二維完全彈性碰撞的理論研究

周 游 劉 程 涂燦輝 劉 華 鄭才龍

(湖北師范大學化學化工學院 湖北 黃石 435002)

二維完全彈性碰撞的理論研究

周 游 劉 程 涂燦輝 劉 華 鄭才龍*

(湖北師范大學化學化工學院 湖北 黃石 435002)

用相關的物理知識解決二維碰撞的問題，發現碰撞中更為普遍的規律.對于二維完全彈性碰撞問題，可以用矢量分解、能量守恒和動量守恒解決.

二維彈性碰撞 矢量分解 能量守恒 動量守恒 速度

在生活或學習中，有許多的碰撞現象，例如桌球之間的碰撞、微觀粒子之間的轟擊、天體之間的相互撞擊等.這些過程有明顯的特點：一般發生在二維平面內，相互作用的時間極短，相互作用力極大，運動狀態瞬間發生急劇改變，在物理學中這類問題叫做碰撞[1～3].

碰撞是生活中常見的現象，也是經典物理學的重點，更是動量中的核心內容.最初動量守恒定律正是為了解決碰撞問題而發現的.我們在中學物理中學習了對心碰撞，領悟到動量的巨大魅力.

通常所說的碰撞包括正碰和斜碰，本次研究較為復雜且應用更廣的斜碰，即二維碰撞.發生斜碰的兩個物體光滑，沒有摩擦，碰后兩物體只有平動沒有轉動，這是完全彈性二維碰撞的條件.如果系統有摩擦，則碰后物體既有平動又有轉動，且有能量損失，屬于普通二維碰撞，此問題難以解決[4～6].

關于二維碰撞問題，不少學者對其進行理論或實驗的研究，如用質心系法、矢量三角形、計算機程序、碰撞實驗等方法進行研究；基于他們的工作，我們用基礎物理學知識系統地研究了二維完全彈性碰撞[7，8].本文介紹了用通俗易懂的物理方法解決較為復雜的問題,得到了速度大小和方向的準確解析解，對各種碰撞情況進行分類討論,并通過作圖輔助說明均得到了相應的結論，從而拓展了碰撞研究的廣度和深度.

從簡單情況出發，處理兩個小球的二維完全彈性碰撞.設質量為m1的小球A以初速度v0射向質量為m2靜止的小球B，如圖1所示，初速度v0方向和兩球碰撞時球心連線方向所成的入射夾角為α(0≤α<90°)，發生彈性碰撞后，求解末速度大小和散射角.

圖1 二維完全彈性碰撞分析圖

1 解決思路

由于兩球碰撞為理想的二維碰撞，故碰撞過程能量守恒、動量守恒.A和B碰撞瞬間如圖1狀態.以兩球球心連線方向為x軸，垂直于球心連線且過A球心的方向為y軸；可以設A的末速度v1沿x軸方向分量為vx，在y軸方向上分量為vy，故與B發生作用的只有vx，根據一維碰撞規律，B碰后末速度方向必然和vx方向共線.在任意兩個正交方向上運用分動量守恒，并結合能量守恒和分速度關系，即可求解末速度.

2 解決過程

設A碰后的末速度大小為v1，B碰后的末速度大小為v2，v1在x和y軸方向的分量分別為vx和vy，A碰后v1與碰前v0方向夾角為β，碰后兩球末速度v1和v2之間的夾角為θ，即有角度關 系α+β=θ.

若引入恢復系數

本次研究情形即e=1，可用于求解檢驗.

由x軸方向分動量守恒有

m1v0cosα=m1vx+m2v2

(1)

由y軸方向分動量守恒有

m1v0sinα=m1vy

(2)

由系統碰撞前后能量守恒有

(3)

由v1的合、分速度關系有

(4)

由式(1)～(4)即可求解.

由式(1)得

由式(2)得

vy=v0sinα

將vx和vy代入到式(4)有

化簡得

化簡得

因

將v2代入上式有

化簡得

或

因為動量在v0方向上守恒，故

m1v0=m1v1cosβ+m2v2cosα

將v1和v2代入上式得

又因為

聯立并將v1和v2代入得

3 分析討論

二維彈性碰撞的兩球末速度大小為

A的末速度v1與v0方向夾角為

兩球末速度方向夾角為

特別地，可以分下列幾類情況討論：

(1)當兩球質量相等時，即u=1時，公式可以簡化為

v1=v0sinαv2=v0cosα

β=90°-αθ=90°

(2)當碰前夾角α=0，碰撞前后速度始終共線，變為一維彈性碰撞，即彈性正碰情形

β=θ=0

(3)當m1>m2，兩球末速度夾角為銳角；

當m1

當m1=m2，兩球末速度夾角為直角.

(4)當m1?m2，即u很大時

v1≈v0v2≈2v0cosα

β≈0θ≈α

當m1?m2，即u≈0時

v1≈v0v2≈0

β≈180°-2αθ≈180°-α

4 圖像解析

(1)v1和v2隨α變化圖像

1)當u=0.5時，v1和v2隨α變化圖像如圖2所示.

圖2 u=0.5時，v1和v2隨α變化圖像

2)當u=1時，v1和v2隨α變化圖像如圖3所示.

圖3 u=1時，v1和v2隨α變化圖像

3)當u=2時，v1和v2隨α變化圖像如圖4所示.

圖4 u=2時，v1和v2隨α變化圖像

小結：無論質量比如何變化，v1隨α改變而遞增至v0，v1隨α改變而遞減至零.

(2)β和θ隨α變化圖像

1)當u=0.1時，β和θ隨α變化圖像如圖5所示.

圖5 u=0.1時，β和θ隨α變化圖像

2)當u=2時，β和θ隨α變化圖像如圖6所示.

圖6 u=2時，β和θ隨α變化圖像

3)當u=6時，β和θ隨α變化圖像如圖7所示.

圖7 u=6時，β和θ隨α變化圖像

小結：當u≤0.3時，β和θ隨α變化的圖像接近遞減的直線，θ在兩端點取值為180°和90°；β在兩端取值為180°和0；且u越小，擬合度越高.

當u≥6時，θ隨α變化的圖像接近遞增的直線，且u越大，擬合度越好；而β有極大值，且β在兩端點均為零，u越大β的極大值越小.

鑒于當質量比u>1時，在入-散射角圖像中發現A的散射角度β有極大值，通過求導，即

得

ucos 2α=1

即β在

處有

在上述圖像中，將質量比代入極值公式

u=2α=30.00°βmax=30.00°

u=6α=40.20°βmax=9.59°

5 研究總結

本文從理論上嚴謹地推導了二維完全彈性碰撞的速度公式，并對其進行深入地分析討論.通過一維碰撞等特殊情況的驗證，以及圖像的直觀變化規律，我們對較為陌生的斜碰有了更為完整的認識和深刻的理解.本文解決了中學尚未學習而大學忽略討論的斜碰問題，發現了斜碰的力學規律，拓展了經典力學研究碰撞的范圍.

1 陳亞蘭.一維對心完全彈性碰撞的速度分析.河南科技,2014(01):184～184

2 朱曉波,黃奚超,鄒毅.二維碰撞的簡化計算及其電腦程序.吉林工業大學自然科學,2001(31):91～95

3 曾奇軍,戈靜,徐元國,等.彈性碰撞的圖示分析法.信陽師范學院學報(自然科學版)，2013,26(3):343～347

4 人民教育出版社.高中物理選3-5.北京：人民教育出版社,2010

5 漆安慎,杜嬋英.力學(第3版).北京：高等教育出版社,2012

6 H.Orland,R.Schaeffer.Two-body collisions and time dependent Hartree-Fock theory.Zeitschrift für Physik A:Atoms and Nuclei,1979,290(2):191～204

7 李忠相.處理斜碰問題的三種方法.物理通報，2014(5):35～37

8 劉金銘,陳陽,陳琪.關于彈性斜碰前后系統動能的討論.湖南中學物理,2015(2):82～84

TheTheoreticalResearchonTwo-dimensionalPerfectElasticCollision

Zhou You Liu Cheng Tu Canhui Liu Hua Zheng Cailong

(School of Chemistry and Chemical Engineering,HuBei Normal University,Huangshi,Hubei 435002)

The Collision is a common phenomenon in our life,and it is important for classical physics,as well as it is the core content in the momentum.The first law of conservation momentum was found in order to solve the problem of collision.We have learnt the central collision in the high school and comprehended the great charm of momentum.In this article,we use the relevant physical knowledge to solve the two-dimensional collision problem,and find the more general regular in collision.As for the problem of two-dimensional perfect elastic collision,the vector decomposition,energy conservation and momentum conservation can be used to solve it.

two-dimensional elastic collision; vector decomposition; energy conservation;conservation of momentum;speed

2017-03-23)

*指導教師：鄭才龍(1971- ),男，講師，主要從事物理教學工作.