為非一致收斂性時，符合條件為，此時對，，此時，函數需要滿足大于等于的條件。

此外，函數項級數收斂的概念需要更加明確，通常情況下，對于同一個數集N來說，當x0不同時，N通常也不同，不僅與有著明確的關系，還與x0有著緊密的聯系。因此，函數項級數一致收斂的原則與數集D中內容適應的N。與連續函數樹立一致收斂性與收斂的概念有著緊密的聯系。以此可通過函數一致收斂的相關定理，可推算出函數項級數收斂的相關定理。此外，還可以根據函數項級數的特征進行辨別。

二、函數項級數一致收斂性的判別方法

（一）比式判別法

根據比式判別法的證明內容，我們可知比式判別法重點在于比較，利用兩個函數項級數通項結構進行比較，較適用于函數正項級數收斂性的判斷。此外，比式判別法為函數項級數一致收斂性提供了較為簡單的判別方法，只需將所要判斷的函數與已知收斂性函數進行比較便可證明函數項級數是否一致收斂。通常將等比級數、調和級數等相關級數作為比較，因此比式判別法的關鍵在于選取比較的對象，以此對通項進行調整。

（二）根值判別法

（三）對數判別法

三、函數項級數一致收斂性推廣定義

（一）函數項級數一致收斂定義推廣

函數項級數中的函數列如果在所設數集上出現收斂性函數，則稱函數項級數在數集上一直收斂。且由于函數項級數一致收斂性取決于其內部部分及相關數列，因此可根據函數一致收斂性的相關定義得到等價函數定義。此外，函數項級數中的部分以及函數列處于同一數集之中，如果對于任意正數總存在著正整數，則稱函數項級數在數集中一致收斂。根據上述內容可知，如果要證明函數項級數在數集中一直收斂，找尋正整數是關鍵點，與數列極限中找尋正整數的問題較為相似，由此可針對此定理進行深入推廣，并得到實用性較強的方法。

（二）判別法的推廣

根據上述內容，可知對函數項級數一致收斂性的判定主要有比式、對數、根值三種判別法，而三種方法在判別的過程中需要分類進行，探尋其中注意事項，例如比式判別法的實質在于比較兩個函數之間項級數一致收斂歸零的速度快慢，并通過快慢的差別判斷出較快的函數項級數一致收斂。此外，根據對數判別法法可知函數項級數一致收斂與該項級數中涵蓋的前有限項無關，在證明過后，亦需利用反證法驗證證明結果，如果函數在數集區間中一致收斂，則對數判別法中函數亦呈現出一致收斂，最終查看所得結果與已知是否矛盾。

四、MATLAB編程應用與實現

（一）編程實現必要條件

利用MATLAB實驗程序進行分析，易了解函數序列在無窮區間中收斂于函數，如果函數項級數在無窮區間中不一致收斂，根據比式判定法，只需對函數序列在無窮區間中不一致收斂進行檢驗。

（二）編程實現界限原理

函數項級數具有一個充分必要條件，為此利用MATLAB編程驗證函數項級數一致收斂性及非一致收斂性具體需要五個步驟。首先利用MATLAB軟件對任意函數項級數中s(x)與sn(x)進行計算，然后選取充分小的正數，畫出相關函數的圖像。隨即對n值進行不斷提高，并根據n值的變化畫出相應圖像。當n提升到足夠大的數值時，如果sn(x)的圖像皆落在曲線形成的帶狀區域中，則可對函數項級數一致收斂性進行猜測。

結語函數項級數是高等數學中十分重要的教學模塊，針對函數項級數的一致收斂性研究在課本上介紹了很多方法，因此如果要判定函數項級數一致收斂性可以先考慮所給函數是否可應用上述方法探尋到優級數，并將問題逐步轉化為函數正項級數的收斂性研究，研究方法將會更加便捷。

[1]劉江蓉.關于函數項級數的一致收斂性[J].教改教法,2013(18):52-53.

[2]郝新江.淺談函數項級數一致收斂性的推廣和應用[J].呂梁教育學院學報,2006(03):68-69.

[3]毛一波.函數項級數一致收斂性的判定[J].重慶文理學院學報,2006(04):55-56.

O171

A

1009-8534（2017）05-0120-02

李海燕，陽泉師范高等?？茖W校講師，碩士。

責任編輯：徐向陽

審 稿 人：程家超