轉化與化歸思想的應用

陳聯煌??

摘要：高中數學中一項啟發學生思維，增強學生數學運用能力的重要思想就是化歸思想?；瘹w即轉化與歸結，學生遇到弄不明白的數學難題，通過觀察和思考，轉化為自己清楚的問題，從而找到答題思路。本文筆者簡要介紹了化歸思想在教學實踐中的應用。

關鍵詞：思想方法；數學問題；轉化化歸；提高解決

轉化與化歸思想被笛卡爾稱為“萬能解題法”，在高中數學的各個知識領域都能看到它的身影，在解題中有著廣泛的應用。這種方法的本質就是把學生弄不清楚的問題換一種思路考慮，轉化成學生已經知道如何解決的問題，使問題的解決呈現“柳暗花明”的格局，使得問題得以圓滿解決。高中學生經過一定的數學學習，對化歸思想也有所了解，并在運用中增強了體會，但是這種簡單的運用遠遠達不到高中數學培養數學思維這項教學目標的要求。合理運用轉化與化歸思想，不僅能快捷解決問題，還能讓學生豐富數學知識儲備，掌握更多母題。

一、 化歸思想的運用原則

1. 熟悉化原則。學生遇到一道陌生的數學問題，首先要通過自己的觀察，在演草紙上列舉自己找出的條件，尋找條件間的聯系和指向的問題，然后在自己的數學知識基礎和解題經驗中搜索是否有與這道題類似或有聯系的地方，將從未謀面的這道題熟悉化。

2. 簡單化原則。一道復雜的數學難題，必然可以通過分析，理清問題的多個層次，每個層次提出的問題目標都找到對應的解答，只要大腦不混亂，掌握多條思維線的走向，必然可以掌控問題全局，做到有條不紊。這樣的過程將復雜的難題拆分為多個簡單的數學問題，從而簡化問題，降低難度。

3. 直觀化原則。高中數學很多塊知識都考察學生的抽象思維能力，學生要學會把抽象的問題直觀化思考。如遇到立體幾何的問題，可以靈活建立空間直角坐標系，將復雜的立體幾何劃分為立體空間內的多個平面的代數問題，如果空間想象能力較弱，可以在演草紙上列舉各個關鍵面幫助理解。

二、 轉化與化歸思想在高中數學解題中的應用

使用轉換與化歸思想時，要保持清晰的思路，注意轉化的方向性明確，同時避免受到固有思維模式的限制，理不清楚解題思路就換一換想法，保持一定的應變能力。如解函數、方程、不等式時，分析給出條件的邏輯架構和形態特點，在數與數、形與形、數與形之間靈活轉化；解應用題或探究實踐類問題時，要學會把題目給出的文學語言轉化為數學語言，把題目的要求化歸為代數問題。因化歸思想的靈活性和多樣性，在解題時要發揮主觀能動性，先吃透這道題要考查的知識點，再靈活選擇轉化的方法，提高解題的水平和能力。

1. 轉化與化歸的思想在函數中的應用

化歸思想的應用是很常見的，學生都體會不到使用了化歸思想就快速得出了結果，如對解析式進行運算或化簡都屬于化歸思想的運用。例如計算，已知2（log12x）2+5 log12x-3≤0，求函數f（x）=（log2x）2+log64x-5的值域。此題原條件通過化簡可以整理為一個以log2x為自變量的一元二次不等式，設log2x為t，可以把原條件的不等式化簡并求出t的解集，同理f（x）可以化簡為一元二次函數，即求f（x）=t2+6t-5的值域。高中數學中換元法非常常用，學生要在日常訓練中強化換元法的運用練習，根據題目的特征進行恰當的轉化，把復雜的問題簡單化。

例1（廈門，壓軸填空題）解不等式f（x）=x2（ex+e-x）-（2x+1）2（e2x+1+e-2x-1）>0

解：本題是一個超越不等式，如果采用高中常規的方法直接去解幾乎無法實現。由式子的結構特征采用轉化的思想，則很容易解決。

令g（x）=x2（ex+e-x）則 g（2x+1）=（2x+1）2（e2x+1+e-2x-1）

問題轉化為解不等到式g（x）>g（2x+1）且g（x）是R上的偶函數，在（0，+

SymboleB@ ）上單調遞增。

不等式變形為|x|>|2x+1|（x）2>（2x+1）2-1

這種解法把一個陌生的不等式由不熟悉變熟悉、由難變易，使問題“峰回路轉”，把一個看似高不可攀，幾乎無法解決的問題得以解決，大有脫胎換骨、化繭成蝶之效，體現了命題者獨具匠心，妙不可言。

2. 轉化與化歸思想在幾何中的應用

轉化與化歸思想在幾何中的體現一般通過靈活構建平面直角坐標系，大膽作輔助線，使用分割、補形等解題技巧，實現圖形與圖形的相互轉化，降低問題的難度。如求小螞蟻在立體圖形上移動的路徑問題，可以考慮畫出立體圖形的平面展開圖，正確找出各個關鍵點，自然可以輕松搞清楚立體幾何中不易覺察的位置關系和數量關系。有些問題雖然表面上看是代數問題，但仔細分析可以找出問題中存在的幾何關系，這種幾何關系可以幫助學生找到新的解題思路，如函數與圖像，曲線與方程，復數與運算等知識點都包含數與圖形的聯系。

例：證明：三角形的外心、重心、垂心三點共線。

證明：本例由幾何方法直接證明并不容易，現我們改用解析法來證明。如圖，設定直角坐標系，首先將原題中點、線關系映射成代數關系。即由A、B、C點的坐標求得中點E、F的坐標，直線CH、CE、AH、PF和AF的方程，進而求得三心P、G、H點的坐標，再利用代數關系，證明三點共點共線滿足的代數條件，最后將這一代數關系反演，便得出三點共線的結論。

RMI模式可以看作是一種“曲線救國”的轉化思想。

sinA1CA=AAA1C=33

三、 結語

轉化與化歸思想能幫助學生快速高效地解出很多復雜的數學問題?？墒呛芏鄬W生并不能靈活運用化歸思想，仍然生搬硬套，模仿教師講評習題時的示范，誤打誤撞解出題來也不了解原理，這很影響學習效率。教師必須重視提高學生轉化與化歸思想的點播，培養學生的數學思維，幫助學生找到高效的、適合自己的數學學習方法。

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