工程專業相結合的“線性系統理論”教學改革

高 飛， 岳振宇， 王 俊， 張有光， 祝 賀

(北京航空航天大學 電子信息工程學院， 北京 100191)

工程專業相結合的“線性系統理論”教學改革

高 飛， 岳振宇， 王 俊， 張有光， 祝 賀

(北京航空航天大學 電子信息工程學院， 北京 100191)

本文針對電子通信類研究生“線性系統理論”課程的特點，從課程體系、教學方法和案例選擇等角度出發，提出結合工程實例的教學改革方案。在教學過程中，結合其他相關課程，引導學生建立“大學科觀念”；利用相關知識改善“鎖相環”跟蹤性能，凸顯其在解決實際問題中的作用。實踐表明，課程改革提高了研究生工程分析和應用能力，效果明顯。

線性系統理論；教學改革；鎖相環

0 引言

“線性系統理論”是現代控制理論中最基本、最重要的一個分支，具有聯系基礎理論與應用理論的紐帶地位。該課程內容豐富、涉及知識面廣、有很強的理論性和工程應用性，在培養學生的系統概念、創新思維和科研能力方面具有重要的作用。因此許多重點高校和重要研究院所都將其設為研究生的基礎課和專業必修課。

正是由于其通用性和交叉性，許多非控制專業的研究生會困惑于其理論意義及工程應用方式，如通信、電子專業的學生對該課程在信息類課程中的作用感到比較茫然，為后續專業課程學習、研究工作開展甚至就業等帶來很多問題。

為了使通信專業學生能學會使用系統的觀點、內外因結合的觀點、事物相互作用相互聯系的觀點來解決相關領域中的問題，對“線性系統理論”課程教學進行專業導向性的改革具有十分重要的意義。

1 具有專業導向性的教學改革探索

1.1課程教改的必要性分析

“線性系統理論”以狀態空間法為基礎來分析與設計控制系統，對數理基礎要求高，具有一定的深度和難度[1]。長期以來，教學內容與教學方法主要基于控制類專業，對通信專業的學生而言,學習興趣不高，課堂效果欠佳。在課程結束時學生往往只記得一些基本知識點和控制系統的計算分析方法，沒有達到本專業要求的教學效果[2-3]。

究其原因，主要可總結為以下幾點：①學生不了解信息科學全貌，認為控制類課程的學習對于通信專業不重要，沒有清楚地認識線性系統理論在整個信息科學中的重要地位；②教學內容與控制類專業基本相同，并沒有針對通信專業做適當的調整，也沒有體現出專業特色；③課程中選用的實際系統案例基本都是常見的倒立擺和RLC電路網絡，案例選擇過于單一，難以激發學習熱情，學生不能將所學的控制理論知識與通信專業相關的實際系統充分地聯系起來。

1.2建立大學科觀念

針對通信專業的學生，所謂建立大學科觀念是指了解信息學科全貌、清楚信息學科知識脈絡、加強對關聯學科情況的了解[4]。

線性系統理論以“信號與系統”和“自動控制原理”為基礎，針對經典理論僅適合于單輸入-單輸出、外部描述和依賴某個環節的“試探法”等固有缺陷而提出的能處理復雜多輸入-多輸出、內部“狀態變量”特征信息和借助現代計算機技術處理的理論，是已有課程的自然外延。信息學科中，“空時自適應信號處理”中Kalman濾波理論是用狀態空間法設計的最佳濾波器，實用性強且可用于非平穩過程，其核心離不開“線性系統理論”的基礎；“檢測估計和調制理論”目的是從被噪聲及其它干擾污染的信號中提取、恢復所需要的信息，估計出信號和干擾的運動模式，才能利用“線性系統理論”的魯棒跟蹤和內模原理，跟蹤捕獲有用信號并抑制干擾；“時間頻率分析”和“現代譜估計”也是為了分析和獲取信號特征；考慮狀態方程、控制變量的約束條件和狀態方程的邊界條件，實現性能指標最優的系統設計則是“線性系統理論”的“智能優化方法”所關注的內容；“通信原理”闡述信息傳輸的基本原理，經常需要捕獲跟蹤特定信號、濾除不需要的干擾信號；“數字信號處理”采用數字方式對信號進行濾波和變換，強調了計算機工具的使用。此外，“先進導航技術”、“現代雷達系統”和“遙測遙控理論及系統”等課程一定程度上都體現了“線性系統理論”的工程應用。

總之，“線性系統理論”與許多信息類課程從基礎到應用都是息息相關的，其中所涉的概念、方法和原理具有普適性，對信息學科的學生在認識論和方法論的提高上大有裨益，只有建立了大學科的觀念，了解“線性系統理論”在其中的定位，才能做到相輔相成，將系統論、控制論知識靈活運用到解決工程實際問題中去[5]。

1.3基礎性與專業性相結合的教學內容

在通信專業相關數學基礎的章節中，加強對數學和符號在通信專業應用中物理意義的解釋。例如矩陣運算Y=AX中Y的元素yi可理解為接收到的信號或觀測結果，X的元素xi可理解為發射信號。在無線通信系統中，發射機/接收機是成對出現的，第i個發射機希望僅僅被第i個接收機接收，而其它接收機誤收到的信號越小越好。假設此時是點對點的手機通信，則希望主對角元素大，即有用信號功率大，其它位置很小或為0，干擾功率小，從數學形式上看A陣表現為接近對角陣。矩陣的分塊對角結構對應通信子系統的并聯。矩陣的求逆運算則是從接收端再現出發射信號，使得有效通信成為可能。

在線性系統模型章節中，由于實際應用中絕大部分對象很難通過運動機理推導出數學模型，考慮到通信和電子系統中最常見的信號包括正弦波、偽隨機序列和階躍信號等，這就需要從實測的數據，依靠實驗的方法或數值手段重構出數學模型。授課過程中使用這種辨識實驗或仿真工具獲得傳遞函數模型的方法，一方面擴大了非控制專業學生的知識面，為工程中的系統建模提供了新的思路，另一方面避免了復雜的演算過程，謹防學生陷入數理困境，從而產生厭學和畏難情緒。

在狀態方程求解章節中，學生要熟練掌握解的基本形式，并為后續章節多個定理證明和應用打好基礎，但我們不能局限于解方程，解的存在性與能量有關，有助于更好地描述系統的性能指標，考慮能耗才能更貼近實際應用，而解的形式揭示了一般系統的運動規律，系統的結構參數決定了其具體運動模式，如兩個積分器組成的反饋回路通過設置適當的初始條件，即可構成常用的諧波振蕩器。由于受控項的存在，使得有可能通過設計控制規律來改善系統內部變量的運動行為和性能，避免過程不平穩，使得狀態軌跡滿足要求。

在穩定性分析章節中，傳統教學內容集中于BIBO穩定、Lyapunov穩定、漸近穩定、指數穩定和大范圍一致漸近穩定等概念，卻忽略了應用背景。為此，教學過程中增加了基于Lyapunov方程的系統快速性估計方法；工程中鎮定問題求解；優化問題求解，將經典控制論中的穩準快指標歸結為二次型積分性能指標，并根據Lyapunov定理構造相應的能量函數和速度函數，最終解代數方程組即獲得最優解，同時保證了系統的漸近穩定性；采用試湊法，限制系統的反饋結構，推導出計算高效的Riccati方程，普適性優于傳統的特征值和Routh判據法。

在能控性和能觀性分析章節中，注重結構完整性和概念明確性，將激勵信號和系統設計的知識有機結合在一起。

能控性是探討實踐主體改造實踐客體、克服不確定性，使系統能夠轉移變換、實現信息按照指定要求“傳輸”的可能性，關心系統未來時間的行為[6]。

能觀性是探討認識主體對客體是否具有“穿透”能力，通過信息通道及其容量和技術手段，能否收集和處理系統內部狀態信息，進而確定內部狀態，關心系統過去的知識。

能控性和能觀性反映了改造與認識活動中主體和課題的辯證統一，均反映內在本質結構屬性，是實現系統綜合與校正的必要條件。

在時域綜合章節中，系統的綜合和設計方案主要依靠狀態反饋進行任意的極點配置，通過它可以實現解耦控制；也可以直接解決調節器問題；狀態反饋并引入前饋增益解決漸近跟蹤問題；根據參考信號的模式構造增廣矩陣解決伺服機問題。狀態反饋是一種全息方案，然而，系統信息往往并不能全部獲得時，輸出反饋或動態補償器和觀測器就能發揮作用。為適應現代MIMO通信技術的發展，補充了多變量頻率域法的數學基礎、零極點概念及基本的系統設計方法。

信息處理的宗旨在于如何處理接收到的外部信號，這些信號不可控，再加上實際系統存在著干擾和噪聲，必然影響輸出與設定值之間的誤差[7]。從這個意義上說，信息系統設計符合線性系統的兩個基本規律即內模原理和不變原理(設計控制率使外部干擾對跟蹤誤差的影響最小化或小于指定值)。

在組織教學內容時，將線性系統理論知識與信息處理知識結合在一起，注重理論知識在通信系統中的解釋和應用，充分體現出專業特色，激發學生的學習熱情。

2 結合專業案例的教學實踐

目前經典的線性系統案例包括倒立擺、電機調速、高超聲速飛行器、水箱液位和起重機行車控制等，這些案例從控制、機械甚至力學等專業角度出發，對學習課程相關知識起重要作用，但與通信、電子直接相關的案例在各大教材及授課過程中并不多見。

鎖相環(PLL)是通信系統里常見的相位反饋電路系統，在調制解調、頻率合成、信號跟蹤與同步、中遠程導彈定點發射等技術中都得到廣泛應用。PLL由鑒相器(PD)、環路濾波器(LF)和壓控振蕩器(VCO)三部分組成，其線性化相位模型如圖1所示，θi(t)表示輸入信號相角,θo(t)表示輸出信號相角，φ(t)表示輸入信號與輸出信號的相差，Kp為環路增益，H(s)為LF的傳遞函數，積分環節是環路中的VCO[8-9]。

圖1 PLL線性化相位模型

設計PLL的目的是當其處于鎖定狀態時，使受控振蕩器VCO的頻率和相位均與輸入信號保持確定的關系，這是一個線性系統中漸近跟蹤的基本問題，此外，實際系統中往往存在著干擾信號，大大影響其跟蹤性能，必須設計濾波器或補償器將其抑制。

如果明確了被控對象G(s)，輸入信號r(t)，輸出信號y(t)，干擾信號w(t)，上述PLL設計及補償問題就可以轉化為圖2所示的PLL跟蹤與干擾抑制的無靜差補償器φ-1(s)和鎮定補償器C(s)的設計問題，這可以借助線性系統的相關理論進行解決。

根據線性系統理論知識，PLL的有理分式數學模型滿足互質性，即既可控又可觀，滿足極點配置和狀態觀測條件；經過狀態反饋使得閉環系統極點在左半s平面合適的位置，即可實現系統鎮定，且在指定時間內系統的瞬態響應分量趨于0；控制器中植入輸入信號的“內?！?，且引入單位負反饋，達到對輸入信號的魯棒跟蹤，對受控對象和補償器的參數攝動具有不敏感性；獲悉干擾信號的結構特性模型，其不穩定極點與PLL的零點不構成對消，同樣將“內?！敝踩?，達到輸出端干擾信號被濾除的作用。

圖2 PLL跟蹤與干擾抑制流程圖

根據線性系統理論知識，可配置的閉環極點數目為m+n個，根據穩定性要求及快速性指標設定極點的取值，并將之展開可得閉環特征多項式的表達式F(s)=Fn=msn+m+…+F1s+F0，最后通過求解如下的代數方程得到鎮定補償器C(s)的各個系數，式中T表示轉置運算[10]。

搭建上述系統的仿真平臺，輸入輸出的對比結果通過示波器顯示，圖3示出了仿真結果，其中橫坐標為時間，縱坐標為電壓幅度，-----線表示要跟蹤的信號，.....線表示直接使用PLL的輸出，實線則表示加入設計的補償器后系統的輸出響應?？梢钥吹?，引入補償器后，經過t=8s的過渡過程，輸出信號完全與要跟蹤信號吻合，即實現對輸入信號的穩定跟蹤，且干擾信號不再出現在輸出端，達到魯棒跟蹤和干擾抑制的效果。

圖3 補償前后系統的跟蹤結果示意圖

應用線性系統理論對PLL電路進行學習，體現了系統的觀點(閉環系統跟蹤信號)、內因(植入內模)外因(抑制干擾)的觀點、事物相互作用相互聯系(補償器-對象-反饋連接)的觀點，提高了學生的基礎理論能力和對實際工程系統的分析和設計能力。

3 結語

“線性系統理論”在信息類課程中占據著至關重要的位置，針對電子通信專業教學中存在的認識偏差、專業定向不明確和案例陳舊等問題，本文踐行信息類“大學科觀念”，引入合適的專業案例，強調基礎性與專業性的有機結合，更新了教學內容。教學實踐表明，本文的教學改革有效提升了學生對信息類知識的系統化理解，提高了教學效率和教學質量。

值得一提的是，課程改革受到了學生的普遍歡迎和肯定。學生在課后的教學反饋中提到“該課程深入淺出、受益匪淺”、“思路很清晰、理論與實際工程專業相結合”、“概念準確、有重點、有實際案例”、“內容豐富、注重互動、語言風趣”、“收獲很大”。與工程專業相結合的“線性系統理論”課程建設成果發揮了積極的借鑒和示范意義。

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[3] 薛文濤, 曾慶軍, 王玉龍, 徐紹芬. 基于行業特色的“線性系統理論”教學改革與實踐[J]. 北京: 中國電力教育, 2012, 29:58-59+69

[4] 曹賽先. 一流大學的大學科觀[J]. 長沙:當代教育論壇, 2004, 01:75-77

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[10] Chi-Tsong Chen. Linear System Theory and Design[M]. New York: Oxford University Press, 1999:273-275

TeachingReformofLinearSystemTheoryCombinedwithEngineeringSpeciality

GAOFei,YUEZhen-yu,WANGJun,ZHANGYou-guang,ZHUHe

(SchoolofElectronicandInformationEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China)

According to the characteristics of the Linear System Theory course for graduate students majored in electronic and communication, this paper puts forward a reform program which is combined with the project examples from the points of curriculum system, teaching method and case selection. The Linear System Theory teaching, integrated with other relevant courses, guides students to establish the discipline idea. Then, we highlight the role of linear system theory in solving practical problems by improving the tracking performance of phase locked loop (PLL). It is shown that the teaching reform improves the students′ ability of engineering analysis and application.

linear system theory; teaching reform; phase locked loop

2016-09-24;

2016-11-06

北航研究生教育與發展研究專項基金(No.4002028)；北京航空航天大學校級重點教改項目

高 飛(1975-)，男，博士，副教授，主要從事數字圖像融合與處理、運動目標檢測和機器學習等方面的教學與科研工作，E-mail：feigao2000@163.com

TM1-53

A

1008-0686(2017)05-0021-05