具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的熱糾纏?

鄭一丹 毛竹 周斌

(湖北大學物理與電子科學學院,武漢 430062)

具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的熱糾纏?

鄭一丹 毛竹?周斌?

(湖北大學物理與電子科學學院,武漢 430062)

熱糾纏,配對糾纏度,伊辛-海森伯鏈,轉移矩陣方法

1 引 言

含有幾何阻挫的自旋系統在零溫和有限溫度下,由量子漲落和熱效應引起的相變,因其表現出有趣的新相位和豐富的基態以及熱力學性質而備受關注[1?6].最簡單的幾何阻挫模型是自旋粒子間具有反鐵磁相互作用的三角排列團簇,典型代表是單分子磁體Na9[Cu3Na3(H2O)9(α-AsW9O33)2]·26H2O(簡稱為{Cu3}) 等腰三角形{Cu3}模型[7,8].另外,具有三角自旋環的晶格自旋系統是磁性材料普遍含有的結構,也為研究幾何阻挫系統提供了標準的理論模型.其中典型的具有三角自旋環的晶格自旋系統有角共享的三角形鏈(也稱鋸齒鏈或Δ鏈)的一維幾何阻挫系統[9?13],以及三角反鐵磁[14]和kagome晶格反鐵磁系統的二維幾何阻挫系統[15?17].

Mambrini等[18]研究了由自旋 1/2的海森伯粒子組成的三角自旋環相互交替形成的海森伯自旋鏈模型.研究結果表明,該模型每個自旋的基態剩余熵等于(1/4)ln2,四面體的耦合作用小于三角自旋環中的耦合作用時則存在單態和三重態能隙[18].之后,具有三角自旋環的海森伯鏈模型的研究引起人們的關注[19,20].如Rojas和Alcaraz[20]采用數值方法討論了具有三角自旋環的海森伯鏈模型的相變及幾何阻挫.在這類海森伯自旋團簇鏈中，由于自旋團簇之間為海森伯相互作用,這為嚴格求解帶來較大的困難.人們在研究中發現,對于海森伯自旋團簇鏈模型中自旋團簇之間的海森伯相互作用較弱時,團簇之間的耦合自旋用經典的伊辛自旋取代海森伯自旋,得到的物理性質在定性上甚至在定量上與原海森伯自旋團簇鏈的數值和實驗結果是一致的,而且轉換后的伊辛-海森伯混合自旋系統通過轉移矩陣方法[21?23],可以嚴格解析得到系統配分函數和熱力學函數[24?27].Antonosyan等[28]研究了具有XXZ海森伯相互作用三角自旋環的伊辛-海森伯鏈模型,他們采用轉移矩陣方法得到模型的熱力學函數解析解,以及基態相圖和系統的熱力學以及磁學性質.Ohanyan[29]研究了具有自旋S=1/2的XXZ海森伯相互作用三角環的伊辛-海森伯鏈的相變.

外界溫度對系統影響的熱糾纏性質是量子信息技術的重要研究課題之一.自從Arnesen等[30]研究了海森伯自旋模型中的熱糾纏性質后,人們對不同海森伯自旋體系中的熱糾纏性質已經進行了大量的理論研究[31?48].最近,伊辛-海森伯自旋菱形鏈熱糾纏的研究也取得了一定的進展[21,22,49?52]，但具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的熱糾纏性質尚未被討論.本文研究具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈在磁場作用下的熱糾纏性質.采用轉移矩陣方法,數值計算具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的配對糾纏度.分別討論三角自旋環中自旋1/2粒子間具有XXX,XXZ和XY Z海森伯相互作用時,外加磁場和溫度對三角自旋環中兩個量子比特間配對熱糾纏性質的影響.

2 理論模型和轉移矩陣方法

2.1 理論模型

考慮在外加磁場作用下具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈系統.該模型是由海森伯自旋組成的三角環與伊辛自旋相互交替形成的無限長鏈,模型結構如圖1所示,其中第i個團簇是由三個自旋S=1/2的海森伯自旋(Si1,Si2,Si3)和兩個伊辛自旋(μi,μi+1)組成.具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的哈密頓量H可表示為以下形式：

其中,Hi是第i個團簇的哈密頓量,可表示為以下形式：

圖1 (網刊彩色)海森伯自旋組成的三角自旋環與伊辛自旋相互交替形成的伊辛-海森伯鏈示意圖 (圖中紅色球代表海森伯自旋粒子,黑色球代表伊辛自旋粒子)Fig.1.(color online)Schematic of Ising-Heisenberg chain with triangular plaquettes alternating with Ising spins(red balls represent Heisenberg spins,and black balls indicate Ising spins).

2.2 轉移矩陣方法

利用轉移矩陣方法計算該系統配分函數和約化密度矩陣.需要注意的是,系統第i和j個團簇哈密頓量是相互對易的,即[Hi,Hj]=0(i/=j).這種團簇間哈密頓量對易關系是該系統的配分函數進行部分因式分解的條件.系統配分函數ZN可表達為以下形式:

其中V(μi,μi+1)是含有伊辛自旋μi和μi+1的三量子比特算符,其定義式為[21]

式中,β=(kBT)?1,kB是玻爾茲曼常數(為了計算簡便,令kB=1).Tri是對第i個團簇的三量子比特算符V求跡,是對所有伊辛自旋態求和.通過對角化第i個團簇的哈密頓量Hi,可得到以下含有伊辛自旋的本征值:

其中，

根據上述本征值以及對三量子比特算符V求跡,可得到玻爾茲曼因子w:

采用轉移矩陣方法以及周期性邊界條件,配分函數表達式(3)可改寫為以下形式:

式中,W為轉移矩陣,具體形式如下:

其中±1/2表示兩個伊辛自旋態μi=±1/2.由(12)式可知,通過計算上述轉移矩陣(13)式的本征值,可得該模型的配分函數:

式中,λ1,λ2是轉移矩陣(13)式的本征值,且按降序排列,即λ1＞ λ2.考慮熱力學極限(N→ ∞),配分函數將得到更簡單的表達式：

采用轉移矩陣方法將三角自旋環密度矩陣ρ的矩陣元表示為如下形式:

這里的三角自旋環密度矩陣ρ是8×8的矩陣,其矩陣元記為ρm,n,下標(m,n)標注密度矩陣元所在的行和列的序號(m,n=1···8).(16)式中的Rm,n為如下形式:

式中,Vm,n是矩陣V中第m行第n列中的矩陣元.令使轉移矩陣W對角化的非奇異矩陣為U,則密度矩陣元(16)式可表示為如下形式:

考慮熱力學極限,(18)式可以簡化為

為了研究具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈在外加磁場作用下的熱糾纏性質,將計算第i個團簇三角自旋環中量子比特Si1和Si2間的配對糾纏度C12,其定義為[53?55]

其中ζn(n=1,2,3,4)是算子

本征值的平方根,滿足ζ1≥ζ2≥ζ3≥ζ4.是量子比特Si1(2)的泡利算符.(21)式中的ξ12是第i個團簇中量子比特Si1和Si2構成子系統的約化密度矩陣,該約化密度矩陣ξ12和算子G12是4×4的矩陣,下標(1,2)標注該子系統中量子比特的序號.是ξ12的復共軛矩陣.配對糾纏度C12的取值從0到1,C12=0為無糾纏存在,而C12=1表示系統處于最大糾纏,0＜C12＜1為部分糾纏.

3 結果與討論

基于上述的轉移矩陣方法,采用數值計算求解具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的配對糾纏度C12,分別討論三角自旋環中自旋1/2粒子間具有XXX,XXZ和XY Z海森伯相互作用時外加磁場以及溫度對該系統熱糾纏的影響.

3.1 XXX-海森伯模型

圖2 (網刊彩色)配對糾纏度C12隨磁場強度B和溫度T的變化 (a)不同溫度下,配對糾纏度C12隨磁場強度B的變化;(b)臨界溫度Tc隨磁場強度B的變化Fig.2.(color online)The concurrence of Ising-Heisenberg chain with triangular plaquettes versus the magnetic field and temperature:(a)The concurrence C12versus the magnitude of magnetic field B for the different temperatures;(b)the critical temperature Tcversus the magnitude of magnetic field B.

首先,考慮海森伯相互作用為各向同性的情況,令J=γ=Δ=K=1.圖2描述了三角自旋環中兩個海森伯自旋之間的配對糾纏度C12隨磁場強度B和溫度T的變化情況.圖2(a)是系統處于不同溫度下配對糾纏度C12隨磁場強度的變化關系.圖2(a)的結果說明,當無外加磁場作用時,系統不存在糾纏.并且隨著溫度的提高,使系統產生糾纏的外加磁場強度也隨之增加.就同一溫度而言,配對糾纏度C12隨著磁場強度的增加,對糾纏的作用是先促進,后抑制.如:當T=0.05時,無磁場(B=0)時,C12=0,直至B=0.02時,C12=0.001652(此處及以下在數值計算中,假定C12＜10?3時無糾纏),隨著磁場強度逐漸增強,配對糾纏度迅速增加,達到最大配對糾纏度(B=0.38,C12=0.2886),隨后配對糾纏度迅速下降直至消失.另外T=0.1和0.5時,曲線變化趨勢與T=0.05相似,不同的是,使系統產生糾纏的外加磁場強度較高(當T=0.1時,B=0.07,C12=0.001094,而T=0.5時,B=2.71,C12=0.001178)和隨著磁場強度增加產生的最大糾纏度較低(當T=0.1時,B=0.45,C12=0.1195,而T=0.5時,B=3.38,C12=0.01313).圖2(b)是臨界溫度Tc隨磁場強度B變化的相圖,曲線與坐標軸圍成的區域和曲線自身圍成的區域是存在糾纏的區域.由圖2(b)可知,系統糾纏受溫度影響顯著,并且存在糾纏的情況隨磁場強度的變化是非連續性的,會存在多個糾纏恢復現象.由大的區域可知,當Tc＞0.65時,磁場對系統糾纏不再產生作用.對于溫度較低時,如Tc=0.15時,糾纏僅存在于區域0.34≤B≤1.12和2.58≤B≤3.46,因此存在多個糾纏恢復現象.

3.2 XXZ-海森伯模型

現在,考慮海森伯自旋相互作用為XXZ模型(J=γ=K=1).圖3(a)主圖展現了在不同溫度下,配對糾纏度C12隨著磁場強度B變化情況,此處考慮Δ=2.而圖3(a)右上角小圖是當外加磁場B=2時,配對糾纏度C12在不同溫度下隨各向異性強度Δ的變化情況.與圖2(a)比較發現,相同條件下,考慮各向異性能使系統產生更大的配對糾纏度,且當溫度較低時出現一段穩定的平臺區.當溫度T=0.05時,最大配對糾纏度C12為0.3333(1.9≤B≤ 3.11),溫度T=0.1的糾纏情況與T=0.05情況相似.另外,圖3(a)中也存在與圖2(a)相似的情況,比如外加磁場會誘導糾纏的產生且溫度越高所需的外加磁場強度越大.以溫度T=0.5曲線變化情況為例,當B=0時,無糾纏產生,但隨著磁場強度的增加,直至B=1.22(C12=0.001054)時,開始誘導并迅速使系統達到最大糾纏(C12=0.1518),并保持最大糾纏持續一段平臺區(2.99≤B≤3.03),隨后磁場強度的增強,會逐漸抑制糾纏的產生,最終使糾纏消失.另外從圖3(a)右上小圖可知,配對糾纏度C12不因各向異性強度的增強而單調增加,且隨著溫度的增加,達到最大糾纏度需要更強的各向異性.以圖3(a)中溫度T=0.1和0.5為例,溫度T=0.1達到最大糾纏C12=0.3288時Δ=1.51,但T=0.5時達到最大糾纏C12=0.1091需要Δ=4.84.圖3(b)是臨界溫度Tc隨磁場強度B的變化情況.與圖2(b)比較發現,考慮z方向存在各向異性能獲得更廣泛范圍的糾纏區域(曲線與橫軸圍成的區域).另外還發現,當系統處于特定區域(0.44≤B≤0.82)內的磁場強度時,適度提高溫度能使系統發生糾纏.

圖3 (網刊彩色)配對糾纏度C12在不同溫度下隨磁場強度B和各向異性參數Δ的變化 (a)不同溫度下,配對糾纏度C12隨磁場強度B(各向異性參數Δ)的變化;(b)臨界溫度Tc隨磁場強度B的變化Fig.3.(color online)The concurrence of Ising-Heisenberg chain with triangular plaquettes versus the magnetic field and anisotropy Δ with various temperatures:(a)the concurrence C12versus the magnitude of magnetic field B(anisotropy parameter Δ)for the different temperatures;(b)the critical temperature Tc versus the magnitude of magnetic field B.

3.3 XY Z-海森伯模型

最后,考慮考慮海森伯自旋相互作用為XY Z模型.圖4展現了當系統處于各向異性XY Z海森堡模型時,配對糾纏度C12隨著磁場強度B和溫度T的變化情況.分別考慮y方向的各向異性強度大于z方向的各向異性強度(即γ＞Δ)和z方向的各向異性強度大于y方向的各向異性強度(即Δ＞γ)兩種情況,如圖4(a)—(d)所示.首先討論γ＞Δ這一情況.圖4(a)和圖4(b)是當J=K=1,γ=3,Δ=2時配對糾纏度C12隨磁場強度和溫度的變化情況.與圖3(a)相似,一定強度的外加磁場能誘導糾纏的產生,隨著磁場強度的增大,反而抑制糾纏的產生,但有趣的是隨著磁場強度繼續增強,與圖3(a)的區別是外加磁場會再次誘導糾纏的產生,并且在較高的溫度下,增強外加磁場強度仍誘導系統糾纏的產生.以圖4(a)中溫度T=0.1曲線為例,磁場強度B＜0.63時無糾纏,當B=0.63時C12=0.00102.隨著B逐漸增強,C12隨之增大至最大糾纏0.3329(B=2.47),緊接著與圖3(a)情況一樣經歷一段平臺區,之后迅速下降直至C12=0(B=4.01),但當B≥4.11時,糾纏再次產生,且隨著磁場強度加強,糾纏強度會再次出現第二個峰值C12=0.1252并持續一段小平臺區(4.5≤B≤4.53),隨后緩慢下降.另外,由圖4(b)三維圖可知,當溫度T=1.1時,B≥7.1時仍能使系統產生糾纏,對于更高的溫度,使系統產生糾纏所需的外加磁場強度更強.最后討論圖4(c)和圖4(d)處于Δ＞γ這一情況下,配對糾纏度C12隨磁場強度和溫度的變化情況.發現當系統處于較高溫度時,與γ＞Δ情況相比較，Δ＞γ的情況能誘導更高的糾纏度.以溫度T=0.5為例,當系統處于γ＞Δ這一情況時,隨著磁場強度的增加達到最大糾纏度C12=0.1906,而對于情況Δ＞γ最大糾纏度C12=0.2552.

圖5描述了系統中海森伯自旋相互作用分別處于y方向的各向異性強度大于z方向的各向異性強度情況(J=K=1,γ=3,Δ=2)以及z方向的各向異性強度大于y方向的各向異性強度情況(J=K=1,γ=2,Δ=3)下,臨界溫度Tc隨磁場強度的變化情況.圖5中變化曲線與坐標軸圍成的區域是糾纏區域,否則為非糾纏區域.從圖5中明顯可知,當磁場較小時,紅線表示的情況(即J=K=1,γ=2,Δ=3)能獲得更大的臨界溫度(即糾纏范圍更廣).另外,值得注意的是,當磁場強度較大時,兩者都能獲得較大的臨界溫度.有意思的是,兩種各向異性的情況下系統處于特定磁場強度內都出現多個臨界溫度的情況,這說明在一定磁場強度下,提高溫度會使系統糾纏恢復.以黑線表示的情況(J=K=1,γ=3,Δ=2)為例,當B=4.5,Tc＜0.27時系統存在糾纏,但0.27≤Tc≤0.43時,系統糾纏消失,而當0.43＜Tc＜1.09時,系統糾纏恢復.

圖4 (網刊彩色)配對糾纏度C12隨磁場強度B和溫度T的變化 (a)和(b)對應J=K=1,γ=3,Δ=2;(c)和(d)對應J=K=1,γ=2,Δ=3Fig.4.(color online)The concurrence of Ising-Heisenberg chain with triangular plaquettes versus the magnetic field and temperature:(a)and(b)Correspond to the case with J=K=1,γ=3,Δ=2;(c)and(d)correspond to the case with J=K=1,γ=2,Δ =3.

圖5 (網刊彩色)臨界溫度Tc隨磁場強度B的變化 (黑線對應γ=3和Δ=2的情況,紅線對應γ=2和Δ=3的情況)Fig.5.(color online)The critical temperature versus the magnitude of magnetic field(the black line corresponds to the case with γ =3 and Δ =2,the red line to the case with γ =2 and Δ =3).

4 結 論

基于轉移矩陣方法,通過數值計算求解配對糾纏度C12,研究了具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的熱糾纏性質.分別討論了三角自旋環中自旋1/2粒子間具有XXX,XXZ和XY Z海森伯相互作用的三種模型.研究發現,系統處于XXX海森伯模型時,熱糾纏受溫度影響較為顯著,外加一定強度的磁場能促進糾纏的產生;當系統處于XXZ和XY Z各向異性時,低溫情況下,在一定的外加磁場作用下均能使系統獲得較大糾纏度,而當溫度較高時,系統處于XY Z各向異性的情況更能克服外界溫度對系統糾纏的影響,尤其是系統處于z方向各向異性強度大于y方向各向異性強度的情況下的XY Z海森伯系統表現更為明顯.另外,分析臨界溫度隨磁場強度的變化情況,發現在特定的參數區域出現糾纏恢復現象.因此選擇適當的溫度和磁場強度,可以有效調節具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的熱糾纏性質.

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Thermal entanglement of Ising-Heisenberg chain with triangular plaquettes?

Zheng Yi-Dan Mao Zhu?Zhou Bin?

(Faculty of Physics and Electronic Science,Hubei University,Wuhan 430062,China)

17 August 2017;revised manuscript

22 September 2017)

Quantum entanglement as an important resource in quantum computation and quantum information has attracted much attention in recent decades.The effect of temperature should be viewed as an external control in the preparation of entangled state,and the thermal entanglement of the Heisenberg spin model has been discussed intensively.Due to the quantum fluctuation and thermal effect,there have been found some interesting physical phenomena in the geometrically frustrated spin system at zero or a certain temperature.Meanwhile,the lattice spin system with triangular plaquettes is regarded as a general structure of magnetic material.In this paper,we theoretically analyze the thermal entanglement of Ising-Heisenberg chain with triangular plaquettes.The transfer matrix method is used to calculate numerically the thermal entanglement in the in finite Ising-Heisenberg chain.We consider three kinds of Heisenberg spin interaction models(i.e.,XXX-Heisenberg model,XXZ-Heisenberg model andXY Z-Heisenberg model),and discuss the effects of magnetic field and temperature on the three models,respectively.The results show that temperature and magnetic field have important effects on the three models.Meanwhile,it is found that theXXX-Heisenberg model is more sensitive than the anisotropy model(i.e.,XXZ-Heisenberg model orXY Z-Heisenberg model)when temperature rises.A certain magnetic field would promote the generation of the quantum entangled states in all the three cases when the thermal fluctuation suppresses the quantum effects of the systems.In addition,it is found that the entanglement ofXYZHeisenberg model is more robust than the others at a higher temperature,especially when the anisotropy along thezaxis is greater than that along theyaxis.We also plot the variations of the critical temperature with magnetic field in the three models.From the critical temperature-magnetic field phase diagrams,we can obtain the range of parameters in which the pairwise entanglement of the system exists.We also find that the entanglement revival behaviors may occur in a specific range of the parameters.Therefore,the properties of the thermal entanglement of Ising-Heisenberg chain with triangular plaquettes can be controlled and enhanced by choosing and using suitable parameters of magnetic field and temperature.

thermal entanglement,pairwise concurrence,Ising-Heisenberg chain,transfer matrix approach

PACS:03.65.UdDOI:10.7498/aps.66.230304

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11274102),the Program for New Century Excellent Talents in University of Ministry of Education of China(Grant No.NCET-11-0960),and the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China(Grant No.20134208110001).

?Corresponding author.E-mail:maozhu@hubu.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:binzhou@hubu.edu.cn

(2017年8月17日收到;2017年9月22日收到修改稿)

研究了具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈在磁場作用下的熱糾纏性質.分別討論了三角自旋環中自旋1/2粒子間相互作用的三種情形,即XXX,XXZ和XY Z海森伯模型.利用轉移矩陣方法,數值計算了具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈的配對糾纏度.計算結果表明,外加磁場強度和溫度對系統處于上述三種海森伯模型的熱糾纏性質均有重要影響.給出了系統在不同的海森伯模型下,糾纏消失對應的臨界溫度隨磁場強度的變化圖,由此可以得到系統存在配對糾纏的參數區域,同時發現在特定的參數區域存在糾纏恢復現象.因此適當調節溫度和磁場強度,可以有效調控具有三角自旋環的伊辛-海森伯鏈熱糾纏性質.

10.7498/aps.66.230304?國家自然科學基金(批準號:11274102)、教育部新世紀優秀人才支持計劃(批準號:NCET-11-0960)和高等學校博士學科點專項科研基金(批準號:20134208110001)資助的課題.

?通信作者.E-mail:maozhu@hubu.edu.cn

?通信作者.E-mail:binzhou@hubu.edu.cn