《數學分析》中不定積分求解方法探討

(上饒師范學院 數學與計算機科學學院，江西 上饒 334001)

《數學分析》中不定積分求解方法探討

吳紅星，黃時祥，馬江山，丁鵬，黃美春

(上饒師范學院 數學與計算機科學學院，江西 上饒 334001)

不定積分的求解是《數學分析》中最基本、最重要的內容之一，它是定積分、重積分和曲線積分等后續內容的基礎。研究了不定積分若干求解方法，詳細探討了湊微分積分法、拆微分積分法和分部積分法在求不定積分中的應用。

不定積分；定義積分法；湊微分積分法；拆微分積分法；分部積分法

不定積分是《數學分析》中的一個重要內容[1-2]。近年來，對不定積分的求解和教學方法研究有許多工作[3-14]。文獻[3]給出了一類分部積分求解的簡便算法；文獻[4]給出了一類反函數的不定積分求解方法；文獻[5]從教學方面討論了不定積分的解題技巧；文獻[6]探討了|f(x)|不定積分的求解方法；文獻[7]討論了一類特殊三角函數有理式積分的求解方法；文獻[8]討論了一類有理冪函數的計算方法；文獻[9]討論了三角函數等三類特殊不定積分計算方法；文獻[10]討論了幾種常見不定積分的計算方法與解題技巧；文獻[11]通過給出口訣，討論了不定積分的分部積分法；文獻[12]采用湊微分法討論了不定積分計算方法和解題技巧；文獻[13]采用了第一類換元法等多種不同的方法討論了不定積分，對大學生學習不定積分啟發頗深；文獻[14]討論了不定積分求解的廣義分部積分公式。本文系統地闡述了《數學分析》中不定積分求解的若干方法，為高校教師不定積分教學提供便利，對大學生學習不定積分具有啟發意義。

1 定義積分法

設f(x)是定義在區間I上的函數，若成立F′(x)=f(x),x∈I，則稱F(x)為f(x)的一個原函數，f(x)在區間I上的全體原函數記為f(x)在I上的不定積分，記作

(1)

方程(1)稱為定義法積分公式，其中C為任意數。定義積分法指直接使用不定積分的概念與線性性質來求解不定積分，即熟記基本積分表[1]。

2 湊微分積分法

(2)

方程(2)稱為湊微分法積分公式，湊微分積分法又稱第一換元積分法。已知函數f(u)可積，

被積函數項可通過以下六種方法進行湊微分，以達到可積分的目的。

解：根據湊微分積分法可得：

3 拆微分積分法

(3)

則

(4)

方程(4)稱為拆微分法積分公式，拆微分積分法又稱第二換元積分法。拆微分積分法常用代換方法主要包括：三角代換、無理代換、倒代換、萬能代換、雙曲代換和Euler代換，等等。

3.1 三角代換

(5)

(6)

(7)

3.2 無理代換

x=tn, dx=ntn-1dt

(8)

于是原被積函數可化為關于t的有理函數。

(9)

于是原被積函數可化為關于t的有理函數。

=ln1+t-ln1-t-2arctant+C

3.3 倒代換

當被積函數中分母次數高于分子次數，且分子分母均為“因式”時，通?？勺鞯勾鷵Q：

x=t-1, dx=-t-2dt

(10)

3.4 萬能代換

(11)

(12)

(13)

于是得到：

3.5 雙曲代換

注1：化簡時常用到雙曲函數的一些恒等式有：

3.6 Euler代換

(1) 若a>0，則可令：

(14)

(2) 若c>0，則可令：

(15)

(3) 若二次三項式ax2+bx+c有相異實根λ,μ，即ax2+bx+c=a(x-λ)(x-μ)，則可令：

(16)

注2：根據上式，所求的積分可化為關于t的有理函數的不定積分。

于是可得：

4 分部積分法

(17)

圖1 分部積分法公式演示圖

注3：圖1中斜向乘積帶“+”表示已經積出的函數，橫向乘積帶“-”表示新的被積函數。

下面介紹使用分部積分法求積分具備的一般原則。

(1) 冪指型

若被積函數是由冪函數與指數函數的乘積形式構成，通常將指數函數湊進微分項，再使用分部積分法可使冪函數的“冪”降次，通常每使用一次分部積分法可使冪函數降冪1次。

解:此積分的被積函數由冪函數與指數函數的乘積形式構成，于是

再次使用分部積分法可得

(2) 冪三型

若被積函數是由冪函數與三角函數的乘積形式構成，通常將三角函數湊進微分項，再使用分部積分法可使冪函數的“冪”降次，通常每使用一次分部積分法可使冪函數降冪1次。

(3) 冪對型

若被積函數是由冪函數與對數函數的乘積形式構成，通常將冪函數湊進微分項，再使用分部積分法可達到求解的目的。

(4) 冪反型

若被積函數是由冪函數與反三角函數的乘積形式構成，通常將冪函數湊進微分項，再使用分部積分法可達到求解的目的。

(5) 指三型(循環型)

若被積函數是由指數函數與三角函數的乘積形式構成，那么這是一種循環型不定積分，可將指數函數湊進微分項，使用分部積分法運算，再次將指數函數湊進微分項，再次使用分部積分法運算，即連續兩次使用分部積分法可達到求解的目的[1]。同理將三角函數湊進微分項，重復上面的步驟也可達到求解的目的。

5 其它類型積分法

除了以上介紹了求不定積分的方法外，還有遞推積分法、待定系數積分法和解方程組積分法，等等。遞推積分法通常用于求被積函數型如sinnx,cosnx,tannx,secnx,cscnx等的不定積分。待定系數積分法一般用于解決有理函數的不定積分，將有理函數分解成幾個最簡分式之和，然后再逐一求解[1]。

解:構造方程如下：

從而得到：

于是可得到：

其中C1,C2,C3,C4均為常數。

[1] 華東師范大學數學系.數學分析:上冊[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:178-179.

[2] 徐森林,薛春華.數學分析[M].北京:清華大學出版社,2005.

[3] 薛國民.關于一類分部積分的簡便算法[J].工科數學,1995,11(1):264-266.

[4] 蕭明達.關于含有反函數的一類不定積分[J].南京廣播電視大學學報,1999,18(4):51-52.

[5] 廖新元.不定積分教法探討[J].數學理論與應用,2001,21(4):127-128.

[6] 樊紅云.|f(x)|不定積分的一種求法[J].高師理科學刊,2004,24(2):80-81.

[7] 展丙軍,李兆興.兩類不定積分的巧解[J].高等數學研究,2005,8(6):20-24.

[8] 謝婉雯.一類有理冪函數不定積分的計算方法[J].大學數學,2006,22(1):111-113.

[9] 高麗,齊瓊,謝瑞.關于三類特殊不定積分求解方法的討論[J].西南民族大學學報(自然科學版),2010,36(2):169-171.

[10] 魏宏濤,康元寶.淺談微積分教學中不定積分的計算方法與技巧[J].數學教學研究,2013,32(10):49-52.

[11] 胡結梅,鄭華盛.不定積分計算方法注記[J].高等數學研究,2014,17(6):10-13.

[12] 楊戀波.對不定積分湊微分解法的再認識[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,2015,31(1):31-32.

[13] 邢秀俠.一道不定積分題目的多種解法[J].教育教學論壇,2015(13):178-179.

[14] 馮曉慧,李菊娥.廣義分部積分公式及其應用[J].高等數學研究,2016,19(6):22-23.

Discussion on the Methods for Solving Indefinite Integral in Mathematical Analysis

WU Hongxing,HUANG Shixiang,MA Jiangshan,DING Peng,HUANG Meichun

(School of Mathematics and Computer Science，Shangrao Normal University,Shangrao Jiangxi 334001，China)

The solution of indefinite integral is one of the most basic and important contents in mathematical analysis,it is the basis of the following contents such as definite integral,multiple integral and curvilinear integral. In this paper,we study some methods for solving indefinite integral,and we discuss the differential integral method,the split differential integral method and the partial integration method in detail.It provides reference for indefinite integral teaching,and has enlightening significance for studying indefinite integral.

indefinite integral;defined integration;the integral method of improvising differential;the integral method of differential disassembly;integration by parts

2017-08-31

江西省教學改革研究課題(JXJG-16-16-12)；國家自然科學基金項目(11461055)；江西省教育廳科技項目(151056)

吳紅星(1980-)，男，江西余干人，副教授，碩士，主要從事數學教學和遷移方程研究。E-mail:jxsruwhx@163.com

O172.2

A

1004-2237(2017)06-0005-07

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.06.002